Почему пространство-время вблизи квантовой черной дыры примерно AdS?

Процитированный вами ответ был недействителен во многих отношениях, в том числе и в этом. Квантовый характер черной дыры не имеет ничего общего с геометрией AdS; геометрия AdS — это пригоризонтная геометрия классической черной дыры (или черной браны). Какая черная дыра? Это должна быть экстремальная черная дыра, т.е. она должна иметь максимальное значение заряда или углового момента, допустимое для данной массы (или плотности массы, в случае черных бран).

Для черного$p$-брана, растянутая во времени, а также$p$дополнительные пространственные измерения,$AdS_{p+2}$. Например, можно получить$AdS_2\times S^{d-2}$из пригоризонтной геометрии экстремальных черных дыр в$d=4$. См. выводы и комментарии, например, на страницах 57 и 104 в

http://arxiv.org/abs/hep-th/9905111

или поищите «near-horizon [геометрия]» в этой статье или другом введении в AdS/CFT. Черные дыры, которые не являются экстремальными, имеют конечный объем области вблизи горизонта, и квантовые явления ничего в этом факте не меняют. Экстремальность нужна для бесконечного объема — а пространства AdS имеют бесконечный объем. Вывод пригоризонтного предела метрики черной дыры представляет собой чисто классическую геометрическую процедуру: в метрическом тензоре пренебрегают некоторыми второстепенными членами и оставляют только главные (доминирующие при небольшой разнице$\Delta R$от горизонта относительно радиуса черной дыры), как и следовало ожидать.

Аппроксимация находится в рамках чисто классической гравитации, и параметр, по которому она является аппроксимацией, — это расстояние от горизонта. Это расширение пространства-времени вблизи горизонта экстремальной черной дыры в ведущем порядке по отношению расстояния от горизонта к радиальному параметру черной дыры. Причина, по которой в ответе говорится «квант», состоит в том, что описание ближнего горизонта наиболее полезно для случаев, когда поведение ближнего горизонта такое же, как поведение связанных струн, которые описываются чистой калибровочной теорией, живущей на бранах, которые составляют квантовые степени свободы модельной черной дыры. Этот случай называется AdS/CFT.

Когда черная дыра не является экстремальной, как обычная черная дыра Шварцшильда, горизонт локально плоский. Таким образом, если вы приблизитесь к участку горизонта, вы обнаружите обычное пространство Минковского, за исключением того, что внешняя временная координата становится угловой координатой Минковского, как и пространство Риндлера.

Чтобы увидеть это формально, рассмотрим метрику Шварцшильда в радиальной координате, параметризованной u, так что обычная радиальная координата r определяется как$r=2M+u^2$

$$-{u^2\over 2M + u^2 } dt^2 + {2M+u^2\over u^2} dr^2 + (2M+u^2)^2 d\Omega^2$$

Заменять$dr$к$2u du$и считать u малым, чтобы метрика стала ведущей

$$-{u^2\over 2M} dt^2 + 8M du^2 + (2M)^2 d\Omega^2$$

Результатом является метрика пространства Риндлера в координатах t,u, скопированная на двумерную сферу. Поскольку координаты r, t перпендикулярны сфере, расширяя сферу в локально плоских координатах, вы восстанавливаете 4d-пространство Минковского в форме Риндлера в каждом локальном участке сферы. $d\Omega^2$часть становится$dy^2 + dz^2$вблизи заданной точки на сфере (все они одинаковы), а затем обычное изменение координат из пространства Риндлера в координаты Минковского (с дополнительным масштабированием, чтобы избавиться от фактора 2М) работает, чтобы показать, что пространство-время локально Минковского, т. е. что горизонт не является каким-то особенным сингулярным местом.

Самый простой экстремальный предел — черная дыра Рейснера Нордстрема:

$$ds^2 = - f(r) dt^2 + {1\over f(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

С$f(r) = 1-{2M\over r} + {Q^2\over r^2}$. В этом случае экстремальность есть Q=M, так что$f(r) = (1-{Q\over r})^2$. Теперь горизонт находится в точке r=Q, и интеграл расстояния ds от r=Q out дает бесконечность. Это и есть «бесконечный объем», о котором упоминает Любос, — это просто бесконечное расстояние до горизонта, умноженное на площадь сферы. Это не означает, что объекты не могут пересекаться, потому что горизонт беспричинно расширяется, чтобы встретиться с объектами конечной массы за конечное время. Только бесконечно малые пробные частицы падают бесконечно долго, конечные объекты падают за конечное время (и я думаю, что они также падают обратно за конечное время, но это уже другая история).

Расширяя r=Q+u,$f(r) = u^2/Q^2$в ведущем порядке, и вы получаете

$$ds^2 = - {u^2\over Q^2} dt^2 + {Q^2\over u^2} du^2 + Q^2 d\Omega^2$$

Первая часть теперь представляет собой локально искривленное двумерное пространство-время, а вторая часть — метрика сферы радиуса Q. Кривизна первой части должна быть постоянной по сфере по симметрии, и она должна быть постоянной по u, поскольку вы приближаются к маленькому пределу u, где кривизна радиальной сферы становится постоянной, так что кривизна части u должна быть отрицательной в соответствии с уравнением Эйнштейна свойством исчезающей кривизны Риччи. Так что это должно быть рекламное пространство.

Но лучше проверить это явно. Используя логарифмическую координату$x = Q log u$, и масштабируя t на Q, радиальная метрика становится

$$ds^2 = - e^{-{2\over Q} x} dt^2 + dx^2$$

Теперь это очевидно однородно, потому что сдвиг t ничего не делает, в то время как сдвиг x компенсируется изменением масштаба t. Кривизну можно быстро вычислить с помощью быстрого и грязного метода, описанного здесь: скаляр Риччи для диагонального метрического тензора

$$g_{\mu\nu} = - e^{- 2\alpha x} l_{00} + l_{11}$$

Где$\alpha = 1/Q$, дифференциация

$$\Gamma_{\xi,\mu\nu} = -\alpha e^{-2\alpha x} (l_{001}+l_{010}+l_{100})$$

$$\Gamma^\xi_{\mu\nu} = -\alpha (l^0_{10} + l^0_{10} ) + \alpha e^{-2\alpha x} l^1_{00}$$

Что дает дифференцированную часть кривизны

$$\Gamma_, = 2\alpha^2 e^{-2\alpha\nu} l_{00}$$

и часть продукта

$$\Gamma\Gamma = -\alpha^2 e^{-2\alpha x } l_{00} - \alpha^2 l_{11}$$

Чтоб вместе они дали Риччи

$$R_{\mu\nu} = -\alpha^2 g_{\mu\nu}$$

Это пространство постоянной отрицательной кривизны, пространство AdS.

Хотя я использовал самый тривиальный пример решения 4d Рейсснера-Нордстома, аргумент полностью общий, он применим для всех экстремальных черных дыр, где у вас есть ненулевая кривизна в пределе вблизи горизонта. Все эти объекты имеют бесконечное расстояние до горизонта, и все они сводятся к однородной сфере или сфере, умноженной на АдС-пространство в поперечных координатах. Общее окологоризонтное поведение решений черных дыр является краеугольным камнем AdS/CFT --- пригоризонтные степени свободы - это то, что прилипает к черной дыре и описывается в теории струн слабой связи этими струнами. которые прилипли к бране. Низкоэнергетический предел струн, прилипших к бранам, обязательно описывается при низкой энергии соответствующей калибровочной теорией.