Часы в свободном падении

Замедление времени , рассчитанное с использованием метрики Шварцшильда для невращающегося сферического тела, составляет:

т 0 "=" т ф 1 − 2 г М р с 2

Каким будет замедление времени для такого невращающегося сферического тела часов, свободно падающих из бесконечности в вакууме? (Если ответ нетривиален; будет достаточно/будет оценено описание расчета на высоком уровне)

Редактировать: в настоящее время я работаю над приложением для iOS, которое пытается смоделировать механизм, лежащий в основе теории относительности. Итак, механизм, который я создал, поразительно прост и поразительно хорошо соответствует теории относительности. Тем не менее, я пытаюсь его сломать. Я пытаюсь найти любые возможные области, в которых они могут расходиться. Я заметил, что при использовании моей модели часы в свободном падении не будут испытывать замедления времени, т.е. т 0 "=" т ф и я хочу убедиться, что Relativity согласен.

Выше я отметил гравитационную составляющую замедления времени. Поскольку мои часы движутся, можно также ожидать кинематического замедления времени. Я могу вычислить скорость своих часов:

Е к "=" 1 2 м в 2
Е п "=" − г М м р
в "=" 2 г М р
Включение этой скорости в уравнение кинематического замедления времени:
Δ т ′ "=" Δ т 1 − в 2 с 2
Δ т ′ "=" Δ т 1 − 2 г М р с 2

В этот момент можно было бы сделать наблюдение, что кинематическое расширение является обратным гравитационному расширению, и, следовательно, сделать вывод, что:

т 0 "=" т ф

Это не домашнее задание. Что я действительно хочу знать, так это то, что в этом случае т 0 "=" т ф .
Ознакомьтесь с нашей политикой домашних заданий . Это специфический вопрос, ценность которого заключается в понимании метода , с помощью которого можно прийти к решению, и, таким образом , похожем на домашнее задание . Кроме того, вы просто спрашиваете, испытывают ли часы в бесконечности замедление времени по сравнению с часами в бесконечности (поскольку это то, что т ф из статьи Вики)?
@ACuriousMind Меня интересует не решение, а обсуждение соответствующей физики, влияющей на ситуацию. На каком-то уровне я действительно просто хочу ответить «да» или «нет» на вопрос: т 0 "=" т ф .
@ACuriousMind Мне интересно, испытывают ли часы в свободном падении замедление времени вообще по сравнению с часами в бесконечности.
Я не думаю, что это вопрос домашнего задания. Я думаю, что в основе лежит интересная концепция сравнения координат с собственным временем. Получите +1 от меня за вопрос, и если вы готовы интегрировать р ( т ) численно и разместив ответ здесь, я также поставлю +1.
Я закрываю это, потому что это читается как вопрос, похожий на домашнее задание, но, аепрюс, я думаю, вы можете немного отредактировать его, чтобы он не был похож на домашнее задание. Например, вы можете отредактировать вопрос, чтобы больше сосредоточиться на том, что вы действительно хотите спросить, т.е. т 0 "=" т ф , а также опишите кое-что из того, что вы сделали самостоятельно, чтобы попытаться в этом разобраться.
Интересный вопрос. Не вижу веских причин для закрытия.

Ответы (2)

Вот как рассчитать замедление времени для объекта, движущегося со скоростью в в радиальном направлении к черной дыре или от нее.

Поскольку объект движется радиально г θ "=" г ф "=" 0 а метрика Шварцшильда упрощается до:

(1) с 2 г т 2 "=" с 2 ( 1 − р с р ) г т 2 − г р 2 1 − р с / р

г т является собственным временем, и это соответствует времени, показанному на часах падающих предметов. г т и г р и время и радиальное смещение, измеренное удаленным наблюдателем. Замедление времени г т / г т , и чтобы вычислить это, мы должны отметить, что если скорость, измеренная наблюдателем Шварцшильда, равна в затем г р "=" в г т . Подставляя это в уравнение (1), получаем:

с 2 г т 2 "=" с 2 ( 1 − р с р ) г т 2 − в 2 г т 2 1 − р с / р

И перестановка этого дает:

(2) ( г т г т ) 2 "=" 1 − р с р − в 2 с 2 1 1 − р с / р

я ушел в в уравнении. Устранить в вам нужно использовать выражение, относящееся в к р для объекта, свободно падающего из бесконечности :

в с "=" − ( 1 − р с р ) ( р с р ) 1 / 2

Я оставлю работу в качестве упражнения для читателя. Довольно неожиданный результат после того, как мы сделали замену:

