Почему формулировки Лагранжа и Гамильтона дают одни и те же сохраняющиеся величины для одних и тех же симметрий?

Question

Почему формулировки Лагранжа и Гамильтона дают одни и те же сохраняющиеся величины для одних и тех же симметрий?

пользователь1379857

Связь между симметриями и законами сохранения можно рассматривать через призму как лагранжевой, так и гамильтоновой механики. В лагранжевой картине мы имеем теорему Нётер. В гамильтоновой картине мы имеем так называемую «карту моментов». Когда мы рассматриваем одну и ту же «симметрию» с обеих точек зрения, мы получаем одни и те же сохраняющиеся величины. Почему это?

Я приведу пример. Для двумерной частицы, движущейся в центральном потенциале, действие равно

С знак равно \int г т (\frac{м}{2} ({\dot{д}}_{1}^{2} + {\dot{д}}_{2}^{2}) - В (д_{1}^{2} + д_{2}^{2})) .

$S = \int dt \Bigl(\frac{m}{2} ( \dot q_1^2 + \dot q_2^2) - V(q_1^2 + q_2^2)\Bigr).$

Затем мы можем рассмотреть $SO(2)$ вращательная симметрия, которая оставляет это действие инвариантным. Когда мы изменяем траекторию на бесконечно малое вращение, зависящее от времени,

дельта д_{1} (т) знак равно - ε (т) д_{2} (т)

$\delta q_1(t) = - \varepsilon(t) q_2(t)$

дельта д_{2} (т) знак равно ε (т) д_{1} (т)

$\delta q_2(t) = \varepsilon(t) q_1(t)$ находим, что изменение действия равно

дельта С знак равно \int г т (м ({\dot{д}}_{1} дельта {\dot{д}}_{1} + {\dot{д}}_{2} дельта {\dot{д}}_{2}) - дельта В)

$\delta S = \int dt \Bigl( m ( \dot q_1 \delta \dot q_1 + \dot q_2 \delta \dot q_2) - \delta V \Bigr)$

знак равно \int г т м (д_{1} {\dot{д}}_{2} - д_{2} {\dot{д}}_{1}) \dot{ε} (т)

$= \int dt m (q_1 \dot q_2 - q_2 \dot q_1)\dot \varepsilon(t)$

В качестве $\delta S = 0$ для крошечных отклонений от фактического пути частицы интегрирование по частям дает

\frac{г}{г т} (м д_{1} {\dot{д}}_{2} - м д_{2} {\dot{д}}_{1}) знак равно \frac{г}{г т} л знак равно 0

$\frac{d}{dt} (m q_1 \dot q_2 - m q_2 \dot q_1) = \frac{d}{dt}L = 0$ и угловой момент сохраняется.

В гамильтоновой картине, когда мы поворачиваем точки в фазовом пространстве на $SO(2)$ , мы находим, что $L(q,p) = q_1 p_2 - q_2p_1$ остается постоянной при вращении. Поскольку гамильтониан $H$ , у нас есть

{ЧАС, л} знак равно 0

$\{ H, L\} = 0$ подразумевая, что угловой момент сохраняется во времени.

В лагранжевой картине наша $SO(2)$ симметрия действовала на пути в конфигурационном пространстве, тогда как в гамильтоновой картине наша симметрия действовала на точки в фазовом пространстве. Тем не менее, сохраняющаяся величина от обоих является одним и тем же угловым моментом. Другими словами, наше малое возмущение к экстремальному пути оказалось найденным при взятии скобки Пуассона с производной сохраняющейся величиной:

дельта д_{я} знак равно ε (т) {д_{я}, л}

$\delta q_i = \varepsilon(t) \{ q_i, L \}$

Есть ли способ показать, что это вообще верно, что сохраняющаяся величина, полученная с помощью теоремы Нётер, при помещении в скобку Пуассона восстанавливает исходную симметрию? Это вообще правда? Верно ли это только для сохраняющихся величин, являющихся полиномами не выше 2-й степени?

