Часто ли дипломная работа по чистой математике доказывает что-то новое?

Что делают студенты бакалавриата по математике для своей диссертации, если они ее сделали, помимо пояснительной или прикладной математики?

Я думал, что исследования, которые они проводят, носят прикладной характер, скажем, с использованием математики в социальных науках или проблемы в одной из менее строгих естественных наук, или обсуждение такой проблемы (вот что такое пояснение, верно?).

Мне кажется, что нечто неэкспозиционное или неприкладное является оригинальным вкладом в математику, чем занимаются аспиранты.

Я присутствовал на нескольких презентациях дипломных работ бакалавров по чистой математике. Я был весьма удивлен: они доказали что-нибудь новое? Никогда не удосужился спросить из-за боязни выглядеть глупо. Будет ли необычным ожидать, что студент докажет что-то новое? Если они ничего нового не доказали, то о чем, черт возьми, они говорят?

Вроде как если не ново, то лекцию читают. Если это новое, это похоже на достижение уровня доктора философии.

Я имею в виду, часто ли студенты-математики доказывают что-то новое?

«Ничего нового» — довольно широкое понятие. Я сам доказал «что-то новое» в своей бакалаврской диссертации, в том смысле, что раньше никто строго не отвечал на этот конкретный вопрос. Это было глубоко? Возможно нет. Мог ли я его опубликовать? Я так не думаю. Тем не менее, это было новое .
В зависимости от страны и качества обучения, да, это возможно. Если у вас есть профессор, который дает вам актуальную проблему, зная, что вас научили нужным модулям / темам для ее исследования, да. Если у вас мало обучения, а затем вам говорят выбрать тему (как это происходит в некоторых местах), то шанс значительно ниже.
@DetlevCM Я предполагаю, что может быть 1 на каждые десятки или сотни. На самом деле меня интересовала средняя группа студентов-математиков, чья диссертация посвящена чистой математике. Я предполагаю, что, во-первых, не многие специалисты по математике будут заниматься чистой математикой в ​​своих диссертациях. Так что насчет тех, кто делает? Они действительно пытаются что-то доказать? Что произойдет, если они не смогут доказать эту конкретную гипотезу через месяц после того, как через месяц выдвинут предложение? До семестра осталось 2 месяца. Так что же происходит?
@paulgarrett Спасибо. Технически мой вопрос касается доказательства новых вещей, а не «исследований» (в профессиональном смысле). Я просто подумал, что делать такие вещи очень сложно без степени магистра или доктора философии. Я предполагаю, что это не невозможно, поэтому мне интересно: что, черт возьми, обсуждают эти математические специалисты в своих чисто математических диссертациях? В любом случае, время читать ответы
@JackBauer Это возвращение к хорошему надзору - хороший руководитель должен заметить, что данная проблема слишком сложна, а также должен указать ученику правильное направление, если он заметит, что ученик слишком амбициозен. С другой стороны, если вы можете показать исчерпывающую работу, детализирующую или исследующую проблему, этого может оказаться достаточно, особенно для получения степени бакалавра, даже без нового вклада. (От себя лично: я знаю кое-кого, кто написал симуляцию Enigma для своего бакалавриата, чем я занимался в течение года в качестве задания в модуле...)
@DetlevCM А, это объясняет. Спасибо. Это звучит здорово. Энигма как во Второй Мировой?
@JackBauer Да, эта Enigma - я закрыл только роторы и не включил распределительный щит, но распределительный щит - тривиальная часть. Черт возьми, я подозреваю, что мог бы довольно легко написать реализацию в наши дни, с тех пор как стал лучше программировать. (Кроме того, это не взлом Enigma, его кодирование и декодирование, что на самом деле тривиально.)
@JackBauer Что-то в этом роде. Некоторые исследователи заявляли о свойствах вещей, с которыми они работали; для работы их метода было крайне важно, но они не представили доказательства. (Не знаю, могли ли они это сделать.) Я заполнил этот пробел. Мой советник нашел его, и мне повезло, что это была задача разумного масштаба, которая требовала в основном студенческих работ плюс немного возни. (Думаю, он (и я) надеялись, что я наткнусь на случай, когда они ошиблись, но это не так.)

Ответы (5)

Я не соглашусь с Освальдом. По моему опыту, студенты бакалавриата не часто доказывают что-то новое в чистой математике. Я бы даже не сказал, что магистерские диссертации часто содержат новые результаты. На это есть несколько основных причин.

