Какова точная гравитационная сила между двумя массами, включая релятивистские эффекты?

Question

Какова точная гравитационная сила между двумя массами, включая релятивистские эффекты?

jpp1

Существует ли формула в закрытой форме для силы между двумя массами? $m_1$ а также $m_2$ если учесть релятивистские эффекты? Я так понимаю, что классическая формула $G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ это всего лишь приближение (которого, вероятно, достаточно даже для полета на Луну), но какой должна быть правильная формула согласно общей теории относительности? Существует ли закрытая формула? Например, для идеализированной ситуации двух однородных сферических масс?

Дэвид З.

Вот связанный с этим вопрос, который можно даже считать дубликатом: physics.stackexchange.com/q/2684 .

Абхиманью Паллави Судхир

Связанный: Геодезическое уравнение . !

Qмеханик

См . Википедию .

Мэтью Кристофер Бартш

Мне интересно, можно ли начиная примерно с 1970 года среди профессиональных релятивистов начать с замены

G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}

$G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ с

G \frac{E_{1} E_{2}}{r^{2}}

$G \frac{E_1 E_2}{r^2}$ поскольку именно полная энергия каждой однородной сферы определяет кривизну пространства-времени каждой, а не масса покоя или «инвариантная масса», как, я думаю, сейчас говорят релятивисты. На общую энергию сферы влияет температура и другие факторы. Поднимите температуру (скажем, объем не изменится), и вы увеличите энергию и, следовательно, гравитационное поле и/или кривизну пространства-времени, верно?

Ответы (5)

Какова точная гравитационная сила между двумя массами, включая релятивистские эффекты?

Вот связанный с этим вопрос, который можно даже считать дубликатом: physics.stackexchange.com/q/2684 .
Связанный: Геодезическое уравнение . !
Мне интересно, можно ли начиная примерно с 1970 года среди профессиональных релятивистов начать с замены $G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ с $G \frac{E_1 E_2}{r^2}$ поскольку именно полная энергия каждой однородной сферы определяет кривизну пространства-времени каждой, а не масса покоя или «инвариантная масса», как, я думаю, сейчас говорят релятивисты. На общую энергию сферы влияет температура и другие факторы. Поднимите температуру (скажем, объем не изменится), и вы увеличите энергию и, следовательно, гравитационное поле и/или кривизну пространства-времени, верно?

Замедленный потенциал · Answer 1

Хуже, чем электродинамика, общая теория относительности нелинейна в том смысле, что поле от нескольких источников — это не просто сумма полей от каждого изолированного источника. Даже простой случай, о котором вы спрашиваете, а именно проблема двух тел в общей теории относительности , не был точно решен.

Еще более простым случаем является предел $m_2 \to 0$ . Только в этом случае $m_1$ влияет на геометрию пространства-времени и $m_2$ следует геодезической в этом пространстве-времени. Это было решено точно. Связанная статья дает подробности.

[Дополнение] Чтобы напрямую ответить на исходный вопрос о лимите $m_2 \to 0$ :

Конечно, если $m_2=0$ , то сила между двумя массами равна $0$ . Но дело в классической гравитации в том, что ускорение свободного падения не зависит от массы. (Это принцип эквивалентности, и на самом деле он является одной из отправных точек общей теории относительности.) Таким образом, все же имеет смысл спросить, каково будет ускорение незначительной массы (т. е. пробного тела ) под действием силы тяжести другая масса. Классический ответ $a_2 = \frac{Gm_1}{r^2}$ .

