гр. Статья Эйнштейна 1911 года: О влиянии гравитации на распространение света

Существует много путаницы в отношении того, что именно подразумевается под скоростью света в общей теории относительности, поэтому я думаю, что стоит изучить это с некоторой осторожностью. Проблема оказывается абсолютно фундаментальной для общей теории относительности.

Специальная теория относительности

Начнем со специальной теории относительности. Хотя специальная теория относительности редко представляется как таковая, она представляет собой просто плоское пространственно-временное ограничение общей теории относительности, то есть это геометрия пространства-времени, описываемая метрикой Минковского:

$$\mathrm ds^2 = -~c^2~\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2 \tag{1}$$

где мы используем координату времени$t$и декартовы пространственные координаты$x$,$y$а также$z$. Параметр$c$является константой, и пока не будем делать никаких предположений о ней, хотя увидим, что она оказывается скоростью света.

Свет (и любые безмассовые частицы) движутся по нулевым траекториям, т. е. по тем траекториям, где$\mathrm ds = 0$, и если мы подставим это в уравнение (1), мы получим после небольшой перестановки:

$$c = \frac{\sqrt{ \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2}}{\mathrm dt}$$

Но$\sqrt{ \mathrm dx^2 +\mathrm dy^2 +\mathrm dz^2}$это просто выражение Пифагора для полного расстояния, пройденного в пространстве - назовем это$\mathrm dr$- итак получаем:

$$c = \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}$$

А это всего лишь скорость света, поэтому:

постоянная$c$это скорость света

Метрика Минковского не изменяется при любом преобразовании Лоренца, поэтому все наблюдатели, связанные преобразованиями Лоренца, будут измерять скорость света так, чтобы она имела одно и то же постоянное значение.$c$. Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что в специальной теории относительности скорость света постоянна.

Но даже в специальной теории относительности все не так просто, как кажется на первый взгляд. Метрика (1) описывает пространство-время для инерциального наблюдателя, а преобразования Лоренца связывают системы отсчета инерциальных наблюдателей. Однако возможны ускоренные наблюдатели, например, наблюдатели в ракете, ускоряющейся с некоторым ускорением.$a$, а чтобы получить метрику ускоренного наблюдателя, нам нужно использовать преобразование Риндлера. Это дает нам метрику Риндлера для правильного ускорения.$a$:

$$\mathrm ds^2 = -~ \left(1 + \frac{a}{c^2}x \right)^2 c^2~\mathrm dt^2 +\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2 \tag{2}$$

Если мы воспользуемся тем же трюком, что и раньше, для вычисления скорости света, мы получим:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c \left(1 + \frac{a}{c^2}x \right) \tag{3}$$

И мы обнаруживаем, что скорость света не постоянна, а изменяется в несколько раз.$\left(1 + \frac{a}{c^2}x \right)$куда$x$это расстояние от наблюдателя. В чем дело? Ну, есть два ключевых момента, чтобы сделать

Во-первых, это тот же самый свет, скорость которого измеряет неускоряющийся наблюдатель.$c$, а свет не изменился. Что изменилось, так это то, что пространственные координаты ускоряющегося наблюдателя искривляются из-за ускорения. Различная скорость света связана с изменением координат, а не с изменением света. По этой причине мы называем скорость, вычисленную выше, координатной скоростью света, то есть это скорость, измеренная в любых координатах, которые использует наблюдатель. Когда эти координаты искривлены, скорость обычно отличается от$c$.

Во-вторых, хотя скорость света может меняться в ускоряющей системе отсчета, давайте посмотрим, что происходит в положении наблюдателя, т.е.$x = 0$. Когда мы заменяем$x=0$уравнение (3) упрощается до:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c$$

И мы находим скорость света в положении наблюдателя$c$, как и неускоряющийся наблюдатель. Мы называем это локальной скоростью света, потому что она измеряется локально, т.е. в положении наблюдателя.

