Почему нельзя вывести уравнения Навье-Стокса из физики первых принципов?

Ни одно из интересных уравнений в физике не может быть выведено из более простых принципов, потому что если бы это было возможно, они не дали бы никакой новой информации. То есть эти более простые принципы уже полностью описывают систему. Любое новое уравнение, будь то уравнения Навье-Стокса, уравнения Эйнштейна, уравнение Шредингера или что-то еще, должно согласовываться с известными более простыми принципами, но оно также должно включать в себя что-то новое.

В этом случае у вас создается впечатление, что попытка вывести уравнения Навье-Стокса наталкивается на какое-то непреодолимое препятствие и поэтому терпит неудачу, но это не так. Если вы будете искать выводы уравнений Навье-Стокса, вы найдете десятки таких статей, в том числе (как обычно) одну в Википедии . Но это не выводы в том смысле, что математики будут выводить теоремы из некоторых исходных аксиом, потому что они требуют некоторых дополнительных предположений, например, что тензор напряжений является линейной функцией скоростей деформации. Я предполагаю, что это то, что имеет в виду Путтерман.

Потом:

Фил Х упрекает меня в комментарии , и он прав. Мой первый абзац значительно преувеличивает, так как число уравнений, вводящих принципиально новый принцип, очень мало.

Мой ответ был направлен на объяснение того, почему Путтерман говорит, что уравнения Навье-Стокса не могут быть получены, но на самом деле они могут быть получены, как и большинство уравнений. Физика основана на редукционизме , и, хотя я не решаюсь вдаваться в глубокие философские воды, физики в основном имеют в виду, что все можно объяснить с помощью небольшого числа основных принципов. Вот почему мы (некоторые из нас) верим, что теория всего существует. Если бы такая теория существовала, то уравнения Навье-Стокса можно было бы в принципе, хотя и не на практике, вывести из нее.

На самом деле уравнения Навье-Стокса в принципе могут быть получены из статистической механики жидкостей. Они не требуют каких-либо новых принципов (например, теории относительности или квантовой механики), которые еще не включены в теоретическую трактовку идеальных жидкостей. На практике их невозможно вывести, потому что эти выводы основаны на континуальном подходе, а не на действительно фундаментальном подходе.

Их можно вывести из классической механики, используя континуальную или молекулярную точки зрения.

Начиная с континуального представления, к контрольному объему применяется закон сохранения массы, импульса и энергии, и в результате получаются уравнения Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса в обычной форме применяются к ньютоновским жидкостям, то есть к жидкостям, у которых напряжение и скорость деформации связаны линейно. Можно рассматривать это как предположение, но его также можно рассматривать как первый член в разложении по степенному закону.

Начиная с микроскопической точки зрения, можно вывести уравнения Навье-Стокса, взяв моменты уравнения Больцмана. При таком подходе линейная зависимость между напряжением и скоростью деформации естественным образом появляется как первый член разложения Чепмена-Энскога.

Многие учебники по жидкостям для бакалавриата включают вывод с точки зрения континуума. Вывод с молекулярной точки зрения сделан в учебниках для выпускников первого года обучения, таких как « Введение в физическую газовую динамику » Винченти и Крюгера.

Однажды я спросил Путтермана после аналогичного коллоквиума, что он имел в виду под этим утверждением, и он ответил: «длинные хвосты». Длинные временные хвосты — это дробные степени, которые проявляются в долговременном поведении корреляционных функций, см., например, здесь и здесь . Эти дробные мощности видны в молекулярной динамике (их труднее увидеть экспериментально), но они не учитываются уравнением Навье-Стокса (НС), и не совсем очевидно, где эти эффекты прячутся в стандартных выводах уравнение НС из кинетической теории.

Длинные временные хвосты связаны с флуктуациями и, в конечном счете, являются отражением того факта, что любое грубое описание должно зависеть от масштаба и что самая общая теория неравновесных корреляционных функций на больших расстояниях и больших временах должна включать более детерминированное непрерывное дифференциальное уравнение в частных производных, такое как уравнение Навье-Стокса.