Во-первых, чистая математика работает на уровне, не очень доступном для большинства студентов, даже занимающихся исследованиями. Студенты, занимающиеся исследованиями, часто находятся далеко за пределами своих возможностей и цепляются за жизнь изо всех сил. В основном это можно объяснить просто нехваткой времени, чтобы освоиться с тем, что считается современной математикой. Большинство курсов по математике на уровне бакалавриата посвящены математике 50-100-летней давности (если не старше).

Во-вторых, студенты часто не имеют математического опыта, чтобы знать, каков правильный план действий при столкновении с абстрактной и новой проблемой, и они могут не знать, как тщательно проверить свою работу, чтобы убедиться в отсутствии серьезных упущений или ошибок. Многое в математике связано с латеральным мышлением, и для построения этих связей требуется много времени. Самая сложная часть кандидата наук по чистой математике (на мой взгляд) — научиться решать проблему, которую никто раньше не рассматривал. Стандартные методики, которыми пользовались другие, могут быть вам совершенно бесполезны по той или иной причине. У студента не будет творческого потенциала, чтобы разобраться в такого рода проблемах, потому что необходимый творческий потенциал приходит с большим опытом. Даже когда студент бакалавриата думает, что он что-то доказал, нюансы их аргументов, скорее всего, не будут им очевидны. (Это особенно верно, когда речь идет о функционально-аналитических/теоретико-мерных аргументах — дьявол кроется в деталях.) Таким образом, предлагаемое доказательство может быть даже близко не верным.

Наконец, не многие студенты, изучающие чистую математику, занимаются исследованиями, потому что разрыв, который им приходится преодолевать между курсовой работой и современной математикой, довольно существенен. Те, кто вносит вклад в чистую математику, очень, очень талантливы и имеют очень основательный опыт (фон, который соперничает со студентами магистратуры/аспирантов).

Студенты, изучающие чистую математику, не должны вносить вклад. Для них это не то, чем занимаются исследования. Знакомство студентов с исследованиями служит нескольким целям: оно знакомит их с более сложными темами и дает им представление о том, на что похожи исследования, чтобы они могли принять обоснованное решение о том, подходит ли им аспирантура. Таким образом, тезисы больше похожи на обзоры специализированной темы по математике. Здесь задействовано много независимого обучения, и в нем могут содержаться некоторые уникальные примеры, идеи и связи. Они могут не представлять «оригинальную» работу, но стендовые сессии предназначены для того, чтобы представить то, что они узнали, независимо от того, было ли это оригинальным. Так что да, это что-то вроде лекции. они студентыи далеко не знатоки своего дела.

Обратите внимание: я не говорю, что ни один студент никогда не дает новых результатов в чистой математике (есть некоторые старшеклассники , которые лучше, чем большинство докторов наук), но это не обычное явление и не ожидается и не считается нормой.

