Парадокс с законом Гаусса, когда пространство везде заряжено равномерно

Если бы вы внимательно следили за аргументами и проверяли, что очевидно верно, а что нет, вы бы согласились с тем, что на самом деле аргумент доказывает, что однородная плотность электрического заряда не может иметь однородного электрического поля. Ваша первоначальная задача состояла в том, чтобы решить уравнения Максвелла (ну, закон Гаусса), поэтому, если вы обнаружите, что уравнения не выполняются, это просто означает, что вы не решили проблему, которую хотели решить, или что решение-кандидат неправильный. Вы не можете вдруг сказать, как предполагает ваш вопрос, что неважно, что уравнения не решены, и вы хотите их изменить или что-то еще. Это изменит правила игры и изменит законы физики.

Вместо этого вы сможете найти решения$\vec E(x,y,z)$которые подчиняются${\rm div}\,\vec E = \rho/\epsilon_0$. Однако неверно, что это$\vec E(x,y,z)$может быть трансляционно-симметричным. Вместо этого вы должны выбрать источник, где$\vec E = 0$, скажем, в$(x,y,z)=(0,0,0)$, и написать

Тот же «парадокс» возникает в случае ускорения свободного падения и плотности массы. В нерелятивистском случае эта удивительная неравномерность$\vec E$, хотя это и не парадокс, убедительно свидетельствует о том, что в самом длинном масштабе плотность заряда должна быть равна нулю. И это действительно случай плотности электрического заряда. Для плотности массы это не так, хотя ньютоновский аргумент все же привел бы нас к выводу, что это должно быть правдой. Однако масса не может быть отрицательной, а плотность энергии положительной. Это вызвало бы нарушение трансляционной симметрии в однородной ньютоновской Вселенной. Однако вселенная Эйнштейна (ну, FRW), подчиняющаяся законам общей теории относительности, не имеет проблем с общей положительной плотностью массы: Вселенная просто искривляется соответствующим образом. Наша Вселенная тому пример.

Что здесь происходит?

Другие отмечают это явное несоответствие: Закон Гаусса ОКАЗАЛСЯ НЕПРАВИЛЬНЫМ!

Я подозреваю, что здесь происходит то, что (отсутствие подходящих) граничных условий не гарантирует уникальность поля E.

См. Теорему уникальности Wiki для уравнения Пуассона.

Добавлю немного другую переформулировку, так как это тонкий вопрос, который возникал в той или иной форме снова и снова и снова и снова в той или иной форме. Конечный результат один и тот же, рассматриваем ли мы электрический заряд (который может иметь как положительные, так и отрицательные значения) или массу (которая, конечно, может быть только неотрицательной).

В основе проблемы лежит попытка описать свойства системы, которая не является четко определенной. Забудьте о равновесии; бесконечное однородное распределение сталкивается с проблемами существования задолго до того, как они возникают.

Любое физическое распределение заряда (электрического или массового) должно быть достижимо в пределе (счетной) последовательности конечных распределений, для которых физика находится на твердом основании. Добавьте немного сюда, потом немного туда. Однако существует несколько способов добавления, например, оболочек из материала, так что пределом процесса является «бесконечное равномерное распределение», и они не согласуются во всех отношениях.

Рассмотрим точку$\vec{r}$в$\mathbb{R}^3$, где начало координат выбрано в другом месте. Рассмотрите возможность добавления сферических оболочек заряда с центром в начале координат, начиная с самых маленьких. Первые несколько вызовут чистое ускорение любого заряда на$\vec{r}$, но через некоторое время оболочки охватят$\vec{r}$и поэтому не будет давать никакого вклада в ускорение. Подводя итог, можно сказать, что общий эффект отличен от нуля. Однако иной выбор происхождения, который должен был быть произвольным, приводит к другому результату. Величины, которые вы хотите связать с бесконечным распределением (электрическое поле, гравитационный потенциал и т. д.), зависят от того, как вы его конструируете , и не существует четкого «естественного» способа сделать это.

Ваше бесконечное распределение, взятое в позитивистском смысле и включающее все эффекты, которые оно может оказать на наблюдаемые, просто не существует (математически, а не только физически), и поэтому мы не можем строить предположения о том, какими могут быть эти эффекты на наблюдаемые.

Несколько комментариев:

1. Если все «точки» в пространстве будут одинаково заряжены, то это определит новый вакуум. Это глобальная ссылка. Это как море Дирака. Так что, возможно, диэлектрическая проницаемость вакуума была другой.

2. Выбор точки в качестве «нулевой» точки не нарушает трансляционной инвариантности пространства, если только с математической точки зрения мера этой нулевой точки в пространстве не равна нулю. То есть мера точки вне R равна нулю. Однако мера точки вне дискретного пространства отлична от нуля (поскольку множество счетно).

В случае, если нулевая точка имеет ненулевую меру, пространство искривляется вокруг выбранной «нулевой» точки (как было сказано выше, отменяется все, но не вклад нулевой точки).

