Что значит интегрировать поля из теории?

«Интегрирование», на которое мы ссылаемся, когда «интегрируем тяжелые поля», есть не что иное, как интеграл Фейнмана по траекториям — способ вычисления амплитуд в квантовой теории поля с использованием сумм по историям. Если вы думали о любом другом виде «интеграла» или даже заменяли интеграл сокращениями или произвольными другими операциями, вы должны были прийти к запутанным (или совершенно неверным) выводам.

Интеграл Фейнмана по путям дает формулу для функций Грина и других амплитуд.

$$A = \int {\mathcal D}\phi_{\rm light} \,{\mathcal D}\phi_{\rm heavy}\,\exp(iS)\prod_{i}V_i$$ куда $V_i$- это некоторые вставки в интеграл, которые выбираются в соответствии с выбором величины (амплитуды), которую мы хотим количественно оценить. Мы интегрируем по всем конфигурациям всех полей и т. д. Чтобы интегрировать $\phi_{\rm heavy}$означает разделить процесс интегрирования на два шага и сначала интегрировать по некоторым степеням свободы, а именно $\phi_{\rm heavy}$– которых может быть много полей – для фиксированных значений остальных полей, $\phi_{\rm light}$.

Полученный, т.е. оставшийся интеграл, который еще ожидает интегрирования по оставшимся световым полям (без вставок), интерпретируется как$\exp(iS_{\rm effective})$куда$S_{\rm effective}$зависит только от световых степеней свободы$\phi_{\rm light}$.

$$A_\text{after integrating out} = \int {\mathcal D}\phi_{\rm light} \,\exp(iS_{\rm effective})\prod_{i}V_i,\\ \exp(iS_{\rm effective} [\phi_{\rm light}]) = \int {\mathcal D}\phi_{\rm heavy}\,\exp(iS)$$ Таким образом, мы устраняем тяжелые степени свободы и вычисляем эффективное действие, которое запоминает все петлевые эффекты, которые раньше вызывали теперь забытые тяжелые поля. Однако эта эффективная теория поля с эффективным действием — результат интегрирования тяжелых полей — хороша, конечно, только для решения низкоэнергетических вопросов. Вставки $V_i$мы можем вставить в упрощенную теорию, которая зависит только от $\phi_{\rm light}$конечно, не может больше зависеть от тяжелых степеней свободы: они исчезли.

Но в принципе, если вы вычисляете интеграл по траекториям по тяжелым степеням свободы «точно», эффективное действие может дать вам совершенно точные результаты для рассеяния световых полей и так далее. На практике мы интегрируем по тяжелым степеням свободы «приблизительно» - мы предполагаем, что эффективное действие содержит только некоторые операторы малой размерности (перенормируемые и, возможно, один или два дополнительных неперенормируемых оператора), и мы изучаем, что происходит с их коэффициентом. Если бы мы хотели, чтобы эффективное действие давало точно такой же результат для наблюдаемых в зависимости от оставшихся световых полей, что и исходное действие, мы должны были бы включить все, а эффективное действие содержало бы сколь угодно многомерные неперенормируемые операторы — то есть быть не местным.

Если вам нужно избежать интеграла по траекториям Фейнмана, то вы должны интерпретировать «интегрирование набора полей» как «нахождение динамики для оставшихся полей, которая производит те же взаимодействия или функции Грина для них, что и в исходной теории, которая действительно содержала теперь интегрированные поля». Подход Фейнмана дает нам простой инструмент для таких вещей; может быть очень сложно вывести правильный алгоритм при другом вычислительном подходе к квантовой теории поля.