В каком смысле бозоны Голдстоуна живут в смежном классе?

Question

В каком смысле бозоны Голдстоуна живут в смежном классе?

Физика
Голдстоун-режим
нарушение симметрии
квантовая теория поля

Джефф Дрор

Теорема Голдстоуна утверждает, что если группа, $G$ , разбит на свою подгруппу, $H$ , то появятся безмассовые частицы. Количество безмассовых частиц определяется размерностью смежного класса, $G/H$ . Затем часто говорят, что бозон Голдстоуна живет в смежном классе. В каком смысле это утверждение верно? Лагранжиан не инвариантен относительно преобразований смежного класса, так что же явно означает это «живое»?

Чтобы быть явным, мы можем рассмотреть линейную сигма-модель:

л знак равно \frac{1}{2} \partial_{мю} ф^{я} \partial^{мю} ф^{я} - \frac{м^{2}}{2} ф^{я} ф^{я} - \frac{λ}{4} (ф^{я} ф^{я})^{2}

$\begin{equation} {\cal L} = \frac{1}{2} \partial _\mu \phi ^i \partial^\mu \phi ^i - \frac{m ^2 }{2} \phi ^i \phi ^i - \frac{ \lambda }{ 4} ( \phi ^i \phi ^i ) ^2 \end{equation}$

Мы определяем,

\begin{aligned} ф_{я} \equiv π_{я} \forall я \neq Н \\ ф_{Н} \equiv о \end{aligned}

$\begin{align} & \phi _i \equiv \pi _i \quad \forall i \neq N\\ & \phi _N \equiv \sigma \end{align}$ и дать

σ

$\sigma$ ВЭВ.

Спонтанно нарушенный лагранжиан:

л знак равно \frac{1}{2} \partial_{мю} π_{я} \partial^{мю} π_{я} + \frac{1}{2} (\partial_{мю} о)^{2} - \frac{1}{2} (2 {мю}^{2}) о^{2} - λ в о^{3} - \frac{λ}{4} о^{4} - \frac{λ}{2} π_{я} π_{я} о^{2} - λ в π_{я} π_{я} о - \frac{λ}{4} (π_{я} π_{я})^{2}

$\begin{equation} {\cal L} = \frac{1}{2} \partial _\mu \pi _i \partial ^\mu \pi _i + \frac{1}{2} ( \partial _\mu \sigma ) ^2 - \frac{1}{2} ( 2 \mu ^2 ) \sigma ^2 - \lambda v \sigma ^3 - \frac{ \lambda }{ 4} \sigma ^4 - \frac{ \lambda }{ 2} \pi _i \pi _i \sigma ^2 - \lambda v \pi _i \pi _i \sigma - \frac{ \lambda }{ 4} ( \pi _i \pi _i ) ^2 \end{equation}$ бозоны Голдстоуна,

π_{i}

$\pi_i$ , экспонат

O (N - 1)

$O(N-1)$ симметрии, но это не симметрия смежной группы. Так где же в лагранжиане мы видим эту симметрию?

Робин Экман

Я не чувствую, что разбираюсь в этой теме достаточно хорошо, чтобы дать правильный ответ, но это обсуждается в книге Вайнберга, том II, глава 19. В частности, раздел 19.6, а смежные классы представлены на странице 214.

ДжеффДрор

@RobinEkman: Спасибо, что сообщили мне. К сожалению, у меня нет книги. Я посмотрю, когда доберусь до копии.

Qмеханик

Комментарий к посту (v3): Что такое

v

$v$ если

σ

$\sigma$ это ВЭВ?

Ответы (2)

В каком смысле бозоны Голдстоуна живут в смежном классе?

Я не чувствую, что разбираюсь в этой теме достаточно хорошо, чтобы дать правильный ответ, но это обсуждается в книге Вайнберга, том II, глава 19. В частности, раздел 19.6, а смежные классы представлены на странице 214.
@RobinEkman: Спасибо, что сообщили мне. К сожалению, у меня нет книги. Я посмотрю, когда доберусь до копии.
Комментарий к посту (v3): Что такое $v$ если $\sigma$ это ВЭВ?

Фредерик Брюннер · Answer 1

Я понимаю это утверждение следующим образом:

Пионы, псевдоголдстоуновские бозоны с нарушением киральной симметрии, описываются введением унитарной матрицы $U(x)$ , определяется как

U (Икс) знак равно опыт (2 я π^{а} (Икс) Т^{а} ф_{π}^{- 1}),

$U(x)=\text{exp}\left(2i\pi^a(x)T^af_\pi^{-1}\right),$

куда $\pi^a$ пионное поле, $f_\pi$ - постоянная распада пиона и $T^a$ являются генераторами нарушенной симметрии, т. е. смежного пространства. Пионный лагранжиан можно записать в терминах $U(x)$

л знак равно - \frac{1}{4} ф_{π}^{2} Тр \partial^{мю} U^{†} \partial_{мю} U,

$\mathcal{L}=-\frac14 f_\pi^2\text{Tr}\partial^\mu U^\dagger\partial_\mu U,$

что путем расширения экспоненциальной формы приводит к

л знак равно - \frac{1}{2} \partial^{мю} π^{а} \partial_{мю} π^{а} + \dots,

$\mathcal{L}=-\frac12\partial^\mu \pi^a\partial_\mu \pi^a+\dots,$

где точками обозначены члены более высокого порядка. Таким образом, утверждение о том, что голдстоуновские бозоны живут в пространстве смежных классов, может быть связано с тем, что сами поля связаны с генераторами смежного класса.

Это можно понять с точки зрения теоремы Голдстоуна: если исходный лагранжиан обладает непрерывной симметрией, то число голдстоуновских бозонов равно числу образующих нарушенной симметрии. Возьмем, к примеру, линейную сигма-модель: если ваша исходная теория $O(N)$ -симметричный, имеет $N(N-1)/2$ симметрии. Если симметрия нарушается спонтанно, вы получаете $O(N-1)$ , оставив тебя с $(N-1)(N-2)/2$ симметрии. Количество нарушенных симметрий - это разница, т.е. $N-1$ . Но именно столько пионов вы имеете в своей теории. Мы можем заключить, что пионы связаны непосредственно с нарушенными симметриями, т. е. с смежным пространством.

Большое спасибо за Ваш ответ. Это делает вещи яснее. Я видел матрицу $U(x)$ но я не стал связываться. Как я думал $U(x)$ было удобным переопределением поля пионов, которое приводит к хорошему подсчету мощности в импульсе пионов. Есть ли в этом нечто большее?
Дело в том, что поле пиона определяется генераторами того, что вы называете смежным классом, т.е. $\pi=\pi^a T^a$ . Я просто объяснил это в терминах U(x), потому что это обычный способ их описания.
Что именно делает пионное поле определяемым образующими смежного класса? Просто ли они имеют одинаковую размерность, поэтому мы можем сократить их индексы как $\pi=\pi^aT^a$ что приводит к удобному переопределению поля в нашем лагранжиане?
Спасибо, я думаю, что это начинает иметь смысл. Таким образом, утверждение о том, что Голдстоуны живут в смежном классе, по сути, возникает из того факта, что количество Голдстоунов будет равно размерности смежного класса, и мы можем использовать этот факт для удобного переопределения поля в терминах генераторов смежных классов.

Двойки · Answer 2

На самом деле это очень просто, если вы используете другую параметризацию полей. Поскольку нас интересуют только бозоны Голдстоуна, просто отправьте $\lambda\rightarrow \infty$ так что хиггсовское состояние разъединяется. Переходим к следующей параметризации

ф_{я} (Икс) знак равно U (Икс) ⟨ ф_{я} ⟩, U (Икс) знак равно е^{я {\hat{Т}}^{а} π^{а} (Икс)}, ⟨ ф_{я} ⟩ знак равно {(0, 0, 0 \dots, в)}^{Т}

$\phi_i(x)=U(x)\langle \phi_i\rangle \,,\qquad U(x)=e^{i \hat{T}^a \pi^a(x)}\,,\qquad \langle\phi_i\rangle=\left(0,0,0\ldots,v\right)^T$ (куда

{\hat{T}}^{a}

$\hat{T}^a$ являются сломанными генераторами) вы сразу видите, что в определениях пионных полей есть калибровочная избыточность

π^{a} (x)

$\pi^a(x)$ так как нам разрешено вращать их с помощью

x -

$x-$ зависимое преобразование

h (x)

$h(x)$ из неразрывной группы

H

$H$ , а именно

ф_{я} (Икс) знак равно U (Икс) ⟨ ф_{я} ⟩ знак равно U (Икс) час (Икс) ⟨ ф_{я} ⟩ .

$\phi_i(x)=U(x)\langle \phi_i\rangle=U(x)h(x)\langle \phi_i\rangle\,.$ Другими словами, пионное поле определено только с точностью до этой эквивалентности

U (x) \sim U (x) h (x)

$U(x)\sim U(x)h(x)$ , что является утверждением, что они живут на смежном пространстве

G / H

$G/H$ .

А, очень интересно! Откуда мы знаем, что можем применить калибровочное преобразование к вакууму, используя только сломанные генераторы, и получить обратно $\phi_i$ ? Или это просто определение параметризации пионных полей, $\phi_i$ ?
Возможно, я неправильно понимаю, о чем вы спрашиваете. $h(x)$ представляет собой трансформацию неразрывной группы, построенной из неразорванных генераторов, а не сломанных. Вот почему мы говорим, что они живут правильно $G/H$ .
Извините, я не думаю, что я был ясен. Я имел в виду, откуда мы знаем, что мы можем писать, $\phi_i (x) = U (x)\langle \phi_i\rangle$ или это просто определение репараметризации?
В пределе $\lambda\rightarrow\infty$ вы можете двигаться только по минимальным орбитам, на что и влияет действие $U$ делает для вас. Для конечных $\lambda$ можно также отойти от минимума. Это исчерпывает все возможности.

В каком смысле бозоны Голдстоуна живут в смежном классе?

Джефф Дрор

Робин Экман

ДжеффДрор

Qмеханик

Ответы (2)

Фредерик Брюннер

ДжеффДрор

Фредерик Брюннер

ДжеффДрор

ДжеффДрор

Фредерик Брюннер

Двойки

ДжеффДрор

Двойки

ДжеффДрор

Двойки

О доказательстве Ициксона и Зубера теоремы Голдстоуна

Доказательство Шварца и Зи теоремы Голдстоуна

Что физически означает нарушение мягкой симметрии?

Что мы имеем в виду, когда говорим, что Хофт доказал перенормируемость Стандартной модели?

Представляют ли оператор симметрии UUU и его генератор QQQ, действующие на вакуум |0⟩|0⟩|0\rangle, новый вырожденный вакуум?

Какова роль вакуумного среднего в нарушении симметрии и образовании массы?

Как можно взять скалярное произведение состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?

Почему не существует сохраняющихся зарядов в случае SSB глобальной симметрии?

Спонтанное нарушение симметрии SU(2)SU(2)SU(2) в вещественных и комплексных скалярных полях

Почему при непрерывном нарушении симметрии невозможна суперпозиция всех вакуумов?