Э. Ацмон

Тоже простыми словами. В бесконечной вселенной с однородным распределением темной материи вы всегда находитесь в центре этого распределения. Гравитация в сферической оболочке, если разобраться, внутри сферической оболочки всегда стремится к нулю. Вот почему гравитация на Земле не стремится к бесконечности. При приближении к земле гравитация увеличивается с расстоянием на 1/r^2. Однако когда мы достигаем земли и проходим через внешнюю сферическую оболочку материи, гравитация от этой оболочки отменяется. Объем этого вещества уменьшается как функция r^3. Результатом после математических расчетов будет линейное уменьшение силы тяжести, пока она не упадет до нуля в центре Земли. Бесконечная вселенная с равномерно распределенной материей без определенного центра обеспечивает невесомость повсюду, потому что вы всегда находитесь в центре сферы. Это может заставить нас задаться вопросом, действительно ли такая бесконечность может существовать. По крайней мере, логика, кажется, усваивает идею бесконечности.

Статическое электрическое поле в этом случае можно рассматривать аналогично гравитационному полю.

Я думаю, мы можем согласиться с тем, что если все пространство несет фиксированную и однородную плотность заряда (в нашей системе отсчета), то поле Е везде равно нулю. Очевидно, что расчет потока для любой замкнутой поверхности также даст нуль, несмотря на наличие «заряда» в пределах ограниченной области.

Думая «физически» и немного менее математически, мне кажется, что этот так называемый парадокс сводится к нашей интерпретации div(E) ~ rho. Возможно, мы всегда должны думать об этом уравнении как:

div (E) ~ rho - rho(0), где rho(0) — плотность заряда «вакуума».

С точки зрения электростатики, если мы везде добавим равномерную (в моей системе координат) плотность заряда rho(0) -- не будет изменений в статическом E-поле из-за "избыточной плотности" заряда. Например, E-поле, связанное с одиноким электроном, будет выглядеть так же, если я добавлю равномерную плотность фонового заряда rho(0) повсюду вокруг него (ну и AT тоже).

Если мы признаем, что плотность заряда rho(0) не меняет физического поля E, легко увидеть, как div (E) ~ rho - rho(0) возвращает нас туда, где мы хотим быть с расчетами потоков и зарядами. . Это своего рода аргумент «калибровки», и он имеет для меня практический, физический смысл.

Теперь интересно, будет ли фоновая диффузная однородная плотность заряда (rho(0)), как видно в МОЕМ кадре, выглядеть так же на усиленном кадре. В данный момент у меня нет сил разобраться с этим, но мои инстинкты подсказывают мне, что в относительных усиленных кадрах то, что выглядит как однородный ро(0), может быть преобразовано во что-то, что может быть неоднородным -- -- даже хотя это скаляр (вероятно, играют роль объемы и поперечные разности). Но это нужно проверить (хорошее упражнение для студентов EM). Кроме того, я подозреваю, что в усиленных или вращающихся кадрах rho(0) — как видно из моего «отдыхающего кадра» — выглядит как токи, и все в беспорядке (хотя это прекрасно описано уравнениями Максвелла). Опять таки,

Как бы то ни было, я думаю, что разрешение парадокса основывается на признании того, что физические поля — как и E — возникают из-за РАЗЛИЧИЙ в плотности источника из однородной почвы, для которой связанные физические поля равны нулю.

Звучит правильно?

Я хочу добавить новую перспективу к комментарию пользователя 10851. Как уже обсуждалось, решение, которое мы хотим, когда у нас везде постоянная электрическая плотность, не равно нулю. Кроме того, она увеличивается по мере удаления от начала координат.

Можно утверждать, что проблема заключается в том, что мы можем произвольно выбрать начало координат, так что мы найдем точно такое же решение для любой точки в качестве начала координат, что кажется противоречивым, потому что если кто-то спросит: «Каково электрическое поле в точке$P$?», то мы не можем дать ответ независимо от начала координат, т. е. электрическое поле зависит от начала координат (зависит от наблюдателя).

Перспектива, которую я предлагаю, такова: ЭТО РЕШЕНИЕ ТОЧНО ИДЕНТИЧНО РАСШИРЕНИЮ НАШЕЙ ВСЕЛЕННОЙ.

Наша Вселенная однородна, но в то же время расширяется. Как и в решении пользователя 10851, расширение тем сильнее, чем дальше мы удаляемся от начала нашей системы отсчета. Как и в решении, расширение зависит от выбранной нами системы отсчета.

Таким образом, проблема в вашем аргументе заключалась в том, что предположение о том, что однородность плотности заряда подразумевает, что электрическое поле везде равно нулю . Как мы видели, это не так.

ВАЖНОЕ ПРИМЕЧАНИЕ : Расширение Вселенной — это только пример, показывающий, что однородность не означает стабильности. Я, конечно, не утверждаю, что расширение Вселенной связано с зарядом или электрическим полем.

Просто краткое замечание о вашем аргументе симметрии. Точная компенсация всех вкладов электрического поля в точке$P$идет не так, потому что нет вклада, чтобы отменить вклад от элемента заряда в$P$сам. Как заявили другие плакаты, вы должны начать с закона Гаусса, как написано, и интегрировать заданную плотность заряда. Вы не получите равномерно нулевое электрическое поле.