Несколько стационарных точек функционала действия

Может быть более одного стационарного классического решения принципа действия с соответствующими граничными условиями. Например, из-за инстантонов или калибровочной симметрии.

Пример: вращающееся твердое тело с моментом инерции.$I$. Действие

$$\tag{1} S~=~\int_{t_i}^{t_f}\! dt ~L , \qquad L ~:=~\frac{I}{2}\dot{\theta}^2,$$ с граничными условиями Дирихле (BC) $$\tag{2} \theta(t_i)-\theta_i~\in~2\pi\mathbb{Z} \qquad\text{and}\qquad\theta(t_f)~-\theta_f\in~2\pi\mathbb{Z} .$$ Можно удовлетворить EOM$\ddot{\theta}\approx 0$и ВС (2) бесконечно многими способами, соответствующими разным числам обмоток.

Инстантонные решения являются важной особенностью квантовой теории поля. С другой стороны, неоднозначность калибровки обычно устраняется путем фиксации калибровки.

В качестве примера рассмотрим реальное скалярное поле с действием

$$S=\int \mathrm{d}^4 x \, \left( \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right)$$

Принцип стационарного действия настаивает$\delta S = 0$, а поля, которые позволяют это, - это те, которые удовлетворяют связанным уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые просто

$$(\square+m^2)\phi=0$$

Как отметил ОП, есть много решений уравнений движения; это не проблема. Для целей канонического квантования мы обычно разлагаем поле как плоскую волну, а коэффициенты Фурье переводим в операторы и т. д. Теория может иметь и другие решения, и во многих случаях их интересно изучать, например солитоны.