Изменить (23 января 2019 г.): некоторое время назад я принял ответ QMechanic, но с тех пор я придумал довольно короткое доказательство, которое показывает, что в рамках «гамильтоновского лагранжиана» сохраняющаяся величина действительно порождает исходную симметрию из теоремы Нётер.

Скажи это $Q$ является сохраняющейся величиной:

{Вопрос, ЧАС} знак равно 0.

$\{ Q, H \} = 0.$ Рассмотрим следующее преобразование, параметризованное крошечной функцией

ε (t)

$\varepsilon(t)$ :

дельта д_{я} знак равно ε (т) \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}} дельта п_{я} знак равно - ε (т) \frac{\partial Вопрос}{\partial д_{я}}

$\delta q_i = \varepsilon(t)\frac{\partial Q}{\partial p_i} \\ \delta p_i = -\varepsilon(t)\frac{\partial Q}{\partial q_i}$ Обратите внимание, что

δ H = ε (t) {H, Q} = 0

$\delta H = \varepsilon(t) \{ H, Q\} = 0$ . Тогда у нас есть

\begin{aligned} дельта л & знак равно дельта (п_{я} {\dot{д}}_{я} - ЧАС) \\ знак равно - ε \frac{\partial Вопрос}{\partial д_{я}} {\dot{д}}_{я} - п_{я} \frac{г}{г т} (ε \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}}) \\ знак равно - ε \frac{\partial Вопрос}{\partial д_{я}} {\dot{д}}_{я} - {\dot{п}}_{я} ε \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}} + \frac{г}{г т} (ε п_{я} \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}}) \\ знак равно - ε \dot{Вопрос} + \frac{г}{г т} (ε п_{я} \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \delta L &= \delta(p_i \dot q_i - H )\\ &= -\varepsilon\frac{\partial Q}{\partial q_i} \dot q_i - p_i \frac{d}{dt} \Big( \varepsilon\frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) \\ &= -\varepsilon\frac{\partial Q}{\partial q_i} \dot q_i - \dot p_i \varepsilon\frac{\partial Q}{\partial p_i} + \frac{d}{dt} \Big( \varepsilon p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}\Big) \\ &= - \varepsilon \dot Q + \frac{d}{dt} \Big( \varepsilon p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}\Big) \\ \end{align*}$

(Обратите внимание, что мы еще не использовали уравнения движения.) Теперь на стационарных траекториях $\delta S = 0$ для любой крошечной вариации. В частности, для приведенного выше варианта, предполагая $\varepsilon(t_1) = \varepsilon(t_2) = 0$ ,

дельта С знак равно - \int_{т_{1}}^{т_{2}} ε \dot{Вопрос} г т

$\delta S = -\int_{t_1}^{t_2} \varepsilon \dot Q dt$

подразумевая, что $Q$ сохраняется.

Следовательно, $Q$ «порождает» ту самую симметрию, которую вы можете использовать для вывода закона сохранения с помощью теоремы Нётер (как и предполагалось).

ZeroTheHero

Как насчет симплектических инвариантов, таких как площадь

d q \land d p

$dq\wedge dp$ , не имеющие аналогов в лагранжевой механике?

Диракология

Сохраняющаяся величина, полученная с помощью теоремы Нётер, на самом деле является генератором бесконечно малых канонических преобразований, и эти преобразования образуют группу симметрии. Например, вращения можно рассматривать как активные канонические преобразования, порожденные угловым моментом. Конечно, здесь есть что рассказать, но я думаю, что отправной точкой является теория бесконечно малых канонических преобразований.

пользователь1379857

Я знаю, что сохраняющиеся величины, заданные «картой моментов», могут быть найдены для симплектоморфизмов фазового пространства, а алгебра Ли симплектической группы соответствует полиномам степени 2 на фазовом пространстве. Однако кажется, что ответ на мой вопрос не должен включать в себя какой-либо сложный математический аппарат, потому что это очень простой вопрос.