Итак, что мы нашли:

1. Координатная скорость света может быть отличной от$c$

2. Локальная скорость света по-прежнему$c$

Общая теория относительности

Теперь об общей теории относительности. В общей теории относительности мы описываем пространство-время как лоренцево многообразие, и решение уравнения Эйнштейна дает нам форму этого многообразия, то есть метрику. Чтобы записать метрику, нам нужно выбрать систему координат, а в ОТО все системы координат равнодействительны, и мы можем выбрать любую систему координат, какую захотим. Обычно мы стараемся выбирать координаты, которые облегчают наши расчеты.

Для наших целей ключевым моментом является то, что для лоренцева многообразия всегда есть выбор координат, который делает геометрию пространства-времени локально метрикой Минковского, т. е. всегда есть выбор координат, который делает пространство-время локально плоским. Эти координаты соответствуют системе покоя свободно падающего наблюдателя, поэтому для свободно падающего наблюдателя они как бы покоятся в плоском пространстве-времени. Это верно только локально, и по мере того, как мы удаляемся от свободно падающего наблюдателя, искривление пространства-времени вызовет приливные силы, однако в положении наблюдателя приливные силы стремятся к нулю.

Но мы уже знаем из обсуждения выше, что в пространстве-времени Минковского скорость света есть постоянная$c$, а это означает, что наш свободно падающий наблюдатель всегда измеряет локальную скорость света как постоянную$c$.

Но как насчет наблюдателей, которые не падают свободно? Я собираюсь приукрасить это и просто сказать, что для любого наблюдателя, который не падает свободно, пространство-время локально выглядит как пространство-время Риндлера. И, как мы обсуждали выше, в пространстве-времени Риндлера локальная скорость света также является постоянной величиной.$c$. Таким образом, даже ускоряющийся наблюдатель также измеряет скорость света как постоянную.$c$.

Итак, как и в специальной теории относительности, мы заканчиваем выводом:

Локальная скорость света$c$

Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что скорость света постоянна в общей теории относительности.

Как мы обнаружили ранее, для ускорения наблюдателей в плоском пространстве-времени координатная скорость света может быть не равна$c$. Возьмем заезженный пример метрики Шварцшильда, которая описывает геометрию пространства-времени вокруг статической черной дыры:

$$\mathrm ds^2 = -~\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2~\mathrm dt^2 + \frac{\mathrm dr^2}{1 - r_s/r} + r^2~\left(\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta~\mathrm d\phi^2\right)$$

Мы рассчитываем координатную скорость так же, как и раньше. Предположим, что луч света движется в радиальном направлении так, что$\mathrm d\theta = \mathrm d\phi = 0$, и, как прежде, заменяя$\mathrm ds=0$дает нам координатную скорость:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c \left(1-\frac{r_s}{r}\right)$$

И мы находим, что координатная скорость не$c$. Однако координаты Шварцшильда — это координаты наблюдателя на бесконечности, т.е.$r=\infty$, поэтому мы получаем локальную скорость света для этого наблюдателя, подставляя$r=\infty$получить:

$$\frac{dr}{dt} = c \left(1-\frac{r_s}{\infty}\right) = c$$

Итак, еще раз локальная скорость света равна$c$. Я не буду этого делать, так как алгебра немного утомительна, но легко показать, что для любого наблюдателя в пространстве-времени Шварцшильда локальная скорость света также является просто постоянной$c$. Итак, как и раньше, мы приходим к выводу, что для всех наблюдателей в пространстве-времени Шварцшильда локальная скорость света равна$c$.

И наконец

Я далеко отклонился от вашего первоначального вопроса, но моя цель состоит в том, чтобы подчеркнуть, что локальная скорость света остается$c$даже в ГР. Координатная скорость света не может быть$c$, но мы можем выбрать любые координаты, какие захотим, и действительно, разные наблюдатели в целом будут использовать разные координаты, так что в координатной скорости нет ничего особенного или уникального.

