Что представляют собой недиагональные элементы метрического тензора?

Для некоторых метрик общей теории относительности метрический тензор грамм α β не диагональная матрица. Например, метрика Алькубьерре задается выражением

г с 2 знак равно − г т 2 + [ г Икс − В с ( т ) ф ( р с ) г т ] 2 + г у 2 + г г 2 .

Матрица, соответствующая этой метрике, имеет вид

грамм α β знак равно ( В с ( т ) 2 ф ( р с ) 2 − 1 − В с ( т ) ф ( р с ) 0 0 − В с ( т ) ф ( р с ) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )

который не является диагональным. С другой стороны, метрика Шварцшильда не имеет перекрестных членов:

г с 2 знак равно ( 1 − р с р ) с 2 г т 2 − ( 1 − р с р ) − 1 г р 2 − р 2 ( г θ 2 + грех 2 ⁡ θ г ф 2 )

Я ожидаю, что можно будет найти систему координат, в которой метрика Алькубьерре будет диагонализирована. Однако в системах координат, где существуют недиагональные элементы, есть ли более глубокий смысл в том, что представляют перекрестные члены?

Если метрический тензор не диагонализирован, то определитель может обратиться в нуль в данной точке, что допускает существование вырожденной системы координат.
Почему вы ожидаете, что метрический тензор всегда будет диагональным? Метрический тензор таков, что скалярное произведение о ( ты , в ) знак равно грамм α β ты α в β ; если вы всегда находитесь на ортогональной основе, нет необходимости, чтобы диагональные члены исчезали.

Ответы (1)

В одной точке недиагональные элементы метрического тензора просто говорят, что ваша система координат не ортогональна. Например, если вы используете Икс ^ а также Икс ^ + у ^ как ваша основа на плоскости, результирующая метрика имеет перекрестный термин.

Поскольку метрический тензор симметричен, его всегда можно диагонализовать в одной точке, так что это не очень интересно. Интересный вопрос состоит в том, чтобы посмотреть, сможете ли вы найти систему координат, которая диагонализует метрику в каждой точке; это имеет физический смысл.

Предположим, вы могли бы найти систему координат, в которой не было бы г т г Икс я перекрестные термины и отсутствие зависимости от времени. Тогда метрика инвариантна относительно обращения времени, так как время появляется только через г т 2 . Это работает для метрики Шварцшильда, поскольку черная дыра просто сидит и ничего не делает.

И наоборот, если ваша ситуация не статична, вы не можете везде диагонализовать метрику. Например, в метрике Керра для вращающейся черной дыры есть г т г ф поперечный член от вращения. В вашей метрике есть г т г р перекрестный член из-за движения привода Алькубьерре / «пузыря деформации».

Если вы можете найти ортогональную систему в каждой точке, почему вы не можете объединить эти системы в глобальную систему, ортогональную в каждой точке? Я думаю о двух плоскостях Евклидена. После определения радиальной координаты r вы определяете (в каждой точке) угловую координату, ортогональную r, а затем объединяете их все. Эта угловая координата будет указывать в разных направлениях в каждой точке, но это нормально.
@Arik Вы можете сделать это только тогда, когда ваше пространство-время не имеет кривизны. Подумайте о попытке сделать то же самое на Земле: это невозможно, потому что поверхность Земли искривлена.
Точно так же я могу сделать это и на Земле. Сначала я определяю «радиальную» координату (на самом деле широту, но на самом деле это радиальная координата), а затем в каждой точке я определяю угловую координату «фи» (долготу). у меня отлично работает. (Как вы пишете этот знак «at» в начале комментария? У меня это не работает)
По-видимому, любая метрика диагонализируема; только не обязательно по координатной основе.
Что представляют собой недиагональные элементы метрического тензора?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v