Волновая функция ЭМ и волновая функция фотона

Как объяснил Иво Белыницкий-Бирула в цитируемой статье, уравнения Максвелла — это релятивистские уравнения для одного фотона, полностью аналогичные уравнениям Дирака для одного электрона. Ограничившись решениями с положительной энергией, в обоих случаях получается неприводимое унитарное представление полной группы Пуанкаре, а значит, и пространства мод фотона или электрона в квантовой электродинамике.

Классические поля представляют собой ожидаемые значения квантовых полей; но классически релевантными состояниями являются когерентные состояния. Действительно, для фотона каждой моде можно сопоставить когерентное состояние, и в этом состоянии ожидаемое значение поля e/m приводит к значению поля, заданному модой.

Подробнее см. в моих лекциях
http://arnold-neumaier.at/ms/lightslides.pdf
http://arnold-neumaier.at/ms/optslides.pdf
и в главе B2: Photons and Electrons моего FAQ по теоретической физике .

Ожидаемые значения

$$\langle p | \vec E(\vec x) | p\rangle$$ и аналогично для $\vec B(\vec x)$исчезнуть по простой причине: состояние $|p\rangle$по определению является трансляционно-симметричным (перевод изменяет только фазу состояния, общую нормализацию), поэтому ожидаемые значения любого поля в этом состоянии также должны быть трансляционно-симметричными (фаза отменяется между кетом и бюстгальтером).

Так что, если вы ожидаете увидеть классические волны в математических ожиданиях в таких собственных состояниях импульса, вы, что неудивительно, разочаруетесь. Кстати, то же самое верно для любого другого поля, включая поле Дирака (в отличие от утверждения ОП). Если вы вычисляете математическое ожидание поля Дирака$\Psi(\vec x)$в собственном состоянии импульса одной частицы с одним электроном это среднее значение также обращается в нуль. В этом случае Дирака доказать это намного проще, потому что средние значения всех фермионных операторов (в первой или другой нечетной степени) обращаются в нуль из-за градуировки Грассмана.

Обращение в нуль средних значений полей (тех, которые могут иметь оба знака, а именно линейных функций «базовых» полей, связанных с данной частицей) было бы верным для любых собственных импульсных состояний, даже для многочастичных состояний, которые являются импульсными собственными состояниями просто потому, что приведенный выше аргумент универсален. Вы можете подумать, что это исчезновение связано с тем, что собственное состояние импульса одной частицы представляет собой некоторую смесь бесконечно малых электромагнитных волн, которым разрешено находиться в любой «фазе», и поэтому эти фазы сокращаются.

Однако формальная связь между классическими полями и одночастичными состояниями сохраняется, если быть более осторожным. В частности, можно построить «когерентные состояния», которые представляют собой многочастичные состояния с неопределенным числом частиц, которые являются ближайшим приближением к классической конфигурации. Вы можете думать о когерентных состояниях как об основных состояниях гармонического осциллятора (а квантовое поле — это бесконечномерный гармонический осциллятор), которые сдвинуты в направлении положения и/или направления импульса, т.е.

$$|a\rangle = C_\alpha \cdot \exp(\alpha\cdot a^\dagger) |0\rangle$$ Это выражение может быть расширено по Тейлору, чтобы увидеть компоненты с индивидуальными номерами возбуждений, $N=0,1,2,3,\dots$ The $C_\alpha$коэффициент - это просто нормировочный коэффициент, который не влияет на физику отдельного когерентного состояния.

При хорошем выборе$\alpha$для каждого значения классического поля (много независимых$a^\dagger(k,\lambda)$операторы для квантового поля и каждый из них имеет свой$\alpha(k,\lambda)$), такое когерентное состояние может быть построено для любой классической конфигурации. Ожидаемые значения классических полей$\vec B,\vec E$в этих когерентных состояниях будет то, что вы хотите.

Теперь, с набором инструментов когерентного состояния, вы можете получить более детальное представление о том, почему собственные значения импульса, которые также являются собственными состояниями числа частиц, имеют нулевые собственные значения. Когерентное состояние похоже на волновую функцию

$$\exp(-(x-x_S)^2/2)$$ который представляет собой гауссиан, сдвинутый на $x_S$так $x_S$является ожидаемой стоимостью $x$в этом. Такое когерентное состояние может быть получено экспоненциальным оператором, действующим на вакуум. Начальный член в разложении Тейлора — это сам вакуум; следующий член — это одночастичное состояние, которое знает о структуре когерентного состояния — поскольку остальные члены в разложениях Тейлора просто получены из одного и того же линейного фрагмента, который действует много раз, вспомним $Y^k/k!$форме членов в разложении Тейлора $\exp(Y)$: здесь, $Y$это единственное, что вам нужно знать.

С другой стороны, ожидаемая стоимость$x$в одночастичном состоянии, конечно, равен нулю. Это потому, что волновая функция одночастичного состояния является нечетной функцией, такой как

$$x\cdot \exp(-x^2/2)$$ плотность вероятности которого симметрична (четна) в $x$поэтому, конечно, ожидаемое значение должно быть равно нулю. Если вы посмотрите на структуру когерентного состояния и представите, что $\alpha$коэффициенты очень малы, так что многочастичными состояниями можно пренебречь ради простоты, вы поймете, что ненулевое математическое ожидание $x$в смещенном состоянии (когерентном состоянии) сводится к некоторой интерференции между вакуумным состоянием и одночастичным состоянием; это не свойство самого одночастичного состояния! В более общем смысле ненулевые средние значения полей в определенных точках пространства-времени доказывают некоторую интерференцию между компонентами состояния, имеющими в себе разное число возбуждений частиц.

Последнее утверждение не должно вызывать удивления с другой точки зрения. Если вы рассматриваете что-то вроде матричного элемента

$$\langle n | a^\dagger | m \rangle$$ где бра- и кет-векторы являются собственными состояниями гармонического осциллятора с некоторым числом возбуждений, ясно, что он отличен от нуля, только если $m=n\pm 1$. Особенно, $m$а также $n$не может быть равным. Если принять во внимание ожидаемые значения $a^\dagger$в собственном состоянии числа частиц $|n\rangle$, очевидно, что математическое ожидание обращается в нуль, потому что $a$а также $a^\dagger$, и это просто другой способ записи линейных комбинаций $\vec B(\vec x)$или же $\vec E(\vec x)$, — операторы, изменяющие число возбуждений частиц на единицу или минус единицу (то же самое для всех остальных полей, включая поля Дирака).

Так что, если вы хотите имитировать классическое поле или классическую волну с ненулевыми средними значениями полей, конечно, вам нужно учитывать суперпозиции состояний с разным числом возбуждений частиц! Но верно и то, что все эти ожидаемые значения уже закодированы в одночастичных состояниях. Позвольте мне резюмировать: правильные состояния, имитирующие классические конфигурации,$\exp(Y)|0\rangle$куда$Y$представляет собой линейную комбинацию операторов создания (вы можете добавить операторы уничтожения, но они не будут иметь значения, за исключением общей нормализации, потому что операторы уничтожения уничтожают вакуум). Такие когерентные экспоненциальные состояния имеют ненулевые значения любой классически допустимой формы, которую вы можете захотеть. В то же время экспонента может быть расширена по Тейлору до$(1+Y+\dots)$и линейный член$Y$создает одночастичное состояние, которое является конечным «строительным блоком» классической конфигурации. Но если вы действительно хотите рассчитать vev полей, вы не можете отбросить термин$1$или другие: нужно включить вклады матричных элементов между состояниями с разным числом возбуждений частиц.