Сделав это, вернемся к вашему вопросу о гравитационном потенциале. За исключением нескольких особых случаев, чрезвычайно сложно решить уравнение Эйнштейна, чтобы получить метрику. Однако, если гравитационные поля слабы, мы можем использовать приближение, называемое пределом слабого поля. В этом случае метрика:

$$\mathrm ds^2 \approx -\left( 1 + \frac{2\Delta\phi}{c^2}\right) c^2~\mathrm dt^2 + \frac{1}{1 + 2\Delta \phi/c^2}\left(\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2\right)$$

куда$\Delta \phi$есть разница в ньютоновском гравитационном потенциале с позиции наблюдателя. А вычисление координатной скорости света по-прежнему дает нам:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c \left( 1 + \frac{2\Delta \phi}{c^2}\right)$$

Чтобы получить локальную скорость света, заметим, что в положении наблюдателя$\Delta\phi=0$поэтому местная скорость света:

$$\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c$$

Сюрприз Сюрприз!

Здесь есть тонкость. Такое впечатление, что в 1911 году Эйнштейн подтвердил предсказание Ньютона (скорость света, падающего к источнику гравитации, меняется, как скорость обычных падающих тел), а в окончательной версии ОТО эта вариация удвоилась. Это неверное впечатление (Эйнштейн этого не предсказывал), но эйнштейнианцы время от времени усиливают его:

http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9909014v1.pdf Стив Карлип: «Хорошо известно, что отклонение света в два раза превышает предсказанное ньютоновской теорией; в этом смысле, по крайней мере, свет падает с удвоенной скоростью. ускорение обычной «медленной» материи».

Что предсказывает общая теория относительности, так это то, что скорость падающего света УМЕНЬШАЕТСЯ (в гравитационном поле Земли ускорение падающих фотонов ОТРИЦАТЕЛЬНО, -2g):

Цитата: «Вопреки интуиции, скорость света (в правильном определении) уменьшается по мере приближения к черной дыре».

Цитата: "Эйнштейн написал эту статью в 1911 году на немецком языке. (...) ...в разделе 3 этой статьи вы найдете вывод Эйнштейна переменной скорости света в гравитационном потенциале, уравнение (3). Результат такой: : c'=c0(1+φ/c^2), где φ – гравитационный потенциал относительно точки, в которой измеряется скорость света c0. Проще говоря: кажется, что свет движется медленнее в более сильных гравитационных полях (близко к большей массе) (...) Вы можете найти более сложный вывод Эйнштейна (1955 г.) из полной общей теории относительности в приближении слабого поля, (...) А именно, приближение 1955 г. показывает изменение в км/сек вдвое больше, чем так, как впервые было предсказано в 1911 году».

Цитата: «В частности, Эйнштейн писал в 1911 году, что скорость света в месте с гравитационным потенциалом φ будет равна c(1+φ/c^2), где c — номинальная скорость света в отсутствие гравитации. В геометрических единицах мы определяем c=1, поэтому формулу Эйнштейна 1911 г. можно записать просто как c'=1+φ.Однако эта формула для скорости света (не говоря уже об этом подходе к гравитации) оказалась неверной, т.к. Эйнштейн понял за годы, предшествовавшие 1915 г. и завершению общей теории (...) ...мы имеем c_r =1+2φ, что соответствует уравнению Эйнштейна 1911 г., за исключением того, что мы имеем множитель 2 вместо 1 на потенциальном сроке».

Что касается статьи, что имеет в виду Эйнштейн, когда говорит: «Если мы назовем скорость света в начале координат$c_0$, то скорость света$c$в месте с гравитационным потенциалом Φ будет определяться соотношением:$c = c_0*(1+(Φ/(c^2))).$Принцип постоянства скорости света действует согласно этой теории в иной форме, чем та, которая обычно лежит в основе обычной теории относительности».

