Свободное падение из состояния покоя в черную дыру Керра

Из этой бумаги$^1$мы имеем уравнения для частицы с нулевой полной энергией на падающей траектории в экваториальной плоскости:

$$\begin{align} \Sigma\frac{d\theta}{d\tau} &= 0 \\ \Sigma\frac{dr}{d\tau} &= -\sqrt{2Mr(r^2 + a^2)} \\ \Sigma\frac{dt}{d\tau} &= -a^2\sin^2\theta + \frac{(r^2 + a^2)^2}{r^2-2Mr+a^2} \\ \Sigma\frac{d\phi}{d\tau} &= -a \left( 1 - \frac{r^2 + a^2}{r^2-2Mr+a^2} \right) \\ \Sigma &= r^2 + a^2\cos^2\theta \\ a &= \frac{J}{M} \end{align}$$

Если вы счастливы предположить, что собственное время остается конечным, то, чтобы выяснить, становится ли координатное время бесконечным где угодно, мы просто спросим,$dt/d\tau$становится бесконечным в любом месте. Если мы используем упрощение, что траектория является экваториальной ($\theta = \pi/2$) затем$dt/d\tau$упрощается до:

$$r^2\frac{dt}{d\tau} = -a^2 + \frac{(r^2 + a^2)^2}{r^2-2Mr+a^2}$$

и это становится бесконечным, когда:

$$r^2-2Mr+a^2 = 0$$

который имеет два решения:

$$r = M \pm \sqrt{M^2 - a^2}$$

или в более знакомой форме:

$$r = \frac{r_s \pm \sqrt{r_s^2 - 4a^2}}{2}$$

Но эргосфера на$r = r_s$в экваториальной плоскости, т.$dt/d\tau$не бесконечен в эргосфере, и это означает, что падающая частица достигнет эргосферы за конечное координатное время.

---

$^1$в этой статье нет ничего особенного, это была первая статья, которую я нашел при поиске в Google.