В общей теории относительности ускорение пробного тела из-за гравитации одной сферической, однородной, невращающейся массы точно определяется решением Шварцшильда , по ссылке которого вы можете ознакомиться для получения подробной информации. Результатом чего является то, что

\ddot{р} знак равно - \frac{грамм м_{1}}{р^{2}} + р {\dot{θ}}^{2} - \frac{3 грамм м_{1}}{с^{2}} {\dot{θ}}^{2}

$\ddot{r} = -\frac{Gm_1}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{3Gm_1}{c^2}\dot{\theta}^2$

\ddot{θ} знак равно - \frac{2}{р} \dot{р} \dot{θ}

$\ddot{\theta} = -\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$ [ИСПРАВЛЕНО И УПРОЩЕНО 2 января]

куда $r$ а также $\theta$ — полярные координаты с центром в гравитирующей массе, точки — дифференцирование по собственному времени пробного тела.

Таким образом, первый член — это просто классическое радиальное ускорение. $-\frac{Gm_1}{r^2}$ . Условия $r\dot{\theta}^2$ а также $-\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$ – классическое центробежное и кориолисово ускорение для полярных координат.

Что не является классическим, так это дополнительный термин $\frac{3Gm_1}{c^2}\dot{\theta}^2$ . Наконец, существует тот факт, что дифференцирование производится по собственному времени пробного тела. Разные тестовые тела будут воспринимать время по-разному. Они могут быть связаны:

(1 - \frac{р_{с}}{р}) {\dot{т}}^{2} - \frac{{\dot{р}}^{2}}{(1 - \frac{р_{с}}{р}) с^{2}} - \frac{р^{2} {\dot{θ}}^{2}}{с^{2}} знак равно 1

$(1 - \frac{r_s}{r})\dot{t}^2 - \frac{\dot{r}^2}{(1 - \frac{r_s}{r}) c^2} - \frac{r^2\dot{\theta}^2}{c^2} = 1$

Постоянная $r_s = \frac{2Gm_1}{c^2}$ вводится для простоты. Он называется радиусом Шварцшильда гравитирующей массы.

Вот координата $t$ вводится в качестве эталонного времени, поэтому $\dot{t}$ скорость изменения эталонного времени по отношению к собственному времени тестируемого тела. Для дальнего ( $r \to \infty$ ), стационарный ( $\dot{r}=0, \dot{\theta}=0$ ) тестовое тело, это становится $\dot{t} = 1$ , поэтому эталонное время можно интерпретировать как время, измеренное удаленными неподвижными часами.

В классическом случае, конечно, каждое тело переживает одно и то же время, но его также можно сравнить со специальным релятивистским случаем, где уравнение будет таким:

{\dot{т}}^{2} - \frac{{\dot{р}}^{2}}{с^{2}} - \frac{р^{2} {\dot{θ}}^{2}}{с^{2}} знак равно 1

$\dot{t}^2 - \frac{\dot{r}^2}{c^2} - \frac{r^2\dot{\theta}^2}{c^2} = 1$

Итак, что нового в общей теории относительности, так это фактор $(1 - \frac{r_s}{r})$ . Чтобы получить некоторое представление о масштабах Земли, $\frac{r_s}{r}$ составляет около полутора частей на миллиард на поверхности Земли. (Обратите внимание, что решение Шварцшильда применимо только вне гравитирующего тела.)

Это точно только для $m_2 \to 0$ , но остается очень хорошим приближением до тех пор, пока $m_2$ намного меньше, чем $m_1$ , например, для планеты, вращающейся вокруг звезды.