Бинго. Точно. Кроме того, я считаю плохим продвигать мифологию о том, что «старшекурсники могут проводить значимые исследования в области математики», хотя бы потому, что она порождает нереалистичные ожидания, так что «все терпят неудачу». То есть никому не помогает «уверять» их, что «они могут заниматься исследованиями, будучи студентами», потому что, скорее всего, они этого не сделают, и это не провал. И так далее. Кстати говоря, многие аспиранты неправильно понимают степень «оригинальности/креативности», которая на самом деле будет играть роль в их диссертации, поскольку основная часть работы — это усвоение известных приемов...
Я думаю, что большая часть разницы здесь заключается в подполе. Студенты очень редко вносят существенный вклад где-либо или какой-либо вклад в подобласть, требующую большого объема знаний. С другой стороны, нет ничего необычного в том, что студенты могут доказать новые результаты во многих областях комбинаторики, даже если эти результаты вряд ли будут интересны кому-либо, кроме других студентов, работающих над последующими проектами.
Я полностью согласен с @AlexanderWoo (и, возможно, вопреки интуиции, с ответом Кэмерона): я думаю, что старшекурсники определенно могут проводить добросовестные исследования в области комбинаторики, если не где-либо еще. Но вполне вероятно , что большинство старшекурсников не занимаются оригинальными исследованиями.
@AlexanderWoo Я определенно думал в основном об анализе, алгебре, геометрии и теории множеств, когда рассматривал чистую математику, но комбинаторика определенно поддается вкладу студентов. В остальные почти невозможно попасть на бакалавриате, если вы уже не на уровне доктора философии, но это очень небольшая часть студентов.
@Alexander Woo - я думаю, что важно различать студентов, работающих в одиночку (которые действительно вряд ли будут производить много работ, пригодных для публикации), и студентов, работающих в сотрудничестве с преподавателями. Например, известный Duluth REU, которым руководит Галлиан, заявляет, что у него более 200 опубликованных статей в профессиональных журналах. Эти статьи кажутся не более "неинтересными для кого-либо", чем все остальные статьи в этих журналах :) См. d.umn.edu/~jgallian/progbib.html
Посмотрим правде в глаза - большинство статей по математике, включая мою собственную, практически никому не интересны. Они написаны, по крайней мере, в той же степени для вспомогательных побочных преимуществ исследовательской деятельности для образования, как и для какой-либо важности того, что они содержат. Я остаюсь при своем утверждении даже в отношении большинства (не всех!) статей, выпущенных в Дулуте. (Кстати, в области метрической геометрии доступно много студенческих исследований — я полагаю, что вы могли бы рассматривать комбинаторику, а не геометрию.)
Я согласен с тем, что большинство статей по математике не имеют значения, способного изменить мир. Но я думаю, что это слишком — приводить исследования бакалавров к гипотетически высоким стандартам, которым не соответствует большинство работ профессиональных исследователей. Если старшекурсник является автором или соавтором статьи в журнале, в котором также публикуется его коллега, я думаю, мы должны считать это настоящим исследованием старшекурсника. Случайная неопубликованная работа типа «старшего проекта», конечно, совсем другое.
Спасибо Кэмерон. Пожалуйста, уточните: «Таким образом, тезисы больше похожи на обзоры специализированной темы по математике». Что вы имеете в виду под опросами? Черт возьми, они обсуждают именно то, что мне интересно.
@AlexanderWoo Комбинаторика? Разработайте дальше, пожалуйста. Я не могу представить себе какую-либо область чистой математики, в которую регулярно вносят свой вклад студенческие исследования.
@JackBauer Под опросами я подразумеваю, что они представляют собой пояснительные перефразировки какой-то темы в математике. Часто это непростая математика, но это может быть тема, в которой не так много элементарных вступлений. Опрос может служить базовым введением для людей, желающих углубиться в тему. Часто новички в теме дают совершенно иное и уникальное понимание и могут разложить идеи простыми способами (потому что они должны это сделать, чтобы понять это), поэтому это обеспечивает мягкое изложение.
@JackBauer - см. ссылку, предоставленную Освальдом Вебленом. Все эти работы были написаны старшекурсниками. Лично я был соавтором статьи REU, будучи студентом, и в моей бакалаврской диссертации также были оригинальные результаты по теории графов, но я занимался компьютерным программированием пару лет и не публиковал до тех пор, пока эти результаты не оказались (совершенно независимыми) частью кого-то. еще кандидатская диссертация. Если вам нужны подробности, напишите мне по электронной почте; Я использую свое настоящее имя, и меня легко найти в Google.
@CameronWilliams Звучит не только возможно, но и здорово! Может быть, это что-то вроде введения тем, скажем, в Advanced X в Elementary X? Например, ввести, может быть, эвристически или, может быть, строго, какую-то тему, часто пропущенную в элементарном X (может быть, исчисление?), но обсуждаемую в продвинутом X (может быть, реальный анализ?)?
@JackBauer Вроде так, но не совсем. Больше похоже на: «Я изучаю теорию представлений локально компактных групп, но я студент, и это довольно сложно, поэтому мне нужно свести это к легко растворимым кускам. Вот уникальный способ, который я нашел, чтобы объяснить/понять то, что мало кто обсуждал». В качестве аналогии я сделал проект по мерам Хаара, и, показав, что они существуют, есть один объект, который кажется довольно... немотивированным... называемым покрывающим числом Хаара. Никто никогда не описывает, что это такое. Я думал об этом, думал об этом какое-то время и понял, что это было ..
@JackBauer в некотором смысле просто сумма Римана. В каждом доказательстве он просто использовался как инструмент без какого-либо обоснования или интуиции. Именно о таких вещах я и говорю: провести опрос, а затем по-настоящему разобрать его так, чтобы это было понятно новичку.
Кэмерон Уильямс, учитывая, что «чистая математика работает на уровне, который не очень доступен для большинства студентов, даже тех, кто занимается исследованиями», можете ли вы помочь здесь. Какой объем знаний ожидается от соискателя докторской степени по сравнению с постдоком или научным сотрудником? или здесь Электронная почта профессорам: Рекомендации по выбору статей, пожалуйста?

