Сохранение энергии в общей теории относительности

Есть несколько разных способов ответить на этот вопрос. Для краткости я буду немного колебаться. На самом деле по этому поводу еще ведутся некоторые исследования.

Определенные пространства-времени всегда будут иметь законсервированную энергию. Это пространства-времени, которые имеют так называемый глобальный времениподобный (или, если вы хотите быть очень осторожным и педантичным, возможно, нулевой) вектор убийства. Математические типы определяют это как вектор, пониженная форма которого удовлетворяет уравнению Киллинга:$\nabla_{a}\xi_{b} + \nabla_{b} \xi_{a} = 0$. Физики просто скажут, что$\xi^{a}$это вектор, который генерирует временные (или нулевые) сдвиги пространства-времени, и что уравнение Киллинга просто говорит нам, что эти сдвиги являются симметриямигеометрии пространства-времени. Если это так, то довольно легко показать, что все геодезические будут иметь сохраняющуюся величину, связанную с временной составляющей их перемещения, которую мы можем интерпретировать как гравитационную потенциальную энергию наблюдателя (хотя есть некоторые новые релятивистские эффекты — например, в случае объектов, вращающихся вокруг звезды, вы видите связь между массой звезды и угловым моментом вращающихся объектов, которая не проявляется классически). Тот факт, что вы можете определить здесь сохраняющуюся энергию, тесно связан с тем фактом, что вы можете назначить сохраняющуюся энергию в любой гамильтоновой системе, в которой время не появляется явно в гамильтониане --> сдвиг времени, являющийся симметрией гамильтоновых средних что существует сохраняющаяся энергия, связанная с этой симметрией.

Во-вторых, у вас может быть поверхность в пространстве-времени (но не обязательно во всем пространстве-времени), которая имеет сохраняющийся касательный вектор убийства. Затем следует аргумент сверху, но эта энергия — это заряд, живущий на этой поверхности. Поскольку интегралы по поверхности могут быть преобразованы в интегралы по объему по теореме Гаусса, мы можем, по аналогии с законом Гаусса, интерпретировать эти энергии как энергию массы и энергию внутриповерхность. Если поверхность представляет собой конформную пространственноподобную бесконечность асимптотически плоского пространства-времени, то это энергия АДМ. Если это конформная нулевая бесконечность асимптотически плоского пространства-времени, то это энергия Бонди. Вы также можете связать подобные заряды с изолированными горизонтами, поскольку с ними связаны нулевые векторы Киллинга, и это является основой квазилокальных энергий, разработанных Йорком и Брауном, среди прочих.

Чего вы не можете иметь, так это глобально определенной тензорной величины, которую можно легко связать с «плотностью энергии» гравитационного поля или определить одну из этих энергий для общего пространства-времени. Причина этого в том, что нужно время, с которым можно связать сохраняющуюся величину, сопряженную со временем. Но если нет уникального способа определения времени, и особенно нет способа указать время таким образом, чтобы оно порождало какую-то симметрию, то нет никакого способа продвинуться вперед с этой процедурой. По этой причине очень многие общие пространства-времени имеют весьма патологические черты. Считается, что только очень небольшая часть известных точных решений уравнения Эйнштейна имеет непосредственное отношение к физике.

Сохранение энергии прекрасно работает в общей теории относительности. Общий лагранжиан инвариантен относительно переноса времени, и теорему Нётер можно использовать для вывода нетривиального и точного сохраняющегося тока для энергии. Единственное, что делает общую теорию относительности немного отличной от электромагнетизма, это то, что симметрия переноса времени является частью большей калибровочной симметрии, поэтому время не является абсолютным и может быть выбрано многими способами. Однако нет проблем с выводом сохраняемой энергии по отношению к любому данному выбору перевода времени.

У этой проблемы длинная и интересная история. Эйнштейн дал правильную формулу для энергии гравитационного поля вскоре после публикации общей теории относительности. Математикам Гильберту и Кляйну не нравилась зависимость от координат в формулировке Эйнштейна, и они утверждали, что она сводится к тривиальному тождеству. Они заручились поддержкой Нётер для разработки общего формализма законов сохранения и заявили, что ее работа поддерживает их точку зрения.

Дебаты продолжались много лет, особенно в контексте гравитационных волн, которых некоторые утверждали, что не существует. Они думали, что линеаризованные решения для гравитационных волн эквивалентны плоскому пространству через преобразования координат и что они не несут энергии. В какой-то момент даже Эйнштейн усомнился в собственном формализме, но позже он вернулся к своему первоначальному мнению о том, что закон сохранения энергии верен. Вопрос был окончательно решен, когда были найдены точные нелинейные решения гравитационных волн и показано, что они действительно несут энергию. С тех пор это даже было проверено эмпирически с очень высокой точностью при наблюдении замедления двойных пульсаров в точном соответствии с предсказанным излучением гравитационной энергии из системы.

