О доказательстве Ициксона и Зубера теоремы Голдстоуна

Question

О доказательстве Ициксона и Зубера теоремы Голдстоуна

ersbygre1

В главе 11-2-2 I&Z обсуждает теорему Голдстоуна. Они начинают с утверждения, что если оператор $A$ существует такое, что

\begin{matrix} (11-30) & дельта а (т) \equiv ⟨ 0 | [Вопрос (т), А] | 0 ⟩ \neq 0 \end{matrix}

$\delta a(t) \equiv \langle 0| [Q(t),A]|0\rangle \neq 0 \tag{11-30}$ симметрия спонтанно нарушается. В уравнении (11-31), они вставляют отношение полноты как

1 = \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n |

$1=\sum_n |n\rangle\langle n|$ :

\begin{aligned} (11-31) & дельта а (т) & "=" \sum_{н} \int г^{3} \vec{Икс} [⟨ 0 | {Дж}_{0} (0) | н ⟩ ⟨ н | А | 0 ⟩ е^{- я п \cdot Икс} - с . с .] \\ "=" \sum_{н} (2 π)^{3} {дельта}^{3} (\vec{п}) [⟨ 0 | {Дж}_{0} (0) | н ⟩ ⟨ н | А | 0 ⟩ е^{- я Е т} - с . с .] \end{aligned}

$\begin{align} \delta a(t) &= \sum_n \int d^3\vec x [ \langle 0|j_0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle e^{-i P\cdot x}-c.c. ] \tag{11-31} \\ &= \sum_n (2\pi)^3 \delta^3(\vec P) [ \langle 0|j_0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle e^{-i E t}-c.c. ] \end{align}$ После взятия производной по времени в уравнении (11-33), что приводит к

E (\vec{p})

$E(\vec p)$ , они заключают, что

δ^{3} (\vec{p}) E (\vec{p})

$\delta^3(\vec p) E(\vec p)$ должно быть равно нулю, что приводит к безмассовым состояниям.

Однако, если бы мы использовали следующее отношение полноты,

1 "=" \sum_{н} \int \frac{г^{3} \vec{п}}{(2 π)^{3} 2 Е (\vec{п})} | н, \vec{п} ⟩ ⟨ н, \vec{п}, |

$1=\sum_n \int \frac{\text{d}^3 \vec p}{(2\pi)^3 2E(\vec p)} |n,\vec p \rangle\langle n,\vec p, |$ тогда энергия в знаменателе и энергия, поступающая от производной экспоненциальной функции по времени, сократятся, и вывод, сделанный выше, больше не будет работать, потому что нет

E (\vec{p})

$E(\vec p)$ больше!

Редактировать 1: я обнаружил, что учебник QFT Райдера (стр. 292), а также учебник Nair QFT (стр. 246) используют одно и то же отношение полноты. $1=\sum_n |n\rangle\langle n|$ , то есть доказательство идет по той же схеме, что и в I&Z. Но почему они выбирают это отношение полноты?

Редактировать 2: Возможно, ответ заключается в следующем (вне оболочки) отношении полноты:

1 "=" \sum_{н} \int \frac{г^{4} п}{(2 π)^{4}} | п ⟩ ⟨ п |

$1=\sum_n \int \frac{\text{d}^4 p}{(2\pi)^4} |p \rangle\langle p |$ так как это не даст

E (\vec{p})

$E(\vec p)$ в знаменателе...?

Редактировать 3: Еще одна ссылка, которая использует $1=\sum_n|n\rangle\langle n|$ : ссылка на arXiv (стр. 5) и та, которая использует $1=\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}|p\rangle\langle p|$ : ссылка на архив (стр. 19).

Изменить 4: найдена ссылка (предупреждение, большой размер файла PDF), в которой используется отношение полноты $1=\sum_n \int \frac{\text{d}^3 p}{(2\pi)^3} |\vec p \rangle\langle \vec p |$ в уравнении (3.2) (спасибо @ChiralAnomaly за указание на это!).