Спасибо — термин «задача двух тел в общей теории относительности» полезен для поиска множества ресурсов и статей в Интернете, которые, похоже, касаются того, что меня интересовало. Мне все еще было бы интересно узнать, как можно упростить это. задачу, специализировав ее на игрушечной задаче: например, насколько сложно было бы аппроксимировать силу между двумя однородными сферическими невращающимися массами, которые не движутся (потому что соприкасаются)? Можно ли дать, например, формулу ряда для этого? Уместно ли задавать это здесь или лучше в отдельном вопросе (или вообще не задавать)?
@Johsm: я думаю, вы ищете постньютоновское расширение. Но проблема двух тел остается нерешенной для двух масс POINT, не говоря уже о тех, которые имеют структуру.
Две сферы друг на друга: один случай, который сработает, — это что-то вроде валуна на Земле. Другое дело, если обе массы имеют очень слабую гравитацию, как два астероида друг над другом. Решение Шварцшильда должно быть адекватным (если классический ответ еще не адекватен!). Других случаев на ум не приходит. Например, если вы попытаетесь поставить Луну на Землю, они не будут сидеть на месте, они рухнут!
Мое любопытство в основном мотивировано тем, что я пытался рассчитать, как релятивистские (и другие) эффекты влияют на некоторые результаты, которые можно получить для обычных «школьных задач». Например, добавление скоростей с помощью $\frac{v_1+v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}$ вместо того, чтобы просто $v_1 + v_2$ . Это весело и может дать некоторое представление таким непрофессионалам, как я. Плюс: вычислить его может любой школьник. Поэтому мне было интересно сделать то же самое для гравитации, и ответы, которые я получил здесь, уже дали много интересных идей! К сожалению, не так много школьников, которые смогут это вычислить...
Ну а если использовать собственное время тела и координаты Шварцшильда для расстояния и угла, как это сделал я, то формула ускорения почти классическая, с небольшим поправочным членом $(3GM/c^2)\dot{\theta}^2$ если есть нерадиальное движение. Но собственное время отличается от времени «стационарного удаленного наблюдателя». Это верно и в специальной теории относительности, но общая теория относительности добавляет поправочный коэффициент $(1 - \frac{r_s}{r})$ . Я обновил свой ответ соответственно. Надеюсь, это даст вам больше информации!

Хуанрга · Answer 2

Да нерелятивистское уравнение движения

\frac{г п}{г т} знак равно Ф знак равно - \frac{грамм м_{1} м_{2}}{р^{2}}

$\frac{dp}{dt} = F = -\frac{G m_1 m_2}{r^2}$

для одной частицы, гравитационно взаимодействующей с другой, справедливо только для скоростей, намного меньших скорости света, и для достаточно малых масс. Обратите внимание на знак минус в выражении для нерелятивистской силы F --гравитация притягивает--.

Во- первых , общая теория относительности является (геометрической) метрической теорией. В общей теории относительности гравитационных сил нет . В ОТО тела, на которые действует только гравитация, движутся свободно , но в искривленном пространстве-времени.

_{(источник: twimg.com )}

Общее релятивистское уравнение движения отдельного тела - это уравнение геодезического

\frac{Д п^{мю}}{Д т} знак равно 0

$\frac{DP^\mu}{D\tau} = 0$

Обратите внимание на ноль справа, который является следствием отсутствия гравитационных сил в общей теории относительности. Греческие индексы превышают 0,1,2,3 — координаты пространства-времени — и используется соглашение о суммировании. $P^\mu$ четырехимпульсный, $\tau$ нужное время и $D$ обозначает ковариантную производную, которая включает эффекты из-за кривизны пространства-времени

\frac{Д п^{мю}}{Д т} знак равно \frac{г п^{мю}}{г т} + Г_{ν λ}^{мю} U^{ν} п^{λ},

$\frac{DP^\mu}{D\tau} = \frac{dP^\mu}{d\tau} + \Gamma_{\nu\lambda}^\mu U^\nu P^\lambda ,$

куда $\Gamma_{\nu\lambda}^\mu$ являются символами Кристоффеля и $U^\nu$ четырехскоростная.

Во- вторых , полевая теория гравитации дает негеометрическое описание гравитации. В теории поля есть гравитационные силы . В этой теории тела, на которые действует только гравитация, движутся в плоском пространстве-времени (иногда это называют подходом плоского пространства-времени к гравитации), но ощущают гравитационную силу, связанную с гравитонами.

