«Работа с импульсом ppp» и «работа с масштабом перенормировки μμ \ mu»

Перенормированный заряд/связь в КТП обычно формулируется как шкала перенормировки мю зависимый α ( мю ) в постановке ренормализационной группы. Но можем ли мы взять более проясняющий угол «импульса»? п или п 2 зависимый" α ( п 2 ) ? Шкала перенормировки мю , как это преподается в большинстве учебников по КТП (часто вводится неинтуитивно как параметр масштаба в размерной регуляризации), скорее сбивает с толку новых учащихся, чем проясняет.

Давайте прольем свет на шкалу перенормировки мю на простом примере

Икс ( т ) "=" л н ( т / т 0 ) + Икс 0 .
(в контексте физики переводится как
α ( п ) "=" л н ( п / мю ) + α 0
с α константа связи, п будучи импульсом, мю масштаб перенормировки соответственно)

Переменная Икс является решением дифференциального уравнения первого порядка ( β -функция)

β ( Икс ) "=" д Икс ( т ) / д л н ( т ) "=" 1 ,
с начальным условием
Икс ( т ) | т "=" т 0 "=" Икс 0 .

«Бег со шкалой перенормировки мю подход равносилен отношению Икс ( т , т 0 , Икс 0 ) как решение альтернативного дифференциального уравнения (дифференцируя относительно точки начального условия т 0 , который мю в контексте физики)

β ′ ( Икс ) "=" д Икс ( т 0 ) / д л н ( т 0 ) "=" − 1 ,
с начальным условием
Икс ( т 0 ) | т 0 "=" т "=" Икс 0 .
Действительно ли этот коварный и непослушный взгляд на исходное дифференциальное уравнение полезен (или только добавляет путаницы)?

Давайте посмотрим на другой пример собственной энергии. Σ ( ⧸ п ) в фермионном пропагаторе

г "=" я ⧸ п − м 0 − Σ ( ⧸ п ) + я ϵ
где собственная энергия Σ ( ⧸ п ) можно в общем случае выразить как
Σ ( ⧸ п ) "=" а ( п 2 ) + б ( п 2 ) ⧸ п .
Чтобы упростить наше обсуждение, давайте предположим, что (что означает отсутствие перенормировки волновой функции)
б ( п 2 ) "=" 0.
Если мы еще больше расширим собственную энергию, как
Σ ( п 2 ) "=" а ( п 2 ) "=" м 0 ′ + с 1 п 2 + с 2 п 4 + . . .
мы узнаем, что м 0 ′ расходится, а с 1 и с 2 конечны. Весь (математически сомнительный) бизнес по перенормировке масс основан на предположении, что
м р "=" м 0 + м 0 ′
конечно (или, что то же самое, м 0 "=" м р − м 0 ′ , касательно м 0 ′ как член счетчика масс), так что пропагатор фермионов
г "=" я ⧸ п − м 0 − Σ ( п 2 ) + я ϵ
"=" я ⧸ п − ( м р + с 1 п 2 + с 2 п 4 + . . . ) + я ϵ
конечно и корректно определено.

Обратите внимание, что пока м 0 и м 0 ′ расходятся, конечные м р (это не физическая масса полюса м п , пока не с 1 "=" с 2 "=" 0 ) можно определить опытным путем.

С другой стороны, конечные коэффициенты с 1 и с 2 можно посчитать( д Σ ( п 2 ) / д п 2 и д 2 Σ ( п 2 ) / ( д п 2 ) 2 конечны, это круто! Он должен учитывать перенормируемость/локальные счетчики перенормируемой КТП), чтобы мы знали, как собственная энергия Σ ( п 2 ) (или, точнее, конечное и четко определенное м 0 + Σ ( п 2 ) "=" м р + с 1 п 2 + с 2 п 4 + . . . ) работает с импульсом/энергией п 2 .

Вся дискуссия выше о запуске Σ ( п 2 ) НЕ зависит от масштаба перенормировки мю совсем!

Обновлять:

«Можно ли использовать схемы перенормировки без мю "? Наверняка можно, не прибегая ни к какой РГ (будь то РГ Вильсона/Полчинского/Веттериха или пертурбативная КТФ РГ). Просто возобновить геометрический ряд (именно так Ландау нашел полюс Ландау!) диаграмм Фейнмана а-ля , 1/N (т'Хоофта), аппроксимация радуги/лестницы и т. д. Существует множество альтернативных способов достижения этого так называемого улучшения РГ без использования РГ в сопровождении иллюзорного мю .

Ответы (1)

Нет, вы не можете просто определить масштаб перенормировки мю с импульсом п .

Напомним, что многие схемы перенормировки зависят от параметра мю с размерностями энергии/импульса. Количество мю не нуждается в какой-либо физической интерпретации. Однако оказывается, что если типичный масштаб импульса процесса О ( мю ) , то вклады более высокого порядка (петлевые диаграммы) будут меньше.

Отсюда, казалось бы, бесполезный и запутанный параметр мю на самом деле является одним из величайших преимуществ континуальной РГ по сравнению с Вильсоновской РГ. Выбрав мю , мы можем сделать вычисление физической наблюдаемой гораздо более эффективным. Например, муфта е 2 ( мю ) описывает общую силу всех взаимодействий с участием частиц с импульсом О ( мю ) . (Подробнее см. в этом вопросе .) Вот почему континуум РГ также называют «пересуммированием». Он перемещает термины внутри ряда, чтобы поместить большую часть вклада в ведущие термины.

Вы не можете просто сказать мю является «импульсом», потому что даже простейшие процессы имеют несколько масштабов импульса. Например, рассмотрим ваш типичный 2 → 2 КЭД-рассеяние, где частицы с импульсами п 1 я , п 2 я разбрасывать по импульсам п 1 ф , п 2 ф . Какой из этих четырех импульсов должен быть мю ? На самом деле, ни один из них! Обычно за него принимается импульс обменного фотона, т.е. п 1 ф − п 1 я для т -канальное рассеяние.

Сбор мю является серьезной нетривиальной проблемой. Сотни статей были написаны на тему «установки масштаба в КХД», которая представляет собой вопрос о том, как выбрать мю для процессов КХД. Это крайне важно для получения точных результатов и полной непрозрачности. Однажды мне сказали, что для любого заданного мю вы должны относиться к результатам, которые вы получаете для мю ′ е [ мю / 2 , 2 мю ] как «теоретическая неопределенность».

Можно ли использовать схемы перенормировки без мю ? Безусловно, просто используйте Wilsonian RG (обзор см. здесь ). Это действительно концептуально яснее, но оно никогда не используется для точных расчетов в физике элементарных частиц именно по указанным выше причинам.

«Можно ли использовать схемы перенормировки без мю "? Наверняка можно, не прибегая ни к какой РГ. Просто возобновить геометрический ряд (именно так Ландау нашел полюс Ландау!) фейнмановских диаграмм а-ля, 1/N, радужно-лестничное приближение и т. д. Есть тонны способов сделать это.
@MadMax Конечно, вы можете избежать письма мю в ваших формулах, если хотите, я просто говорю, почему это полезно иметь.
«Нет, вы не можете просто определить масштаб перенормировки мю с импульсом п ." Нет, я НЕ идентифицирую шкалу перенормировки мю с импульсом п . Вместо этого я определяю шкалу перенормировки мю с начальным условием в п → п 0 "=" мю .
«Работа с импульсом ppp» и «работа с масштабом перенормировки μμ \ mu»
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v