лалала

Можете ли вы объяснить, как вы поворачиваете точки в фазовом пространстве на SO (2), чтобы получить сохраняющееся значение L?

пользователь1379857

Для вращения

R \in S O (2)

$R \in SO(2)$ , действуют на оба

(\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix}$ а также

(\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$ по

R

$R$ . Количество

L

$L$ не изменяется при таком вращении.

Ответы (2)

Почему формулировки Лагранжа и Гамильтона дают одни и те же сохраняющиеся величины для одних и тех же симметрий?

Как насчет симплектических инвариантов, таких как площадь $dq\wedge dp$ , не имеющие аналогов в лагранжевой механике?
Сохраняющаяся величина, полученная с помощью теоремы Нётер, на самом деле является генератором бесконечно малых канонических преобразований, и эти преобразования образуют группу симметрии. Например, вращения можно рассматривать как активные канонические преобразования, порожденные угловым моментом. Конечно, здесь есть что рассказать, но я думаю, что отправной точкой является теория бесконечно малых канонических преобразований.
Я знаю, что сохраняющиеся величины, заданные «картой моментов», могут быть найдены для симплектоморфизмов фазового пространства, а алгебра Ли симплектической группы соответствует полиномам степени 2 на фазовом пространстве. Однако кажется, что ответ на мой вопрос не должен включать в себя какой-либо сложный математический аппарат, потому что это очень простой вопрос.
Можете ли вы объяснить, как вы поворачиваете точки в фазовом пространстве на SO (2), чтобы получить сохраняющееся значение L?
Для вращения $R \in SO(2)$ , действуют на оба $\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix}$ а также $\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$ по $R$ . Количество $L$ не изменяется при таком вращении.

Qмеханик · Answer 1

В этом ответе для простоты ограничимся случаем регулярного преобразования Лежандра в точечной механической постановке, ср. этот связанный пост Phys.SE. (Обобщения на теорию поля и калибровочную теорию в принципе возможны с соответствующими модификациями выводов.)