(3) г т г т "=" 1 − р с р

На самом деле, думаю, я попробую.
Возможно, исходя из приведенного выше анализа, в этом нет необходимости?
Ну, кроме этого конкретного вопроса. Мне действительно нужно вернуться в глубокую часть с PDE и аналитическими и числовыми решениями. Это может быть разумным местом для начала.
@aepryus: я понял, что расчет проще, чем я думал, поэтому я полностью переписал свой ответ, чтобы сделать это.
@aepryus: вы численно решаете уравнение Эйнштейна? Для этого традиционно требовались суперкомпьютеры, если только у вас нет некоторой симметрии, чтобы уменьшить порядок уравнения. Если вы просто решаете коэффициенты набора времени и орбиты наблюдателей, в худшем случае это будет система из четырех ODE.
@JerrySchirmer: раз уж ты рядом, действительно ли мое уравнение (3) верно? Выглядит подозрительно просто. Хотя рабочая выглядит нормально...
@JohnRennie: твоя работа выглядит правильно. Тот факт, что вы требуете, чтобы объект падал из бесконечности, а не задавал что-то вроде энергии орбиты или максимального радиуса, безусловно, является упрощением, поэтому я не очень удивлен, что вы получили простой ответ. И у нас есть точный ответ в закрытой форме для т ( т ) и р ( т ) для радиальных орбит, так что это, безусловно, простейший возможный случай.
Итак, когда мы достигнем р "=" р с время останавливается г т "=" 0 и мы движемся со скоростью света в "=" с . Но так как массивный объект никогда не может достичь с , поэтому мы никогда не достигнем радиуса р с и, следовательно, никогда не упадет в черную дыру... ?
@ja72: выше в - скорость, измеренная наблюдателем Шварцшильда, и в → 0 как р → р с . Так что вы действительно никогда не пересечете горизонт событий. Это хорошо известный результат, который обсуждался во многих вопросах на этом сайте.
У меня есть ряд комментариев... Во-первых, большое спасибо за анализ - это очень полезно. Во-вторых, я тоже нахожу этот результат "удивительным". Меня все еще немного смущает хаб с домашним заданием, но это обычный вопрос о домашнем задании? Учитывая результат, кажется, что это будет известная проблема, но, что бы это ни стоило, я никогда не слышал о ней раньше.
@aepryus: тег «домашнее задание» предназначен для обозначения того, что работа проста для любого достаточно опытного физика. Например, мы получаем бесконечные вопросы о блоках, скользящих по склону и т. д., и их решение — обычная механика. Дело не в том, что вопрос действительно был домашним заданием, а в том, что работа рутинная и потому неинтересная. В данном случае я подозреваю, что VTCers недооценили тонкость вопроса. Несмотря на то, что я делал подобные вещи раньше, мне потребовался день, чтобы понять, как на это можно ответить. Я также думаю, что вопрос помогает проиллюстрировать...
... очень важный момент. Новички в СР склонны думать о разбавлении времени как о простой вещи с простой формулой. Затем они сильно запутались в парадоксе близнецов. Важно понимать, что замедление времени исходит из метрики, и я думаю, что ваш вопрос четко иллюстрирует, как метрика может использоваться для ее расчета.
В-третьих, я понимаю, что в большинстве случаев р с / р будет очень маленьким, но интересно, может быть, этот термин также должен исчезнуть. Я попытаюсь согласовать вашу математику с моим упрощенным анализом выше, но интересно, возможно, это какой-то артефакт координат Шварцшильда. Мои преобразования координат немного заржавели, но г р "=" в г т провести в координатах Шварцшильда или может быть дополнительный член, который исключил бы последний р с / р ?
@aepryus: если ты измеришь р в системе координат и т в той же системе координат, то по определению в "=" г р / г т в этой системе координат.
Хорошо, я пройду через это и попытаюсь выяснить, в чем заключается несоответствие. И, наконец, я извиняюсь за ересь, но я действительно придумал базовую модель, которая четко выводит все явления относительности, кроме одного, парадокс близнецов. Это дало мне много интуиции о SR / GR, например, что привело к этому вопросу. Он разрешает парадокс близнецов, делая v преобразований Лоренца всегда относительно системы отсчета, движущейся совместно с лежащим в основе пространством-временем в любой точке. Мой предыдущий вопрос об экспериментальном подтверждении парадокса близнецов не помог.
@aepryus: вы делаете неверный вывод из сравнения двух формул замедления времени в вашем вопросе. Эти две формулы связаны только тем, что обе они получены из метрики, но в обоих случаях это разные метрики. Вы должны попытаться вывести уравнение замедления времени SR из метрики Минковского. Основной принцип такой же, как я использовал в своем ответе.
@aepryus: задайте вопрос, если вам нужна подсказка. Если вы спрашиваете, подчеркните, что вы пытаетесь понять, как замедление времени происходит из метрики, поэтому оно не помечается как домашняя работа!

Проще:

Постоянная движения инерциального наблюдателя в метрике Шварцшильда:

( 1 − р с р ) г т г т "=" Е м с 2   .

Для наблюдателя, находящегося в состоянии покоя на бесконечности, тогда Е / м с 2 "=" 1 , так

г т "=" ( 1 − р с р ) г т

Таким образом, на самом фундаментальном уровне часы в свободном падении испытывают замедление времени, независимо от того, стартуют они из состояния покоя или нет.

Просто для подтверждения; исходя из этого, является ли замедление времени часов, сброшенных с поверхности с космической скоростью (так что они достигают бесконечности при 𝑣=0), точно таким же, как замедление времени падающих часов? Т. е. одинаково ли замедление времени для обоих часов при любом заданном r?
@aepryus знак скорости неважен (как и в SR).
Часы в свободном падении
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v