_{(источник: twimg.com )}

Теоретико-полевым уравнением движения отдельного тела в гравитационном поле является уравнение Калмана

А_{мю}^{ν} \frac{г п^{мю}}{г т} знак равно Ф^{ν} знак равно - Б_{мю λ}^{ν} U^{мю} п^{λ}

$A_\mu^\nu \frac{dP^\mu}{d\tau} = F^\nu = - B_{\mu\lambda}^\nu U^\mu P^\lambda$

куда $F^\nu$ это точная гравитационная сила с

А_{мю}^{ν} знак равно (1 - \frac{1}{с^{2}} ψ_{λ γ} U^{λ} U^{γ}) η_{мю}^{ν} - \frac{2}{с^{2}} ψ_{мю γ} U^{γ} U^{ν} + \frac{2}{с^{2}} ψ_{мю}^{ν}

$A_\mu^\nu = \left( 1 - \frac{1}{c^2} \psi_{\lambda\gamma} U^\lambda U^\gamma \right) \eta_\mu^\nu - \frac{2}{c^2} \psi_{\mu\gamma} U^\gamma U^\nu + \frac{2}{c^2} \psi_\mu^\nu$

а также

Б_{мю λ}^{ν} знак равно \frac{2}{с^{2}} ψ_{мю, λ}^{ν} - \frac{1}{с^{2}} ψ_{мю λ}^{, ν} - \frac{1}{с^{2}} ψ_{мю λ, γ} U^{γ} U^{ν}

$B_{\mu\lambda}^\nu = \frac{2}{c^2} \psi_{\mu,\lambda}^\nu - \frac{1}{c^2} \psi_{\mu\lambda}^{,\nu} - \frac{1}{c^2} \psi_{\mu\lambda,\gamma} U^\gamma U^\nu$

Здесь $\psi_{\alpha\beta}$ — потенциал гравитационного поля, а запятая обозначает обычную частную производную плоского пространства-времени.