С одной стороны, принцип действия гамильтоновой системы задается гамильтоновым действием
$\begin{matrix} (1) & С_{ЧАС} [д, п] знак равно \int г т л_{ЧАС} (д, \dot{д}, п, т) . \end{matrix}$ $S_H[q,p] ~:= \int \! dt ~ L_H(q,\dot{q},p,t).\tag{1}$ Здесь $L_H$ является так называемым гамильтоновым лагранжианом $\begin{matrix} (2) & л_{ЧАС} (д, \dot{д}, п, т) знак равно \sum_{я знак равно 1}^{н} п_{я} {\dot{д}}^{я} - ЧАС (д, п, т) . \end{matrix}$ $L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t). \tag{2}$ В гамильтоновой формулировке существует биективное соответствие между сохраняющимися величинами $Q_H$ и инфинитезимальные (вертикальные) преобразования квазисимметрии $\delta$ , как показано в моих ответах Phys.SE здесь и здесь . Оказывается, преобразование квазисимметрии $\delta$ представляет собой гамильтоново векторное поле , порожденное сохраняющейся величиной $Q_H$ : $дельта г^{я} знак равно {г^{я}, {Вопрос}_{ЧАС}} ε, я е {1, \dots, 2 н}, дельта т знак равно 0,$ $\delta z^I~=~ \{z^I,Q_H\}\varepsilon,\qquad I~\in~\{1, \ldots, 2n\}, \qquad \delta t~=~0,$ $\begin{matrix} (3) & дельта д^{я} знак равно \frac{\partial {Вопрос}_{ЧАС}}{\partial п_{я}} ε, дельта п_{я} знак равно - \frac{\partial {Вопрос}_{ЧАС}}{\partial д^{я}} ε, я е {1, \dots, н}, \end{matrix}$ $\delta q^i~=~\frac{\partial Q_H}{\partial p_i}\varepsilon, \qquad \delta p_i~=~ -\frac{\partial Q_H}{\partial q^i}\varepsilon, \qquad i~\in~\{1, \ldots, n\},\tag{3}$
С другой стороны, если мы проинтегрируем импульсы $p_i$ , получаем соответствующее лагранжево действие
$\begin{matrix} (4) & С [д] знак равно \int г т л (д, \dot{д}, т), \end{matrix}$ $S[q] ~= \int \! dt ~ L(q,\dot{q},t),\tag{4}$ ср. этот связанный пост Phys.SE. Уравнения Гамильтона. $\begin{matrix} (5) & 0 \approx \frac{дельта С_{ЧАС}}{дельта п_{я}} знак равно {\dot{д}}^{я} - \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{я}} \end{matrix}$ $0~\approx~\frac{\delta S_H}{\delta p_i} ~=~\dot{q}^i-\frac{\partial H}{\partial p_i} \tag{5}$ для моментов $p_i$ получаем с помощью преобразования Лежандра определяющее соотношение $\begin{matrix} (6) & п_{я} \approx \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}^{я}} \end{matrix}$ $p_i~\approx~ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\tag{6}$ лагранжевым импульсам. уравнения (5) и (6) устанавливают взаимно однозначное соответствие между скоростями и импульсами.
Если мы возьмем это биективное соответствие $\dot{q} \leftrightarrow p$ с учетом этого ясно, что гамильтонов и лагранжевы сохраняющиеся заряды
$\begin{matrix} (7) & {Вопрос}_{ЧАС} (д, п, т) \approx {Вопрос}_{л} (д, \dot{д}, т) \end{matrix}$ $Q_H(q,p,t)~\approx~Q_L(q,\dot{q},t) \tag{7}$ находятся в биективном соответствии. Ниже мы покажем, что то же самое верно для (вертикальных) инфинитезимальных квазисимметрий с обеих сторон.
С одной стороны, если мы начнем с (вертикальной) инфинитезимальной квазисимметрии в (гамильтоновом) фазовом пространстве