Ответы до сих пор содержат да и нет, поэтому позвольте мне добавить да и нет.

Студенты могут — и часто это делают — доказывать что-то новое, но вряд ли что-то важное. Консультант должен найти интересный вопрос, достаточно простой, чтобы послужить темой диссертации, но еще не освещенный в литературе. В отличие от докторской диссертации, бакалаврская или магистерская диссертация сильно ограничена во времени, поэтому в качестве консультанта вы должны предлагать тему только в том случае, если вы совершенно уверены, что неопытный исследователь может что-то сделать за короткое время. С другой стороны, просто повторять литературу скучно для студента. Один из способов найти хорошие темы — обратиться к тому, что часто называют фольклором: в каждом учебнике есть теорема о том, что из X следует Y, и каждый эксперт знает, что квази-X уже достаточно, но никто не удосужился написать ее. Это, скорее всего, не стоит публикации, но мотивирует доказательство теоремы, еще не вошедшей в литературу. Еще один простой метод — просмотреть все, что вы исключили из своих собственных документов. Если вы разработали пример, но не включили его в публикацию, вы можете позволить студенту обобщить его.

Чего вам не следует делать, так это спрашивать студента о проблеме, которая вас действительно интересует. Сначала студент будет разочарован, потому что задача слишком сложна для него, затем вы будете разочарованы, потому что вы потратите гораздо больше времени на объяснение ему вещей. затем вам нужно было бы найти результаты для себя, и, наконец, все разочарованы, потому что вы нашли ответ и должны объяснить его студенту.

«В каждом учебнике есть теорема о том, что из X следует Y, и каждый эксперт знает, что квази-X уже достаточно, но никто не удосужился это написать». Много ли таких вещей просто валяется? Например?
Если кто-то доказывает результат, который служит только инструментом, условия зачастую слишком ограничительны. Например, гильбертово пространство используется там, где достаточно рефлексивного банахова пространства, или компакт часто можно заменить счетно компактным. В теории чисел вы можете просмотреть старую статью, используя экспоненциальные суммы, и посмотреть, какие улучшения для последней дают приложение.
Ян-Кристоф Шлаге-Пухта, «часто условия слишком строгие», вы имеете в виду, что это все равно не будет интересовать многих математиков?
Говоря о темах бакалаврской или магистерской диссертации, я думаю о проблемах, которые являются открытыми в том смысле, что они не публикуются, а решаются в том смысле, что каждый эксперт в этой области может немедленно написать доказательство. Поэтому я не думаю, что эти вопросы интересны другим людям.
@JackBauer Большая часть работы заключается в том, чтобы выяснить, что это за вещи. Если бы у меня был пример, который я достаточно хорошо знал, чтобы привести его здесь, возможно, кто-нибудь доказал бы его.

Да, студенты часто доказывают что-то новое, в том смысле, что каждый год студенты получают новые результаты, которые можно опубликовать. Таким образом, хотя относительно небольшое количество студентов-математиков бакалавриата участвуют в настоящих «исследованиях», безусловно, есть студенты, способные делать нетривиальные открытия еще будучи студентами, и их больше, чем можно было подумать на первый взгляд. Я учился в престижных исследовательских школах и антипрестижных региональных университетах США. В каждой школе, где я учился, были студенты-математики со способностями к опубликованным исследованиям. Необходимый талант может быть не «обычным», но уж точно не «редким». Препятствия в первую очередь культурные, а не интеллектуальные.

Тема исследований бакалавриата также была предметом вопроса на MathOverflow , что делает ее полезной для чтения.

Вот пример из личного опыта: недавно я опубликовал рецензируемую статью в журнале, который я считаю высококачественным (и который ни в коем случае не является «студенческим»), в соавторстве со студентом бакалавриата, который обнаружил доказательство одной из основных теорем самостоятельно между двумя нашими исследовательскими встречами.