Формула энергии в общей теории относительности обычно дается в терминах псевдотензоров, таких как предложенные Лаундау и Лифшицем, Дираком, Вайнбергом или самим Эйнштейном. В Википедии есть хорошая статья об этом и о том, как они подтверждают сохранение энергии. Хотя псевдотензоры являются математически строгими объектами, которые можно понимать как сечения струйных пучков, некоторым людям не нравится их кажущаяся зависимость от координат. Существуют и другие ковариантные подходы, такие как суперпотенциал Комара или моя более общая формула, которая дает ток энергии в терминах вектора переноса во времени.$k^{\mu}$в качестве

$J^{\mu}_G = \frac{1}{16\pi G} (k^{\mu}R - 2k^{\mu}\Lambda - 2{{k^{\alpha}}_{;\alpha}}^{\mu} + {{k^{\alpha}}_{;}}^{\mu}_{\alpha}+ {{k^{\mu}}_{;}}^{\alpha}_{\alpha})$

Несмотря на эти общие формулировки сохранения энергии в общей теории относительности, некоторые космологи по-прежнему придерживаются точки зрения, что сохранение энергии является лишь приблизительным, или что оно работает только в особых случаях, или что оно сводится к тривиальному тождеству. В каждом случае эти утверждения могут быть опровергнуты либо изучением формулировок, на которые я ссылался, либо сравнением аргументов, приведенных этими космологами, с аналогичными ситуациями в других калибровочных теориях, где приняты законы сохранения и подчиняются аналогичным правилам.

Одной из областей, вызывающих особые разногласия, является сохранение энергии в однородной космологии с космическим излучением и космологической постоянной. Несмотря на все противоположные утверждения, действительная формула сохранения энергии в этом случае может быть получена из общих методов и дается этим уравнением.

$E = Mc^2 + \frac{\Gamma}{a} + \frac{\Lambda c^2}{\kappa}a^3 - \frac{3}{\kappa}\dot{a}^2a - Ka = 0$

$a(t)$— универсальный коэффициент расширения как функция времени, нормированный к 1 в текущую эпоху.

$E$полная энергия в расширяющейся области объема$a(t)^3$. В совершенно однородной космологии это всегда сводится к нулю.

$M$- общая масса вещества в регионе

$c$это скорость света

$\Gamma$- плотность космического излучения, нормированная на текущую эпоху

$\Lambda$космологическая постоянная, считается положительной.

$\kappa$- постоянная гравитационного взаимодействия

$K$является постоянной, положительной для сферического замкнутого пространства, отрицательной для гиперболического пространства и равной нулю для плоского пространства.

Первые два термина описывают энергию в материи и излучение, при этом энергия материи не меняется, а излучение уменьшается по мере расширения Вселенной. Оба положительные. Третий термин — «темная энергия», которая в настоящее время считается положительной и составляет около 75% негравитационной энергии, но со временем ее количество увеличивается. Последние два члена представляют собой гравитационную энергию, которая отрицательна, чтобы уравновесить другие члены.

Это уравнение является следствием хорошо известных космологических уравнений Фридмана , которые происходят из уравнений поля Эйнштейна, поэтому оно ни в коем случае не является тривиальным, как утверждают некоторые люди.

продолжим с Джерри Ширмером, вектор Киллинга определяет изометрии на многообразии. Если существует вектор Киллинга$K_t~=~\partial/\partial t$это означает импульс$K_t\cdot P~=~$постоянный. Тогда это утверждение можно интерпретировать как постоянство наблюдаемой меченой энергии. Как правило, если компонент метрики включает время явным образом и, например,$K_t~\propto~\sqrt{g_{tt}(t)}$не является правильным или действие этого вектора не является изометрией.

Это происходит с космологическим уравнением FLRW. В форме де Ситтера имеем

$$ds^2~=~dt^2~-~e^{\sqrt{\Lambda/3}t}(dr^2~+~r^2d\Omega^2),$$ который имеет временную зависимость. Таким образом, мы не можем вывести закон сохранения энергии из первых принципов. Кривизна Риччи $R_{\mu\nu}~=~\Lambda g_{\mu\nu}$, и для $k~=~0$пространственная кривизна равна нулю. Космологическая постоянная зависит от плотности энергии вакуума и условий давления. С уравнением состояния $p~=~-\rho$, что довольно хорошо аппроксимирует данные наблюдений, можно провести некоторые детальные расчеты баланса, чтобы показать, что Вселенная представляет собой чистое ничто и остается таковой.

Связано ли это с чем-то более глубоким, чем просто «детальный баланс»? Возможно, и я подозреваю, что анализ Филлипа связан именно с этим. Метрика де Ситтера — это зависящая от времени конформная теория плоской метрики.$g'~=~\Omega^2g$линейный элемент для$g'$

$$ds^2~=~\Omega^2(du^2~-~d\sigma_{space}^2).$$ Однако для переменной времени $du^2~=~\Omega^{-2}dt^2$ $\Omega$зависит от времени и $$ds^2~=~dt^2~-~\Omega^2(t)d\sigma_{space}^2.$$ Это восстанавливает метрику де Ситтера для $\Omega^2(t)~=~exp(\sqrt{\Lambda/3}t)$. Тогда пространство-время де Ситтера конформно эквивалентно плоскому пространству-времени, которое тривиально имеет $K_t~=~\partial/\partial t$. Итак, пространство-время, которое мы наблюдаем с помощью уравнения состояния $p~=~-\rho$— это класс пространств-времен, которые конформны плоскому пространству-времени и которые также сохраняют $E~=~constant$. Я думаю, что работа Филлипа по этому вопросу проецирует этот частный случай конформного пространства-времени.