Ответы (1)

О доказательстве Ициксона и Зубера теоремы Голдстоуна

Хиральная аномалия · Answer 1

Отношение

\begin{matrix} (1) & 1 "=" \sum_{н} \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3} 2 Е (п)} | н, п ⟩ ⟨ н, п | \end{matrix}

$1=\sum_n\int\frac{d^3p}{(2\pi)^32E(p)} |n,p\rangle\langle n,p| \tag{1}$ предполагает

\begin{matrix} (2) & ⟨ н, п | н^{'}, п^{'} ⟩ \propto 2 Е (п) {дельта}_{н н^{'}} {дельта}^{3} (п^{'} - п) . \end{matrix}

$\langle n,p|n',p'\rangle \propto 2E(p)\delta_{nn'}\delta^3(p'-p). \tag{2}$ Другими словами, предполагается, что безмассовые состояния с нулевым импульсом нормированы к нулю. Но чтобы иметь SSB, количество (11-30)

=

$=$ (11-31) предполагается ненулевым и не зависящим от времени. Чтобы быть независимыми от времени, члены с ненулевыми

E

$E$ должны сокращаться в (11-31), что означает, что ненулевая константа должна быть получена из членов с

E = 0

$E=0$ ... и это проблема, потому что эти термины не определены из-за проблемы деления нуля на ноль, когда мы используем (1) и (2), поэтому мы не можем делать какие-либо выводы о том, что происходит, когда

E = 0

$E=0$ . Эта проблема не возникает, когда мы используем

\begin{matrix} (3) & 1 "=" \sum_{н} \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} | н, п ⟩ ⟨ н, п | \end{matrix}

$1=\sum_n\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} |n,p\rangle\langle n,p| \tag{3}$ вместо этого, потому что тогда

\begin{matrix} (4) & ⟨ н, п | н^{'}, п^{'} ⟩ \propto {дельта}_{н н^{'}} {дельта}^{3} (п^{'} - п) . \end{matrix}

$\langle n,p|n',p'\rangle \propto \delta_{nn'}\delta^3(p'-p). \tag{4}$

Большое спасибо, это имеет смысл. Большинство учебников по QFT, которые я могу придумать, используют нормализацию (2), поскольку она хорошо инвариантна по Лоренцу. Используем ли мы нормализацию (4) только для доказательства теоремы Голдстоуна, а затем возвращаемся к ковариантной нормализации (2)? Другими словами: при дальнейшей работе с режимами NG мы будем использовать (2) или (4)?
2-й вопрос: проблема деления нуля на ноль, которую вы упомянули, - это энергия, исходящая от производной по времени, и энергия в знаменателе вашего уравнения. (1)?
Большое спасибо за ваши подробные ответы, это очень помогает! Что касается вашего третьего комментария, то вот почему I&Z (и другие) используют ограничение объема -> бесконечность, когда говорят о теореме Голдстоуна. И, чтобы быть уверенным, тот факт, что они не могут быть нормализованы, связан с $\delta^{(3)}(0)$ , верно?

О доказательстве Ициксона и Зубера теоремы Голдстоуна

ersbygre1

Ответы (1)

Хиральная аномалия

ersbygre1

ersbygre1

ersbygre1

Хиральная аномалия

Доказательство Шварца и Зи теоремы Голдстоуна

Представляют ли оператор симметрии UUU и его генератор QQQ, действующие на вакуум |0⟩|0⟩|0\rangle, новый вырожденный вакуум?

Как можно взять скалярное произведение состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?

Все ли псевдоскаляры тайно являются бозонами Голдстоуна?

В каком смысле бозоны Голдстоуна живут в смежном классе?

Как появляются (и не возникают) частицы из полей?

2 запутанных электрона в КТП

Вакуум Хиггса

Почему в SUSY нарушение электрослабой симметрии происходит только в секторе Стандартной модели?

Функциональный интеграл при спонтанном нарушении симметрии