Другой пример — журнал Involve , посвященный настоящим студенческим исследованиям. Из их самоописания :

Привлекать демонстрирует и поощряет высококачественные математические исследования с участием студентов всех академических уровней. Редакционная коллегия состоит из ученых-математиков, стремящихся поощрять участие студентов в исследованиях.

Приветствуются заявки во всех математических областях. Все рукописи, принятые для публикации в Involve, считаются пригодными для публикации в качественных журналах в соответствующих областях и включают как минимум одну треть студенческого авторства. Заявки должны включать значительный вклад преподавателей; соавторство преподавателей настоятельно приветствуется. В большинстве случаев заявка (и сопроводительное письмо) должна исходить от преподавателя.

Involve, преодолевая разрыв между крайностями чисто студенческих исследовательских журналов и основных исследовательских журналов, предоставляет место для математиков, желающих поощрять творческое участие студентов.

Одна вещь, которой вряд ли будут обладать студенты, — это широта знаний , ожидаемая от получателей докторской степени. В частности, по математике аспиранты сдают экзамены по ряду предметов, и ожидается, что они освоили большую часть учебной программы бакалавриата. Исследования бакалавриата часто включают в себя достаточное количество знаний об одной конкретной области, чтобы доказать новые теоремы. Студенту все еще нужно потратить время на изучение других областей, чтобы получить знания, ожидаемые от доктора философии.

Настоящим ключом для студентов, которые хотят провести исследование, которое можно опубликовать, является сотрудничество с хорошим наставником факультета. Независимые исследования студентов действительно довольно редки (на самом деле, большинство статей по математике, опубликованных в настоящее время, имеют двух или более авторов — даже эксперты выигрывают от сотрудничества). В теме MathOverflow, указанной выше, есть больше советов от других математиков.

Спасибо, Освальд. Ваш пример какой-то странный. Был бы у вашего соавтора-студента возможность сделать это, если бы не знакомство с вами?
Возможно, мне следовало сказать: я слышал, что докторская степень — это как оригинальный вклад или что-то в этом роде. Разве доказательство чего-то нового не является оригинальным вкладом? Опять же, я понимаю, что это может показаться глупым.
Я думаю, что студенту будет намного сложнее опубликовать статью без какого-либо взаимодействия с преподавателями, но любому , кто не знаком с обычаями математических публикаций , будет трудно написать статью, пригодную для публикации, даже если у них есть большие математические способности. // Я согласен с тем, что доказательство чего-то нового — это оригинальный вклад, а докторская диссертация обычно требуется, чтобы иметь достаточно оригинальных вкладов. Однако между исследованиями для докторской диссертации и исследованиями в целом нет большой разницы.
Я бы не сказал, что студенты часто доказывают что-то новое, особенно в чистой математике. Небольшое количество студентов-математиков занимается серьезными исследованиями, и еще меньшее их число вносит значительный вклад в работу. Большинство студентов едва ли обладают математическими способностями и проницательностью, чтобы внести значительный вклад, просто из-за отсутствия достаточного опыта.
Я думаю, что мы отвечаем на разные вопросы - я отвечаю «как часто студенты проводят новые исследования», в то время как я думаю, вы отвечаете «какова вероятность того, что случайный студент проведет новое исследование». @Кэмерон Уильямс
Я с уважением не согласен. Я говорю, что вы слишком преувеличиваете, насколько успешны студенты бакалавриата, и я предполагаю, что это потому, что вы работали с некоторыми очень успешными. Я хочу сказать, что в среднем очень немногие из тех, кто действительно занимается исследованиями, вносят свой вклад. Черт возьми, успешные аспиранты могут закончить с одной или двумя статьями к тому времени, когда они закончат.
До сих пор я работал с тремя (группами) студентов в школе без отбора, что привело к трем рецензируемым статьям, которые в своих журналах неотличимы от любого другого исследования. Все студенты соответствовали обычным стандартам соавторства. (Этот рекорд отчасти связан с тем, что как исследователь я знаю достаточно, чтобы выбирать математические задачи, в которых мы, вероятно, найдем материалы для публикации.) Когда я учился в престижных исследовательских школах, я видел еще больше математических специальностей, которые могли бы работать над опубликованное исследование в качестве студентов. Как я уже писал, проблема гораздо больше в культуре, чем в способностях.
Я не уверен, что это ответ на основной заданный вопрос (имеется в виду титульный вопрос, а не последняя строка поста), который касается большинства дипломных работ , а не таких вещей, как REU. Таким образом, вопрос заключается не только в том, на что способны студенты, но и в том, что их руководители дипломных работ считают хорошим проектом. Я часто думаю, что для студента полезнее изучить какую-то важную установленную математику, чем пытаться сделать что-то новое, не требующее небольшой подготовки.
@Kimball: Я думаю, что это одна из причин совершенно разных ответов. Мой ответ предназначен для ответа на последний вопрос, а не на заголовок поста, который задает совсем другое. Мое прочтение поста в целом таково, что он приближается к последнему вопросу, спрашивая, способны ли студенты вообще доказывать новые результаты.
Одним из известных мне примеров студенческой математической диссертации, которая доказала что-то новое, является гарвардская диссертация Манджула Бхаргавы 1996 года «О P-упорядочениях и полиномиальных функциях на произвольных подмножествах колец типа Дедекинда», которая позже привела к публикациям в журнале Amer. Math., журнал Крелла и J. Теория чисел. Однако этот пример действительно демонстрирует трудности студентов, публикующих что-то новое. Бхаргава не был типичным студентом; Позже он стал одним из самых молодых профессоров Принстона и получил Филдсовскую медаль. Неразумно основывать общие ожидания на исключительных случаях.

