Иногда в результате изучения новых вещей вы понимаете, что невероятно запутались в том, что, как вам казалось, вы поняли очень хорошо, и что, возможно, ваша интуиция нуждается в пересмотре. Это случилось со мной, когда я думал о нелагранжевом описании КТП. Ниже я приведу краткое описание своей интуиции и того, почему я думаю, что она была оспорена, но ради ясности вот мой вопрос: имеют ли «типичные» или «общие» КТП лагранжевы описания? Как можно количественно определить размер множества КТП с лагранжевым описанием и без него?Когда говорят, что КТП не имеет лагранжева описания, означает ли это, что оно действительно не имеет его, или только то, что такое описание трудно или невозможно найти?
Будучи молодым студентом КТП, я изучал вильсоновский подход к РГ, и это дало мне очень простое и геометрическое понимание теории поля. Чтобы описать некоторый физический процесс как КТП, нужно сначала понять симметрии задачи (такие как симметрия Пуанкаре, калибровочные и глобальные симметрии). Затем выписывается общий полиномиальный лагранжиан, согласующийся с этими симметриями. В качестве примера рассмотрим случай с скалярное поле (и давайте ограничимся лагранжианами со стандартным, двумя производными кинетическими терминами только для простоты):
Из вильсоновской РГ я привык думать о пространстве возможных теорий поля (с наложенными выше ограничениями симметрии) как о соответствующем бесконечномерном пространстве параметров . Точка в этом пространстве задает лагранжиан и определяет теорию поля. Поток РГ просто представляется как траектория из одной точки (в УФ) в другую (в ИК). Многие разные начальные точки могут иметь одну и ту же конечную точку, что позволяет нарисовать простое графическое описание классов универсальности.
Таким образом, исходя из этой логики, я бы подумал, что все КТП допускают лагранжевы описания, но некоторые из них могут потребовать бесконечного числа членов взаимодействия. Эта интуиция была подвергнута сомнению, когда я прочитал о КТП и двойственности калибровки/гравитации. В этих контекстах лагранжевы описания теории поля почти никогда не записываются. На самом деле, согласно обобщенной калибровке/гравитации (т.е. убеждению, что гравитация с граничными условиями AdS двойственна некоторой КТП), может показаться, что многие КТП не допускают лагранжева описания. Этот обобщенный датчик/гравитация должен отлично работать в , а УФ-теория поля с фиксированной точкой, безусловно, не допускает простого лагранжевого описания, поскольку в достаточно высокой размерности все члены взаимодействия релевантны (и, следовательно, в УФ пренебрежимо малы), что предполагает, что УФ-неподвижная точка просто свободна, но это конечно не так.
Я пришел к этой путанице, размышляя об AdS/CFT, но я был бы очень рад просто четко понять, что именно означает отсутствие лагранжевого описания для КТП, и понять, насколько «типичны» такие теории. находятся.
Редактировать: И позвольте мне добавить краткое обсуждение CFT. При использовании бутстрапного подхода к КТП каждый начинает с «данных» КТП, т. е. набора конформных размерностей и коэффициентов ОРЕ, а затем, в принципе, можно решить КТП (под этим я подразумеваю вычисление всех корреляционных функций). Так что это совершенно другой способ характеристики теорий поля, который применим только к конформным теориям. Не-КТП могут быть получены путем оттекания РГ от этих фиксированных точек. Было бы полезно понять связь между этим способом мышления об общих КТП и описанным выше подходом Вильсона.
Судя по моему прочтению вашего вопроса, вы, похоже, запутались в том, что мы на самом деле подразумеваем под вильсоновским подходом, КТП и лагранжевой плотностью, поэтому я надеюсь разобраться с ними по очереди и надеюсь, что это поможет.
Подход Вильсона к КТП можно использовать для двух целей: во-первых, это более используемый и прикладной случай в физике элементарных частиц, который заключается в нахождении ренормгрупповых потоков констант связи, которые, в свою очередь, уменьшают (или устраняют) расходимости в теория, позволяющая ослабить связь при более высоких энергиях и, таким образом, уменьшить влияние петлевых поправок. Другое применение, для которого я использую технику Уилсона, — это ТЭО. Это процесс интегрирования поправок более высокого порядка в теорию и последующего использования полиномиального разложения для аппроксимации лагранжиана действия. Оба процесса, в конечном счете, одинаковы, только с разным результатом. В первом случае мы поглощаем все дополнительные члены в потоки РГ, а во втором случае мы допускаем локальные контактные члены в теорию, которая выражает вклад высокой энергии в низкоэнергетическое поведение.