Удивительно, как мало об этом известно. Как неспециалист в физике, я не знаком ни с принятыми обозначениями, ни с используемыми здесь математическими инструментами. Одна вещь, которая озадачивает меня как неспециалиста: не всегда ли воздействие гравитации, по крайней мере на массу, является силой? То есть что-то, что имеет направление и может быть измерено в обычных единицах силы, и что делает то, что обычно делают силы? Даже если я предпочту смоделировать это каким-то совершенно другим математическим способом? (Я думаю, что я превращаю свой вопрос в «объяснить гравитацию в общей теории относительности манекенам» здесь ...)
@Johsm Общая теория относительности - это геометрическая теория, в которой эффект гравитации интерпретируется не как реальная сила, а как искривление пространства-времени. Я добавил картинку. Только негеометрические подходы, такие как ньютоновская гравитация или теория поля, вводят гравитационные силы. В учебнике Вальда по гравитации дано прекрасное обсуждение ньютоновской и ОТО картины, но оно не для непрофессионала! На самом деле
Вы бы попытались понять, что силы никогда не измеряются напрямую , а выводятся из необработанных данных прибора: например, ускорения пробной частицы, удлинение крюка...
Рассматривать гравитацию как силу можно, если можно пренебречь релятивистскими эффектами. Однако идея гравитации как силы рушится, когда вы включаете (специальную) теорию относительности. Люди годами пытались строить такие теории, но все они терпели неудачу. Тот факт, что гравитация универсально связана со всеми объектами прямо пропорционально их инерции, делает ее очень отличной от любой другой силы. Действительно, как только вы включаете действие гравитации на свет, плоское пространство-время больше не может работать. Вам нужна кривизна. Прочтите о принципе эквивалентности, чтобы узнать больше. К сожалению, я не знаю хорошего счета для неоплачиваемых операций.
@MichaelBrown Нет проблем с релятивистскими гравитационными силами. Принцип эквивалентности лежит в основе геометрической картины ОТО, но этот принцип может быть выведен из полевого подхода, когда игнорируются гравитонные поправки более высокого порядка. Полевой подход предсказывает наблюдаемое искривление света. Как заявил Фейнман в своих лекциях о гравитации: « Это один из специфических аспектов теории гравитации, который имеет как полевую интерпретацию, так и геометрическую интерпретацию. […] Геометрическая интерпретация на самом деле не является необходимой или существенной. к физике ».
@juanrga Разве вы не упоминаете подход (квантовой) теории поля о теории возмущений о плоской метрике? Когда вы суммируете все одноточечные функции гравитона с любой нетривиальной материей (например, с планетой), вы получите кривую метрику — например, метрику Шваршильда. Насколько я понимаю, геометрическая картина естественным образом возникает из qft бозона со спином 2 массы. Какую точку зрения вы считаете более фундаментальной или естественной, зависит от того, считаете ли вы неподвижный плоский фон священным или нет.
Аналогия того, что я пытаюсь сказать: это похоже на полуклассическое расширение вокруг некоторого решения уравнений Максвелла, а не на первое борновское приближение. По аналогии геометр сказал бы, что геометрия U(1) Максвелла является фундаментальной, а теоретик поля сказал бы, что она просто возникает из лоренц-инвариантности амплитуд фотонов. В любом случае, в моем предыдущем комментарии я говорил классически. Сравните ОТО с любой из конкурирующих теорий того времени.
@MichaelBrown Нет. Я имею в виду классическую теорию поля. В уравнениях Калмана все классическое. Как сказано в моем ответе $\psi_{\alpha\beta}$ есть « потенциал гравитационного поля ». Вы путаете его с геометрическим $h_{\alpha\beta}$ : отклонение от плоскостности. С твоими комментариями есть еще вопросы...
@juanrga Вы упомянули гравитонные поправки более высокого порядка и лекции Фейнмана о гравитации. Оба они полностью квантовые. Когда я буду менее занят, я почитаю больше об уравнении Калмана, хотя я, например, не знаю, как вы делите на тензор (ваш $A^\nu_\mu$ ). У вас есть ссылка на обзорную статью? У меня есть еще вопросы: эквивалентна ли теория Калмана ОТО? Каково обоснование фоновой структуры?
Если все это происходит на плоском фоне, то как вы объясните эксперимент Паунда-Ребки? Свет больше не должен следовать нулевым геодезическим, поэтому вам нужно модифицировать E&M и нарушить его конформную инвариантность? Как это влияет на калибровочную инвариантность E&M и как она выглядит, когда вы пытаетесь ее проквантовать? Если моя аналогия с E&M раньше вызывала затруднения, игнорируйте ее, я к ней не привязан. Я не сказал ничего, что не является стандартной догмой, как я ее понимаю. Пожалуйста, не воспринимайте это как агрессию. Я знаю, как я иногда натыкаюсь в Интернете. Мне искренне любопытно. Я хотел бы знать, где я ошибаюсь.
@MichaelBrown, упоминающий «гравитон» или «вращение», является обычным злоупотреблением языком в этой теме. Например, когда Уолд говорит в своем учебнике, что ОТО можно интерпретировать как теорию поля со спином 2, он не говорит, что ОТО является квантовой теорией поля. Повторяю: я представил классическую полевую теорию гравитации. Ваше мнение о тензоре $A_\mu^\nu$ хороший! Я исправил ошибку. Спасибо!
@MichaelBrown Это не « теория Калмана », а теория поля гравитации (FTG). Традиционно считалось, что ФТГ полностью эквивалентна ОТО, но в последние годы было показано, что ОТО является лишь приближением к нему. См. мою обзорную статью и ссылки, приведенные в ней. Обоснование фоновой структуры такое же, как в SR, CED, QFT... Да, CED (E&M) модифицируется в FTG, но то же самое происходит и в GR. Истинный?
Я не хотел помечать этот вопрос, извините.