Я могу рассказать вам о своем опыте, так как сейчас я пишу диплом бакалавра (правда, в качестве летнего проекта).

Я учусь на бакалавриате по математике, в настоящее время прохожу летнюю стажировку «Введение в исследования». Я изучаю теорию вероятностей.

Будучи студентом первого курса, около половины своего времени я тратил на укрепление своего математического образования в области вероятностей, теории мер и анализа. Я также потратил довольно много времени на изучение специализированных статей и, наконец, применил изучаемую общую теорию к конкретной проблеме, где действительно доказал нечто «новое», очень внимательно следя за другими опубликованными результатами. По дороге я также доказал несколько лемм, не представляющих общего интереса, но «новых» и интересных для меня.

Ясно, что от студентов бакалавриата не ждут новаторских результатов, представляющих общий интерес. Однако они могут внести свой вклад в математику, обобщая и собирая связанные результаты из нескольких статей, применяя новые теории, находя примеры и т. д.

Совет.

Вы не должны стремиться к великим открытиям, а просто пытаться делать свою собственную математику. Задайте себе множество «глупых» вопросов и найдите на них ответы. Вот как вы получите несколько небольших новых результатов. Убедитесь, что вы можете понять общую картину своей области исследования, что вы смотрите на нее с критической точки зрения и что вы понимаете проблемы, которые ее мотивируют.

Часто ли студенты-математики доказывают что-то новое?

Да. Но не великие вещи, а иногда вещи, которые, возможно, уже известны специалистам (но не широко доступны). Я думаю, что для старшекурсника достаточно, чтобы доказать вещи, которые являются новыми для него/нее и ее одноклассников/консультанта/и т.д.

Некоторые из имплицитных посылок такого рода вопросов или имплицитные посылки в ответах на вопрос на самом деле являются проблемой. Я полностью согласен с тем, что старшекурсники всех «калибров» должны «быть в комнате», когда речь идет о чем-то, напоминающем «живую» математику. Но/и это становится наиболее значимым, когда мы смотрим на фальшь, искусственность и бесплодие типичной учебной программы бакалавриата: она фальшивая и умирающая, в ней нет места для того, чтобы кто-то вообще что-либо делал, и никаких намеков на реальность. Жутковато, да. Но это не сразу влечет за собой своего рода «противоположность», что новичкам нужно очень мало знать, чтобы внести значимый вклад. В течение нескольких сотен лет (тысяч?) грубая смекалка уже применялась довольно систематически. Люди научились полезным вещам, а не знать этого - значит не знать, как поменять шину, или лампочку, или фильтр печки, или открыть дверь. Не то, чтобы обычная учебная программа сильно помогала, я согласен! Но это не означает, что базовые операционные навыки (включающие в себя временами тонкую математику, в буквальном смысле здесь) не имеют значения. Выйти за пределы дегенеративной «школьной математики» — это прекрасно… но думать, что это означает «нам не нужно ничего знать!» очевидно глупо... даже если привлекательно. "Сложный".

Часто ли дипломная работа по чистой математике доказывает что-то новое?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v