Он имел в виду именно то, что сказал. Скорость света зависит от гравитационного потенциала. Она меняется с высотой, с возвышением. Он повторял это неоднократно, год за годом:

1912 : «С другой стороны, я придерживаюсь мнения, что принцип постоянства скорости света может соблюдаться только в той мере, в какой человек ограничивается пространственно-временными областями постоянного гравитационного потенциала» .

1913 : «Я пришел к выводу, что скорость света не следует рассматривать как независимую от гравитационного потенциала. Таким образом, принцип постоянства скорости света несовместим с гипотезой эквивалентности».

1914 : «В случае, когда мы отбрасываем постулат о постоянстве скорости света, априори не существует привилегированных систем координат».

1915 г .: «автор этих строк придерживается мнения, что теория относительности все еще нуждается в обобщении в том смысле, что следует отказаться от принципа постоянства скорости света».

1916 г .: «Во-вторых, наш результат показывает, что, согласно общей теории относительности, закон постоянства скорости света в вакууме, который составляет одно из двух основных предположений специальной теории относительности и к которому мы уже часто упоминали, не может претендовать на неограниченную действительность».

1920 г .: «Во-вторых, это следствие показывает, что закон постоянства скорости света, согласно общей теории относительности, более не выполняется в пространствах, обладающих гравитационными полями. Как показывает простое геометрическое рассмотрение, искривление световых лучей происходит только в пространствах, где скорость света пространственно переменна».

Постоянна ли скорость света только в пространстве, где постоянен и гравитационный потенциал?

Да. Заметьте, что это сказал не только Эйнштейн. См. задержку Шапиро : «согласно общей теории, скорость световой волны зависит от силы гравитационного потенциала на ее пути» . Также см . Везде ли скорость света одинакова? релятивист Дон Кокс на веб-сайте Baez/PhysicsFAQ: «В этом смысле мы могли бы сказать, что «потолочная» скорость света в присутствии гравитации выше, чем «нижняя» скорость света».Конечно, более важно то, что сказал Эйнштейн или кто-либо другой, это твердое научное доказательство. Если вы откроете часы, вы не увидите, как через них течет время. Вместо этого вы видите, как вращаются шестеренки, или качается маятник, или колеблется кристалл, или что-то еще движется. Когда эта штука движется медленнее, часы идут медленнее. Оптические часы следуют тому же принципу, и они идут медленнее, когда они ниже. См. интервью Дэвида Вайнленда : «Если одни часы в одной лаборатории на 30 сантиметров выше, чем часы в другой лаборатории, мы можем увидеть разницу в скорости их хода». Оптические часы — это не какой-то космический газовый счетчик, по которому течет время. Он идет медленнее, когда он ниже, потому что свет идет медленнее, когда он ниже, а не по какой-либо другой причине.

Обратите внимание, что есть люди, которые скажут вам, что скорость света абсолютно постоянна. Боюсь, это научно-популярный миф. К сожалению, это иногда сопровождается большим количеством математических размахиваний руками и абстракций, призванных произвести впечатление на невинных. Есть также люди, которые скажут вам, что местная скорость света всегда равна c. Боюсь, это тавтологическая чепуха. См. https://arxiv.org/abs/0705.4507где Магейхо и Моффат ссылаются на него. Мы используем локальное движение света, чтобы определить секунду как продолжительность 9 192 631 770 периодов определенного излучения. Мы определяем метр как расстояние, пройденное светом в вакууме за 1/299792458 секунды. Когда вы затем используете секундомер и измеритель для измерения локального движения света, вы «измерите» локальную скорость света, которая по определению будет равна 299 792 458 м/с . Повторите все это упражнение на двух разных высотах, и вы измерите, что верхний световой импульс движется со скоростью 299 792 458 м/с, и вы также измерите нижний световой импульс со скоростью 299 792 458 м/с:

Два световых импульса движутся с разной скоростью, потому что секунды на двух высотах не совпадают.