$\begin{matrix} (8) & ε \frac{г ф_{ЧАС}^{0}}{г т} знак равно дельта л_{ЧАС} знак равно \sum_{я знак равно 1}^{н} \frac{дельта С_{ЧАС}}{дельта п_{я}} дельта п_{я} + \sum_{я знак равно 1}^{н} \frac{дельта С_{ЧАС}}{дельта д^{я}} дельта д^{я} + \frac{г}{г т} \sum_{я знак равно 1}^{н} п_{я} дельта д^{я}, \end{matrix}$ $\varepsilon \frac{df^0_H}{dt}~=~\delta L_H ~=~\sum_{i=1}^n\frac{\delta S_H}{\delta p_i}\delta p_i + \sum_{i=1}^n\frac{\delta S_H}{\delta q^i}\delta q^i + \frac{d}{dt}\sum_{i=1}^n p_i~\delta q^i ,\tag{8}$ он может с помощью экв. (5) ограничиваться (вертикальной) бесконечно малой квазисимметрией в (лагранжевом) конфигурационном пространстве: $\begin{matrix} (9) & ε \frac{г ф_{л}^{0}}{г т} знак равно дельта л знак равно \sum_{я знак равно 1}^{н} \frac{дельта С}{дельта д^{я}} дельта д^{я} + \frac{г}{г т} \sum_{я знак равно 1}^{н} п_{я} дельта д^{я}, \end{matrix}$ $\varepsilon \frac{df^0_L}{dt}~=~\delta L ~=~ \sum_{i=1}^n\frac{\delta S}{\delta q^i}\delta q^i + \frac{d}{dt}\sum_{i=1}^n p_i~\delta q^i ,\tag{9}$ На самом деле мы можем взять $\begin{matrix} (10) & ф_{л}^{0} (д, \dot{д}, т) \approx ф_{ЧАС}^{0} (д, п, т) \end{matrix}$ $f^0_L(q,\dot{q},t)~\approx~f^0_H(q,p,t) \tag{10}$ одинаковый. Процедура ограничения также означает, что голые нётеровские заряды $\begin{matrix} (11) & {Вопрос}_{ЧАС}^{0} (д, п, т) \approx {Вопрос}_{л}^{0} (д, \dot{д}, т) \end{matrix}$ $Q^0_H(q,p,t)~\approx~Q^0_L(q,\dot{q},t) \tag{11}$ одинаковы, так как нет $\dot{p}_i$ внешность.
И наоборот, если мы начнем с бесконечно малой квазисимметрии в (лагранжевом) конфигурационном пространстве, мы можем использовать теорему Нётер для получения сохраняющейся величины $Q_L$ , и таким образом замкните круг.
Пример: рассмотреть $n$ гармонические осцилляторы с лагранжианом
$\begin{matrix} (12) & л знак равно \frac{1}{2} \sum_{к, ℓ знак равно 1}^{н} ({\dot{д}}^{к} {грамм}_{к ℓ} {\dot{д}}^{ℓ} - д^{к} {грамм}_{к ℓ} д^{ℓ}), \end{matrix}$ $L~=~\frac{1}{2}\sum_{k,\ell=1}^n \left(\dot{q}^k g_{k\ell}\dot{q}^{\ell} - q^k g_{k\ell} q^{\ell}\right),\tag{12}$ куда $g_{k\ell}$ является метрикой, т. е. невырожденной вещественной симметричной матрицей. Гамильтониан читает $\begin{matrix} (13) & ЧАС знак равно \frac{1}{2} \sum_{к, ℓ знак равно 1}^{н} (п_{к} {грамм}^{к ℓ} п_{ℓ} + д^{к} {грамм}_{к ℓ} д^{ℓ}) знак равно \sum_{к, ℓ знак равно 1}^{н} г^{к *} {грамм}_{к ℓ} г^{ℓ}, \end{matrix}$ $H~=~\frac{1}{2}\sum_{k,\ell=1}^n \left( p_k g^{k\ell} p_{\ell} + q^k g_{k\ell} q^{\ell}\right) ~=~\sum_{k,\ell=1}^n z^{k \ast} g_{k\ell} z^{\ell},\tag{13}$ со сложными координатами $\begin{matrix} (14) & г^{к} знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (д^{к} + я п^{к}), п^{к} знак равно \sum_{ℓ знак равно 1}^{н} {грамм}^{к ℓ} п_{ℓ}, {г^{к *}, г^{ℓ}} знак равно я {грамм}^{к ℓ} . \end{matrix}$ $z^k~:=~\frac{1}{\sqrt{2}}(q^k+ip^k), \qquad p^k~:=~\sum_{\ell=1}^ng^{k\ell}p_{\ell}, \qquad \{z^{k \ast},z^{\ell}\}~=~ig^{k\ell}. \tag{14}$ Гамильтонов лагранжиан (2) имеет вид $\begin{matrix} (15) & л_{ЧАС} знак равно \sum_{к знак равно 1}^{н} п_{к} {\dot{д}}^{к} - ЧАС знак равно \frac{я}{2} \sum_{к, ℓ знак равно 1}^{н} (г^{к *} {грамм}_{к ℓ} {\dot{г}}^{ℓ} - г^{к} {грамм}_{к ℓ} {\dot{г}}^{ℓ *}) - ЧАС, \end{matrix}$ $L_H~=~\sum_{k=1}^n p_k \dot{q}^k - H ~=~\frac{i}{2}\sum_{k,\ell=1}^n \left( z^{k \ast} g_{k\ell} \dot{z}^{\ell} - z^{k} g_{k\ell} \dot{z}^{\ell\ast} \right) - H, \tag{15}$ уравнения Гамильтона. находятся $\begin{matrix} (16) & {\dot{г}}^{к} \approx - я г^{к}, {\dot{д}}^{к} \approx п^{к}, {\dot{п}}^{к} \approx - д^{к} . \end{matrix}$ $\dot{z}^k~\approx~-iz^k, \qquad \dot{q}^k~\approx~p^k, \qquad \dot{p}^k~\approx~-q^k. \tag{16}$ Некоторые сохраняющиеся заряды $\begin{matrix} (17) & {Вопрос}_{ЧАС} знак равно \sum_{к, ℓ знак равно 1}^{н} г^{к *} {ЧАС}_{к ℓ} г^{ℓ} знак равно \sum_{к, ℓ знак равно 1}^{н} (\frac{1}{2} д^{к} С_{к ℓ} д^{ℓ} + \frac{1}{2} п^{к} С_{к ℓ} п^{ℓ} + п^{к} А_{к ℓ} д^{ℓ}), \end{matrix}$ $Q_H ~=~ \sum_{k,\ell=1}^n z^{k \ast} H_{k\ell} z^{\ell} ~=~\sum_{k,\ell=1}^n \left( \frac{1}{2}q^k S_{k\ell} q^{\ell} +\frac{1}{2}p^k S_{k\ell} p^{\ell}+ p^k A_{k\ell} q^{\ell}\right), \tag{17}$ куда $\begin{matrix} (18) & {ЧАС}_{к ℓ} знак равно С_{к ℓ} + я А_{к ℓ} знак равно {ЧАС}_{ℓ к}^{*} \end{matrix}$ $H_{k\ell}~:=~S_{k\ell}+i A_{k\ell}~=~H_{\ell k}^{\ast} \tag{18}$ является отшельником $n\times n$ матрица, состоящая из симметричной и антисимметричной вещественной матрицы, $S_{k\ell}$ а также $A_{k\ell}$ , соответственно. Сохраняющиеся заряды (17) порождают бесконечно малую $u(n)$ квазисимметрия гамильтонова действия $дельта г_{к} знак равно ε {г_{к}, {Вопрос}_{ЧАС}} знак равно - я ε \sum_{ℓ знак равно 1}^{н} {ЧАС}_{к ℓ} г^{ℓ},$ $\delta z_k~=~ \varepsilon\{z_k , Q_H\} ~=~-i \varepsilon\sum_{\ell=1}^n H_{k\ell} z^{\ell},$ $\begin{matrix} (19) & дельта д_{к} знак равно ε \sum_{ℓ знак равно 1}^{н} (А_{к ℓ} д^{ℓ} + С_{к ℓ} п^{ℓ}), дельта п_{к} знак равно ε \sum_{ℓ знак равно 1}^{н} (- С_{к ℓ} д^{ℓ} + А_{к ℓ} п^{ℓ}) . \end{matrix}$ $\delta q_k ~=~ \varepsilon\sum_{\ell=1}^n \left( A_{k\ell} q^{\ell} +S_{k\ell} p^{\ell} \right), \qquad \delta p_k ~=~ \varepsilon\sum_{\ell=1}^n \left( -S_{k\ell} q^{\ell} +A_{k\ell} p^{\ell} \right). \tag{19}$ Голые нётеровские заряды $\begin{matrix} (20) & {Вопрос}_{ЧАС}^{0} знак равно \sum_{к, ℓ знак равно 1}^{н} п^{к} (А_{к ℓ} д^{ℓ} + С_{к ℓ} п^{ℓ}) . \end{matrix}$ $Q^0_H ~=~\sum_{k,\ell=1}^n p^k \left( A_{k\ell} q^{\ell} +S_{k\ell} p^{\ell} \right). \tag{20}$ Также $\begin{matrix} (21) & ф_{ЧАС}^{0} знак равно \frac{1}{2} \sum_{к, ℓ знак равно 1}^{н} (\frac{1}{2} п^{к} С_{к ℓ} п^{ℓ} - д^{к} С_{к ℓ} д^{ℓ}) . \end{matrix}$ $f^0_H~=~\frac{1}{2}\sum_{k,\ell=1}^n \left( \frac{1}{2}p^k S_{k\ell} p^{\ell}- q^k S_{k\ell} q^{\ell}\right). \tag{21}$ Соответствующее бесконечно малое $u(n)$ квазисимметрия лагранжевого действия (1) есть $\begin{matrix} (22) & дельта д_{к} знак равно ε \sum_{ℓ знак равно 1}^{н} (А_{к ℓ} д^{ℓ} + С_{к ℓ} {\dot{д}}^{ℓ}), \end{matrix}$ $\delta q_k ~=~ \varepsilon\sum_{\ell=1}^n \left( A_{k\ell} q^{\ell} +S_{k\ell} \dot{q}^{\ell} \right), \tag{22}$ как можно легко убедиться.

