Как работают системы отсчета в общей теории относительности и описываются ли они системами координат?

Общая теория относительности имеет только локальные системы отсчета, а не глобальные. В общей теории относительности системы координат совершенно произвольны, и обычно мы не можем взять систему координат и каким-либо осмысленным образом связать ее с системой отсчета какого-либо наблюдателя.

В ньютоновской гравитации существует неявное предположение, что наблюдатель может знать и знает о текущем состоянии всей материи во Вселенной. Без этой информации было бы невозможно применить законы Ньютона, поскольку гравитация — это дальнодействующая сила, действующая мгновенно на расстоянии, а также невозможно было бы определить, что такое инерциальная система отсчета. Традиционно система «неподвижных звезд» считалась достаточно хорошей инерциальной системой отсчета для всех практических целей, и неявно предполагалось, что мы можем наблюдать звезды мгновенно, пренебрегая любой возможной задержкой из-за времени, необходимого для света. распространять. Действительны и другие системы отсчета, находящиеся в равномерном движении относительно этой системы отсчета. Каждая из этих систем отсчета описывалась определенной системой координат,

В специальной теории относительности все сложнее. Мы не можем мгновенно наблюдать все пространство, но нам это и не нужно, потому что для того, чтобы делать предсказания о нашей собственной окрестности, нам нужно знать только условия внутри нашего собственного светового конуса прошлого, т. е. в событиях, которые достаточно близко в пространстве и достаточно далеко назад во времени, чтобы сигналы успели дойти от них до нас. Для удобства мы все же обычно продолжаем и расширяем это описание, чтобы включить все пространство-время, что подразумевает своего рода сложную систему наблюдения, результаты которой известны нам гораздо позже. Например, геодезистам может потребоваться разместить часы в различных положениях и синхронизировать часы путем обмена радиосигналами. Время относительно, но для наблюдателя в определенном состоянии движения мы можем определить понятие одновременности.

В общей теории относительности в основном все это вылетает в окно. Системы координат могут быть не в состоянии охватить все пространство-время по той же причине, по которой мы не можем поместить систему координат на земную поверхность, не допуская ее неправильного поведения в определенных местах, например, на полюсах. Даже для пространств-времен, таких как космологическое пространство-время FLRW, для которых возможно иметь такую ​​глобальную систему координат, эти координаты не могут быть отождествлены с наблюдателями или системами отсчета. Системы отсчета существуют только локально, т. е. в масштабах, малых по сравнению с масштабами, заданными кривизной пространства-времени. Когда мы обсуждаем, что наблюдатель «видит» в общей теории относительности, мы имеем в виду именно это: оптические сигналы, которые он получает.

Пример: наблюдатель, находящийся вне черной дыры, никогда не увидит, как падающий камень проходит через горизонт событий. Это тривиально верно, потому что горизонт событий определяется как граница области, которая извне ненаблюдаема. Это не означает, что система отсчета наблюдателя соответствует некоторому набору координат или что то, что видит наблюдатель, можно объяснить такими координатами. То, что видит наблюдатель, просто объясняется траекториями световых лучей, идущих от скалы к глазу наблюдателя.

Пример: Общая теория относительности не говорит нам, действительно ли далекие галактики удаляются от нас или они «действительно» покоятся, в то время как пространство между ними заполняется. У нас есть только локальная система координат, а не глобальная, которая позволила бы нам определять и измерять векторы скорости для удаленных объектов. Мы можем определить такие вещи, как координатные скорости, но они не имеют особого смысла, потому что координаты произвольны.

Пример: задано плоское пространство-время с координатами Минковского.$(t,x)$, мы можем определить новые координаты$(t,u)$, где$u=ax+(1/4)\sin ax$и$a$является константой. В этих координатах нет ничего плохого, потому что преобразование взаимно однозначное и гладкое, но эти координаты явно не соответствуют системе отсчета какого-то наблюдателя.

Люди часто путаются в такого рода вещах из-за исторических интерпретаций общей теории относительности, включая популяризацию самого Эйнштейна. Первоначальное вдохновение Эйнштейна для общей теории относительности было связано с набором концепций, включая принцип Маха и идею расширения набора допустимых систем отсчета, чтобы включить ускоренные системы отсчета. Общей теории относительности уже более века, и многие из первоначальных смутных идей Эйнштейна оказались не лучшим способом осмысления этих вещей.

$\let\lam=\lambda \let\th=\theta \def\ns#1#2{#1_{\rm#2}} \def\le{\ns\lam e} \def\lr{\ns\lam r} \def\te{\ns te} \def\tr{\ns tr}$Я нашел ответ Бена Кроуэлла очень ясным и наиболее полезным для многих людей, имеющих запутанные идеи по этому вопросу. Однако есть некоторые моменты, с которыми я не совсем согласен. Я ограничу настоящий ответ только одним пунктом, наиболее подходящим для ИМО.

@БенКроуэлл пишет:

Общая теория относительности не говорит нам, действительно ли отдаленные галактики удаляются от нас или же они «действительно» покоятся, в то время как пространство между ними заполняется.

Я думаю, это не точно. Кратко остановимся на этом вопросе. Принятая структура пространства-времени в космологическом масштабе описывается геометрией Робертсона-Уокера. Я оставляю в стороне двух других основателей, Фридмана и Леметра, поскольку меня интересует только геометрическая структура, без учета ее причин: никаких гипотез о качестве и распределении материи, никаких уравнений Эйнштейна. Мне нужен только космологический принцип, т. е. предположение, что пространство (не пространство-время!) однородно и изотропно. Это подразумевает, как я уже говорил, что пространство-время имеет геометрию RW.

Для геометрии RW используется несколько систем координат. Я выберу следующее:

$$ds^2 = dt^2 - a(t)^2 (dr^2 + \cdots) \tag1$$ (точки остаются для угловой части метрики, которую я не буду использовать).

Глядя на метрику (1), одна точка указывает на выбор координат. Совершенно верно, что в ОТО координаты совершенно произвольны и не обязаны иметь физическую интерпретацию. Несмотря на это, в некоторых случаях разумный выбор координат может выявить важные особенности геометрии. В нашем случае мы можем ясно видеть, что существует выбор временной координаты (называемой космическим временем ) таким образом, что равные по времени сечения (то, что мы можем суммарно назвать пространством ) наделены богатой симметрией — математическим аналогом однородности и изотропии. реквизиты.

Однородность отражает себя в пространстве, имеющем постоянную кривизну (не путать с кривизной пространства-времени). С этой точки зрения геометрия RW может быть трех видов:

• положительная кривизна, пространство является гиперсферой
• нулевая кривизна - плоское евклидово пространство
• отрицательная кривизна, т.е. гиперболическая геометрия

В уравнении (1) три вида не очевидны, так как их различие заключается в угловой части метрики. Хорошо известно, что в настоящее время принятой моделью является плоское пространство, но выбор модели не имеет отношения к моему аргументу.

Коэффициент$a(t)$квадрат которого умножает пространственную часть метрики в уравнении. (1) называется масштабным коэффициентом . Его значение является мерой зависимости кривизны пространства от времени и точного выражения функции$a(t)$может быть получено только космологической динамикой , то есть уравнениями Эйнштейна вместе с гипотезами о виде материи, присутствующей во Вселенной. Я не буду иметь дело с этим. я предполагаю$a(t)$известно, и я собираюсь указать некоторые последствия того, что оно не является константой. В настоящее время масштабный коэффициент обычно принимается равным 1.

Можно показать, что линии с$r$,$\th$,$\phi$постоянными являются геодезические пространства-времени. Тогда свободный объект (галактика) может оставаться в этих ( сопутствующих ) координатах. Если$r$- начало находится в нашем положении, тогда расстояние от этого объекта до нас равно$a(t)\,r$. Вариант$a$со временем влечет за собой пропорциональное изменение расстояния до этой галактики.

Если свет, исходящий от далекого объекта, достигает нас в настоящее время, мы наблюдаем космологическое красное смещение : полученная длина волны$\lr$больше излучаемой длины волны$\le$и выполняется простой закон:

$${\lr \over \le} = {a(\tr) \over a(\te)}$$ где$\te$это время, когда свет был испущен,$\tr$настоящее (полученное) время.

Кажется очевидным, ИМО, что в этой обстановке наиболее естественной интерпретацией является то, что пространство расширяется (масштабный коэффициент$a(t)$увеличивается), тогда как галактики занимают фиксированное положение в сопутствующей системе координат. Для того чтобы принять альтернативный взгляд - пространство не расширяется, галактики в нем движутся - необходимо было бы указать подходящую систему координат, где метрика статична ( метрические коэффициенты не зависят от времени), а координаты всех галактик зависят от времени. Я не знаю такой системы и подозреваю, что ее не существует. Я жду, чтобы доказать свою неправоту.