Затем это приводит к вашим вопросам о гравитации и «типичных» КТП. В случае гравитации в большинстве расчетов мы используем тот или иной ТЭО (есть исключения, но они не являются КТП в самом строгом смысле этого слова). Мы используем EFT, потому что мы можем исследовать низкоэнергетические поправки к гравитационному поведению на статическом фоне, не игнорируя эффекты более высоких энергий. ОДНАКО, в случае с гравитацией мы на самом деле сначала записываем ТЭО, а затем используем его, и это потому, что у нас нет полной УФ-теории гравитации, и поэтому мы можем быть уверены только в том, что ТЭО верна. В настоящее время исследователи из Имперского колледжа предпринимают попытки использовать постулаты EFT и S-Matrix, чтобы получить некоторые знания о полном УФ-действии (это стоит поискать в Google). Таким образом, если КТП не
Другим аргументом может быть то, что в КТП фундаментальная теория должна быть записана не в терминах лагранжиана, а в терминах действия, поскольку обычно это единственная калибровочно-инвариантная величина, которую мы можем записать. Свободное поле Рарита-Швингер является примером этого. Таким образом, лагранжев подход на самом деле довольно редок, когда речь идет о более сложных КТП, потому что они просто не обладают свойствами, необходимыми для их использования, более того, они часто плохо определяются в нестатическом (или почти нестатическом) пространстве-времени, потому что у них нет четко определенной метрической эволюции без меры действия. Следовательно, эти теории требуют явного применения вариационного принципа, чтобы раскрыть их физику.
Короче говоря, «типичная» КТП не имеет лагранжиана, потому что Вселенная слишком сложна. На самом деле мы можем работать только с действиями и ТЭС, которые, как говорится, имеют лагранжиан в простых системах, который допускает лагранжево обращение, но КТП не являются такой системой.
Я бы сказал, что минималистическим требованием для КТП будет возможность определить и каким-то образом вычислить S-матрицу (возможно, с унитарностью: например, вы можете ослабить локальность, локальную инвариантность Пуанкаре и, возможно, микропричинность). Если вы можете определить квантовые поля вашей теории в условиях, в которых вы работаете (коммутационные соотношения могут доставить вам массу неприятностей в зависимости от того, насколько вы ослабляете стандартные предположения), то вы должны быть в состоянии добраться до лагранжиана, рассматривая его как генератор операторов, которые появляются в теории (через релаксированные версии временной эволюции или интеграла по траекториям).
Эти операторы могут быть прочитаны из S-матрицы с некоторой свободой в их определениях: вы можете взять каждый коррелятор как отдельный оператор или вы можете придумать подмножество операторов, которое порождает все остальные. Эти операторы (или некоторое пересуммирование некоторых из них) могут быть нелокальными или не соответствовать стандартным лагранжевым требованиям (например, перенормируемости).
Однако обратите внимание, что в стандартной КТП ваш фон должен быть стационарной точкой действия, то есть удовлетворять уравнениям Эйлера-Лагранжа для классического лагранжиана. Предварительное знание «классического» лагранжиана, из которого возникает фон, имеет значение, поскольку оно сводится к способности переформулировать вашу проблему с вакуумом в качестве фона. В целом должно быть возможно справиться с этим ослаблением стандартных предположений (в частности, здесь я думаю о скалярном лагранжиане); другим вкладом в лагранжиан, полученным в результате проверки S-матрицы, будут поправки к «фоновому лагранжиану».
Поведение теории при изменении энергетического масштаба следует для начала включить в S-матрицу.
В заключение у меня сложилось впечатление, что могут быть ситуации, в которых определение полей и их коммутационных соотношений затруднено и препятствует стандартной лагранжевой обработке, даже если вы можете определить операторы и корреляторы.
Я надеюсь, что эта точка зрения поможет вам прояснить ваши сомнения.
Любопытный Разум
Хирургический командир
Qмеханик
ДжамалС
Эмилио Писанти
Хирургический командир
тпаркер
Арнольд Ноймайер
АВС
Коннор Бехан