ZeroTheHero · Answer 2

Другим примером симметрии гамильтониана, отсутствующей в лагранжевой формулировке, является изотропный гармонический осциллятор.

Предполагать

л знак равно \frac{1}{2} {\dot{д}}^{Т} \cdot \dot{д} - \frac{1}{2} д^{Т} \cdot д

$L=\frac{1}{2}\dot q^T \cdot \dot{q} - \frac{1}{2}q^T\cdot q$ куда

q^{T} = (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})

$q^T=(q_1,q_2,\ldots,q_n)$ а также

{\dot{q}}^{T} = ({\dot{q}}_{1}, {\dot{q}}_{2}, \dots, {\dot{q}}_{n})

$\dot{q}^T=(\dot q_1,\dot q_2,\ldots ,\dot{q}_n)$ . Очевидно, лагранжиан инвариантен относительно

O (n)

$O(n)$ , т.е. при (реальных) вращениях

O

$O$ координат так, чтобы

O^{T} O = \hat{1}

$O^T O=\hat 1$ .

Соответствующий гамильтониан

ЧАС знак равно \frac{1}{2} п^{Т} \cdot п + \frac{1}{2} д^{Т} \cdot д

$H=\frac{1}{2}p^T\cdot p +\frac{1}{2}q^T\cdot q$ но если теперь ввести нормальные координаты

α_{к} знак равно (п_{к} + я д_{к}), α_{к}^{*} знак равно (п_{к} - я д_{к})

$\alpha_k = (p_k+iq_k)\, ,\qquad \alpha_k^*=(p_k-iq_k)$ гамильтониан принимает вид

ЧАС знак равно \frac{1}{2} (α^{*})^{Т} \cdot α

$H=\frac{1}{2}(\alpha^*)^T\cdot \alpha$ и теперь инвариантен относительно большей группы

U (n)

$U(n)$ сложных преобразований, удовлетворяющих

U^{†} U = \hat{1}

$U^\dagger U=\hat 1$ так как при этом преобразовании:

α \to β знак равно U α, (α^{*})^{†} \to (β^{*})^{Т} знак равно (α^{*})^{Т} U^{†}

$\alpha\to \beta = U\alpha\, ,\qquad (\alpha^*)^\dagger \to (\beta^*)^T =(\alpha^*)^T U^\dagger$ чтобы

(α^{*})^{T} \cdot α = (β^{*})^{T} \cdot β

$(\alpha^*)^T\cdot\alpha = (\beta^*)^T\cdot \beta$ , оставив гамильтониан без изменений.

Конечно с тех пор $O(n)$ является подгруппой $U(n)$ отсюда следует, что гамильтониан имеет симметрии, невозможные с лагранжианом.

Почему формулировки Лагранжа и Гамильтона дают одни и те же сохраняющиеся величины для одних и тех же симметрий?

пользователь1379857

ZeroTheHero

Диракология

пользователь1379857

лалала

пользователь1379857

Ответы (2)

Qмеханик

ZeroTheHero

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Теорема Нётер для гамильтонианов и лагранжианов

Что делает с гамильтонианом HHH симметрия, которая заменяет лагранжиан полной производной?

Существует ли своего рода теорема Нётер для гамильтонова формализма?

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Что означает параметр в теореме Нётер?

Почему симметрии в фазовом пространстве порождаются функциями, оставляющими гамильтониан инвариантным?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка