Вакуум Хиггса

«Квантовая теория поля» Средненицкого, электронная копия которой свободно доступна здесь , кажется, утверждает на стр. 205, что состояния экв. (32.3) которые отличаются фазовым множителем, который может находиться в пределах [0,2 π ) взаимно ортогональны. Но если основное гильбертово пространство сепарабельно, это кажется невозможным. Кто может меня просветить?

Не могли бы вы объяснить немного подробнее, почему вы считаете, что взаимно ортогональные вакуумные состояния несовместимы с сепарабельностью гильбертова пространства?
Это не проблема, они будут ортогональны. Но в сепарабельном гильбертовом пространстве может быть не более чем счетное число и точек в интервале [0,2 π ) не.
Есть два разных понятия: пространство параметров, определяющих реальный вакуум (пространство модулей), которое U ( 1 ) , поэтому непрерывно и несчетно, как и обычное пространство фоковских состояний. Для состояний Фока это математика, а поскольку импульсное пространство непрерывно, я бы сказал, что, естественно, гильбертово пространство не имеет счетной базы...
Есть аспекты практики КТП (как ее используют физики), которые никогда не находили математически строгой формулировки, интересно, это еще один пример?
Каким-то образом я пропустил тесно связанный вопрос physics.stackexchange.com/q/56520 , где в ответах была сделана ссылка на статью Браунера « arxiv.org/abs/1001.5212 ». Эта работа показывает, что для рассматриваемого случая общее гильбертово пространство не является сепарабельным (хотя пространства Фока, построенные на разных вакуумах, могут быть) и что различные вакуумные состояния действительно ортогональны.

Ответы (2)

Для пользы других, кто читает это, обратите внимание, что если ЧАС является сепарабельным гильбертовым пространством, то существует счетный ортонормированный базис для ЧАС . Заметьте, что это не означает непосредственно, что не может существовать несчетная основа для ЧАС , но это тем не менее оказывается верным вследствие теоремы размерности ;

Позволять В векторное пространство, то любые две базы для В имеют одинаковую мощность.

См. также следующие сообщения math.SE:

  1. https://math.stackexchange.com/questions/232166/showing-the-basis-of-a-hilbert-space-have-the-same-cardinality

  2. https://math.stackexchange.com/questions/450106/uncountable-basis-and-separability

Теперь по вашему вопросу. Предположим, что существует несчетное число ортогональных вакуумов. | θ ⟩ в гильбертовом пространстве, где θ е [ 0 , 2 π ) , то имеем следующие возможности

  1. Гильбертово пространство теории не сепарабельно. В данном случае противоречия нет.

  2. Гильбертово пространство теории сепарабельно. В данном случае есть противоречие, и нужно его разрешение.

Насколько мне известно, большинство аксиоматизаций КТП предполагают, что гильбертово пространство теории сепарабельно, но в литературе обсуждается ослабление этого предположения. Я попытаюсь выкопать некоторые ссылки.

Поэтому давайте предположим разделимость и поищем разрешение. Стандартное решение состоит в том, что при построении гильбертова пространства теории выбирается только один из этих (физически эквивалентных) вакуумов в качестве вакуума гильбертова пространства, а затем вокруг этого вакуума строится остальная часть физического гильбертова пространства. Остальные вакуумы не являются элементами гильбертова пространства теории.

Есть еще один интересный взгляд на это. Предположим, что существует некоторое большее несепарабельное гильбертово пространство ЧАС б я г содержащий весь вакуум | θ ⟩ и которое является ортогональной прямой суммой всех гильбертовых пространств ЧАС θ которое можно было бы получить из каждого из возможных вакуумов и использовать в качестве физического гильбертова пространства теории.

ЧАС б я г "=" ⨁ θ е [ 0 , 2 π ) ЧАС θ
Затем мы рассматриваем каждое из гильбертовых пространств ЧАС θ как сектор суперотбора большего гильбертова пространства ЧАС б я г . В этом случае, если физическая система находится в состоянии | ψ ⟩ в заданном секторе суперотбора ЧАС θ , то состояние системы будет оставаться в секторе все время при гамильтоновой эволюции, поэтому мы можем также рассматривать «гильбертово» пространство системы как просто сектор суперотбора, в котором она началась. В некотором смысле, это по существу то же самое, что изначально выбрали вакуум для построения гильбертова пространства, потому что разные сектора суперотбора не «разговаривают» друг с другом.

Следующий пост на физике.SE полезен для понимания секторов суперотбора:

Что на самом деле представляют собой сектора суперотбора и для чего они используются?

Я также нашел следующую страницу nLab по теории суперотбора, которая освещает:

http://ncatlab.org/nlab/show/superselection+theory

1) Аксиомы Вайтмана требуют сепарабельности гильбертова пространства. Но см. раздел о сепарабельных пространствах в Википедии (гильбертово пространство). 2) Я понимаю ваш элегантный аргумент о H_big. В разделимом случае |тета> не являются линейно независимыми и имеет место некоторый «множественный подсчет». 3) Что предполагается при записи лагранжиана Хиггса относительно лежащего в его основе гильбертова пространства? Я никогда не находил это явно упомянутым. Традиционно он был бы отделимым. Было бы неплохо увидеть подробное обсуждение этого вопроса.
@Urgje 1) Да, этого требуют аксиомы Вайтмана; это не означает, что нет другого (возможно, неоткрытого) набора аксиом, которые этого не предполагают. 2) Я не говорю, что | θ ⟩ не являются линейно независимыми. ЧАС б я г конструкция предполагает, что каждое из них принадлежит разным ортогональным подпространствам в прямой сумме, поэтому они, в частности, линейно независимы . 3) Я не думаю, что в настоящее время существует достаточно удовлетворительная аксиоматизация стандартной модели квантовой теории поля для такого тщательного обсуждения, но я могу ошибаться.
1) Действительно, эти аксиомы также требуют, чтобы вакуумное состояние было единственным, и, кажется, это не всегда так. 2) Точка взята. Таким образом, проблема размерности избегается. Однако, если гильбертово пространство сепарабельно, то существует счетная база, и все |тета> могут быть выражены через них. Тогда кажется, что прямой интеграл H_big можно заменить бесконечной прямой суммой. 3) Это действительно жаль. Уже обсуждение изолированной модели Хиггса было бы поучительным.

Не уверен на 100%, но вот попытка решения:

1) Во-первых, мне непонятно, почему базовое гильбертово пространство должно быть сепарабельным. Упоминается ли это где-нибудь в книге и есть ли физическая причина для этого требования?

2) Тем не менее здесь я буду предполагать, что гильбертово пространство физических состояний действительно должно быть сепарабельным. Возможный выход из противоречия следующий: существует несчетное число решений, минимизирующих потенциал, но все они физически эквивалентны. Вы можете представить, что эти решения живут в каком-то пространстве, если хотите, но это не гильбертово пространство физических состояний. Из этих решений мы произвольно выбираем одно и определяем его как истинный (физический) вакуум. Но любой выбор физически эквивалентен и все они ведут к одному и тому же (одному) физическому состоянию.

Вакуум Хиггса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v