Владимир Калитвянский · Answer 3

Владимир Калитвянский

Как и в электродинамике, силы становятся запаздывающими, соответствующие уравнения усложняются и включают в себя излучение.

jpp1

Хороший! Это делает его еще более интересным для любопытного неспециалиста, такого как я! Радиация? Круто!| Дайте уравнения, вернее, решения уравнений! Пожалуйста?

Шивам Сародия

Я не могу ответить на ваш вопрос, но это может помочь другим, если вы расскажете нам о своем физическом опыте.

jpp1

Боюсь, мой физический бэкграунд нулевой. Только то, что осталось от школы несколько десятилетий назад и что я прочитал из любопытства в то время. Мотивация моего вопроса такова: меня удивило, насколько невозможно (по крайней мере, для меня) во всем большом Интернете найти формулу, которая дает точную силу

f

$f$ между двумя массами

m_{1}

$m_1$ а также

m_{2}

$m_2$ согласно современным физическим знаниям, а не только в классическом ньютоновском приближении.

Владимир Калитвянский

@Johsm: Точных решений нет, а уравнения слишком сложны, чтобы увидеть силу. Физически сила, действующая на массу, зависит от запаздывающего расстояния

R (t^{'})

$R(t')$ и другие запаздывающие переменные. Она имеет не только «радиальное» направление, но и «перпендикулярное» по отношению к линии, соединяющей два тела.

Агерхелл · Answer 4

Выражение, которое фактически используется JPL для расчета/аппроксимации релятивистских эффектов при заданных обещаниях, исходит из «постньютоновского расширения» на уровне 1PN и, включая классическое ньютоновское ускорение, выглядит так:

\frac{г \bar{в}}{г т} знак равно - \frac{грамм М}{р^{2}} (1 - \frac{4 грамм М}{р с^{2}} + \frac{в^{2}}{с^{2}}) \hat{р} + \frac{4 грамм М}{р^{2}} (\hat{р} \cdot \hat{в}) \frac{в^{2}}{с^{2}} \hat{в}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

Таким образом, они в основном вводят один компонент, который представляет собой «отталкивающую гравитацию обратного куба», и два условия, зависящие от скорости. Это выражение также доступно на уровне 3PN, см. этот пост . Обратите внимание, что это только приближение, способное воспроизвести «аномальный сдвиг перигелия» в пределе слабого поля. Дополнительный отталкивающий член обратного куба вызывает очень странное поведение, если вы пытаетесь использовать его в пределе сильного поля. Вот несколько симуляций, которые я сделал, где зеленый кружок обозначает радиус Шварцшильда, а красный кружок обозначает радиальное расстояние до «самой внутренней стабильной круговой орбиты». Легко увидеть подпрыгивание, вызванное отталкивающим членом обратного куба:

Примечание. Это выражение для случая бесконечного отношения масс. Если вы не можете использовать приближение бесконечного отношения масс, я думаю, что выражение будет более сложным.

Кретин2 · Answer 5

Я думаю, что если мы рассмотрим гораздо большую массу, то сила станет релятивистской:

Ф знак равно - \frac{грамм М м}{р^{2}} + \frac{4 {грамм}^{2} М^{2} м}{р^{3} с^{2}}

$F=-\frac{GMm}{r^2}+\frac{4G^2M^2m}{r^3c^2}$

Какова точная гравитационная сила между двумя массами, включая релятивистские эффекты?

jpp1

Дэвид З.

Абхиманью Паллави Судхир

Qмеханик

Мэтью Кристофер Бартш

Ответы (5)

Замедленный потенциал

jpp1

Джерри Ширмер

Замедленный потенциал

jpp1

Замедленный потенциал

Хуанрга

jpp1

Хуанрга

Хуанрга

Майкл

Хуанрга

Майкл

Майкл

Хуанрга

Майкл

Майкл

Хуанрга

Хуанрга

Дэймон Блевинс

Владимир Калитвянский

jpp1

Шивам Сародия

jpp1

Владимир Калитвянский

Агерхелл

Кретин2