Я новичок в работе с рекламным пространством, и меня в первую очередь интересуют черные дыры. Я просто играю с метрикой для AdS
за , .
Моя проблема заключается в попытке понять границу; особенно при рассмотрении траекторий частиц:
Я читал, что для нулевых геодезических они достигают границы пространства AdS, что обычно выражается в том, что они представлены в виде прямых линий. Я не понимаю, как эти две фразы совпадают и как показать, что это так, исходя из указанной мной метрики. Используя константы движения и т. д., и предполагая радиальный путь, я нахожу уравнение
, за постоянный.
Для времяподобных геодезических я знаю, что они не достигают границы, и, что эквивалентно, я читал, что они представлены границей срезов гиперболоида, т.е. эллипсов. Опять же, как мне показать, что это действительно представляет собой геодезическую временную шкалу? Как указано выше (но в этом случае) я нахожу уравнение
куда является границей и начальный .
Я читал (насколько я могу, используя довольно ограниченную связную литературу по теме) и могу найти только обсуждения по этому вопросу с некоторыми диаграммами. Кажется, никто не подходит к этому вопросу так, как я выше, и, следовательно, я думаю, что что-то не так с тем, что я сделал.
Насколько я понял, похоже, вы хотите знать, могут ли времениподобные геодезические достичь конформной границы AdS. Если это так (пожалуйста, подтвердите), то ответ будет отрицательным — никакая времяподобная геодезическая не может достичь конформной бесконечности, она скорее периодически перефокусируется обратно в объем. Вам нужны времениподобные кривые, которые имеют некоторое ускорение, чтобы избежать этого. С другой стороны, максимально протяженные нуль-геодезические (т.е. световые лучи) всегда достигают конформной бесконечности как в прошлом, так и в будущем. Иллюстрацию этих фактов с помощью диаграмм Пенроуза можно найти, например, в разделе 5.2, стр. 131-134 книги С.В. Хокинга и Г.Ф.Р. Эллиса "Большемасштабная структура пространства-времени" (Кембридж, 1973).
Подробные рассуждения, лежащие в основе приведенного выше абзаца, можно рассматривать в глобальном геометрическом плане. В дальнейшем я в значительной степени буду следовать аргументам, представленным в книге Б. О'Нила «Полуриманова геометрия — с приложениями к теории относительности» (Academic Press, 1983), особенно в предложении 4.28 и последующих замечаниях, стр. 112. -113. Для тех, у кого нет доступа к книге О'Нила, я представлю самодостаточный аргумент во всех подробностях. Я воспользуюсь тем, что является универсальным накрытием вложенного гиперболоида ( ) в
Карта покрытия по глобальным координатам дан кем-то
Обратный образ объемлющей плоской псевдоримановой метрики определено выше (с подписью ) по после ограничения на дает метрика в форме, указанной в вопросе, и в приятном ответе Педро Фигероа до постоянного положительного коэффициента:
Конформное пополнение , в свою очередь, получается заменой радиальной переменной , чтобы , а также , уступая
Конформная бесконечность достигается взятием , что то же самое, что . Перемасштабированная метрика , дает трехмерную статическую вселенную Эйнштейна в качестве конформной границы (т.е. ).
Понятно, что есть множество уровня функции данный . Следовательно, векторное поле (куда оператор градиента, определенный относительно ) везде нормально - то есть любой касательный вектор удовлетворяет . Даны два векторных поля касательной к , внутренняя ковариантная производная на просто задается тангенциальной составляющей объемлющей (плоской) ковариантной производной :
Нормальный компонент , в свою очередь, имеет особую форму в силу природы (Заметь ):
Таким образом, мы заключаем, что кривая ( — интервал с непустой внутренностью) — геодезическая если и только если везде нормально , то есть,
В частности, если , тогда также является (нулевой) геодезической в объемлющем пространстве .
Данный , линейный диапазон и любой касательный вектор к в определяет 2-плоскость через происхождение и содержащий . Другими словами,
и поэтому
Это позволяет уже классифицировать по причинно-следственному характеру :
Более того, а также определить общее начальное условие для геодезической начинается с . Остается показать, что любая кривая, остающаяся в является геодезической в . Это явно верно для светоподобны, так как в этом случае мы уже заключили, что для всех . В остальных случаях (т. ), рассмотрим изгиб в начиная с с (мы предполагаем, что для всех ). Пишу , делаем вывод из вышеприведенной классификации что мы можем выбрать параметр чтобы
В обоих случаях делаем вывод, что
то есть должно удовлетворять геодезическому уравнению в с выбранной параметризацией, по желанию. Поскольку любая пара начальных условий для геодезической определяет 2-плоскость через начало координат описанным выше образом, мы заключаем, что результирующая геодезическая в останется навсегда в этом 2-м плане. Для дальнейшего использования я замечу, что все геодезические пересечь хотя бы один раз плоскость 2 - это легко увидеть из классификации наборов . Это позволяет задавать начальные условия в для всех геодезических в .
Теперь у нас есть полное знание геодезических в фундаментальной области. из . Что происходит, когда мы возвращаемся к универсальному покрытию? Происходит то, что подъемы пространственноподобных и светоподобных геодезических остаются ограниченными одной копией фундаментальной области, тогда как подъемы времениподобных геодезических — нет. Чтобы увидеть это, мы воспользуемся тем фактом, что переводы во временной координате являются изометрии и замечание в конце предыдущего абзаца, чтобы установить
Приведенные выражения показывают, что в пространственноподобном и светоподобном случаях последняя компонента из никогда не стремится к нулю, что подразумевает непрерывность, что временная координата остается в интервале , следовательно, подъем к остается в пределах единственной копии своего основного домена. Также видно, что пространственные компоненты (1,2,3) уйти в бесконечность как , следовательно вдоль этих геодезических как . Во времениподобном случае весь интервал времени охватывает в качестве охватывает интервал . Поскольку кривая замкнута, ее подъем на охватывает всю временную линию в качестве делает это. С другой стороны, ясно, что в этом случае пространственные компоненты просто продолжайте колебаться в ограниченном интервале координат - следовательно, координата остается отделенным от нуля. Следовательно, времяподобная геодезическая никогда не уходит в конформную бесконечность.
Я начну с нуля. Чтобы получить метрика и вложим квадрику
Итак, что вы хотите сделать, так это проверить, что происходит с геодезическими. Таким образом, благодаря вращательной или сферической симметрии, вы можете просто зафиксировать сферу под любыми углами. , чтобы , неважно, какой вы возьмете, он будет одинаковым; когда люди визуализируют это на диаграмме Пенроуза, они говорят, что каждая точка на диаграмме представляет .
Для нулевых геодезических, как , взяв аффинный параметр , из (2),
Что касается времениподобных геодезических, вы можете действовать аналогично, установив, например, (т.к. подпись -+++), то, если угодно, по надлежащему времени ,
Если, как вы говорите, вас интересуют черные дыры, возможно, вы могли бы взять показатель Шварцшильда-AdS: в (2) и попробуйте то же самое.
Дану
ДжамалС
Фиберт