Роль шумовых членов изучалась многими людьми, начиная с Ландау и Лифшица. Основные выводы таковы:

1) Существует систематическая низкоэнергетическая (долговременная) теория корреляционных функций, включающая градиентное разложение сохраняющихся токов и усреднение по шумовым членам, фиксируемым флуктуационно-диссипационными соотношениями. Аппроксимация Навье-Стокса соответствует линейным производным в тензоре напряжений и отсутствию шумовых составляющих. Это последовательное приближение в трех измерениях (но не в двух).

2) При более высоких порядках должны быть включены шумовые составляющие, и кинетические коэффициенты становятся зависимыми от масштаба. Уравнения гидродинамики требуют обрезания, и лучшее, на что мы можем надеяться, это то, что предсказания для низких энергий (долгое время) не зависят от обрезания порядок за порядком в разложении с низкими энергиями.

Первый вопрос: какой набор первых принципов можно ожидать для вывода уравнений Навье-Стокса?

Этот вопрос прост. В физике считается, что расчет основан на первых принципах или ab initio, если он начинается непосредственно на уровне установленных законов физики и не делает предположений, таких как эмпирическая модель и подходящие параметры.

И второй, и главный вопрос, почему деривация не работает?

Основная проблема турбулентности — масштабирование. Нам нужно использовать эмпирические факторы, чтобы скорректировать результаты, если размеры системы изменились. Из-за сложности уравнений трехмерного потока эта ключевая проблема привела к ситуации, когда практически все усилия по решению проблем направлены на то, чтобы математически найти связь между измеренными данными и самими уравнениями.
Это должно потерпеть неудачу, потому что текущие уравнения НЕПРАВИЛЬНЫ. ( Фейнман, «Ключ к науке» )
Это происходит из того простого факта, что это противоречит эксперименту.

Не упускаем ли мы какой-то еще не открытый набор первых принципов в этой области физики?

Это, очевидно, должно быть так. И поскольку уравнения явно нельзя сделать более простыми, как они уже есть, они должны быть слишком простыми в данный момент. Какой-то аспект должен отсутствовать.

Я лично сделал изобретение, которое запатентовал , а также испытал в полной мере в лаборатории . Это изобретение было основано на моем представлении о причине турбулентности; и мне действительно удалось превратить [самую шумную турбомашину ] 5 в высокоэффективную и плавно работающую машину без вибраций.

Я действительно убил турбулентность. Это заставило нас разрушить трубку Пито с тремя отверстиями в лаборатории из-за ламинарного флуктуирующего потока. Поток просто не был бурным, как можно было бы ожидать.

Решение было основано на идее, что мне нужно не допустить, чтобы жидкость «разлетелась на куски» из-за внезапного удара. Это означало в моих мыслях, что вязкие силы не могут передаваться через Жидкость, так как есть внутренние поверхности, которые могут взаимодействовать только со столкновением и трением.

Теперь, если вы посмотрите уравнения Навье-Стокса, вы сразу заметите, что вязкость просто не обрабатывается таким образом. Хотя эта идея довольно проста, и я сразу нашел в ней предсказуемый успех . Попытаться добавить эти аспекты к трехмерным уравнениям Навье-Стокса — это просто математический ужас. Сначала нам нужен безмасштабный предел и определение, которое говорит нам, когда именно мы должны рассчитывать вязкость, а когда трение и столкновение. Представьте себе теорию кинетического газа, в которой скорость частиц зависит от их размера?

Но я на самом деле нашел способ, и я смог вывести эти модифицированные уравнения Навье-Стокса таким образом, что с этим «беспорядком» можно справиться статистически, как в теории кинетического газа. После того, как я получил представление о пути, он был прямолинейным; Уравнения были относительно простыми , а математические результаты идеально соответствовали старым данным измерений .

Просто чтобы убедиться, что это работает, я также успешно рассчитал несколько турбулентных потерь Pipeflow с помощью этой новой модели.

ОТВЕЧАТЬ; Да. Навье-Стокса неполные. Универсальных непрерывных и гладких решений не существует, так как жидкость разбивается на куски из-за условий ускорения, которые можно определить с помощью числа Фруда.$\sqrt3$. Рассеяние энергии этого пробоя можно рассматривать статистически, и это обеспечивает полное соответствие экспериментальным данным во всех масштабах.