Как мне интерпретировать неопределенность в скорости, превышающей скорость света?

Правильная формула

$$\Delta X \Delta P \geq h/4\pi$$ где$P$это импульс, который приблизительно$mv$только для малых скоростей$v$по сравнению с$c$. В противном случае вы должны использовать релятивистское выражение $$P = mv/ \sqrt{1-v^2/c^2}.$$ Если$\Delta X$мал, то$\Delta P$велика, но согласно приведенной выше формуле скорость остается порядка$c$в большинстве. Это связано с тем, что в приведенной выше формуле$P\to +\infty$соответствует$v\to c$.

С некоторыми деталями, решая приведенное выше тождество для$v$, у нас есть

$$v = \frac{P}{m \sqrt{1+ P^2/m^2c^2}}\:,$$ так что $$v\pm \Delta v = \frac{P\pm \Delta P}{m \sqrt{1+ (P\pm \Delta P)^2/m^2c^2}}.$$ Мы получили точное выражение$\Delta v$: $$\pm \Delta v = \frac{P\pm \Delta P}{m \sqrt{1+ (P\pm \Delta P)^2/m^2c^2}} - \frac{P}{m \sqrt{1+ P^2/m^2c^2}},$$ где $$\Delta P = \frac{\hbar}{2\Delta X}\:.$$ Это сложное выражение, но легко видеть, что конечная скорость не может превышать$c$в любых случаях. За фиксированное значение$P$и$\Delta X \to 0$, у нас есть $$v\pm \Delta v = \lim_{\Delta P \to + \infty}\frac{P\pm \Delta P}{m \sqrt{1+ (P \pm \Delta P)^2/m^2c^2}}= \pm c\:.\tag{1}$$

Наконец, нетрудно видеть, что (используя график функции гиперболического тангенса)

$$-1 \leq \frac{(P\pm \Delta P)/mc}{ \sqrt{1+ (P \pm \Delta P)^2/m^2c^2}}\leq 1\tag{2}\:.$$ Таким образом, мы заключаем, что $$-c \leq v\pm \Delta v \leq c,$$ где граничные значения достигаются только для$\Delta X \to 0$согласно (1). Относительность безопасна...

Вы обнаружили, что «нормальная» квантовая механика несовместима с теорией относительности. Как указал Вальтер Моретти, использование релятивистского выражения для импульса решает эту проблему. Однако есть еще проблемы, которые нельзя решить, просто используя релятивистские выражения для энергии и импульса. Например,

• Релятивистское уравнение$E=mc^2$подразумевает, что энергия может быть преобразована в новые частицы. Принцип неопределенности время-энергия$\left(\Delta E\cdot\Delta t\geq\hbar/2\right)$подразумевает, что частицы могут создаваться из воздуха, даже когда, с классической точки зрения, энергии недостаточно.
• Даже когда квантовая механика одной частицы модифицируется для использования релятивистского гамильтониана, как в уравнении Клейна-Гордона, всегда существует ненулевая вероятность того, что частица может телепортироваться через пространственный интервал (быстрее, чем скорость света). .

Эти проблемы решаются введением квантовой теории поля. По сути, вместо квантования отдельных частиц мы квантуем поля. Частицы — это возбуждения полей, а новые частицы могут появиться из воздуха. Квантовые теории поля призваны сохранить причинность, чтобы они хорошо работали с теорией относительности. Математика очень сложна, но это основная идея.

Есть две проблемы с этой настройкой. Первый здесь:

Предположим, что электрон движется очень медленно.

Если вы уже знаете, что электрон движется очень медленно, то у вас уже есть небольшая неопределенность в импульсе. Например, если вы знаете, что электрон движется со скоростью менее$1 \text{ m/s}$затем$\Delta v = 0.29 \text{ m/s}$так у нас уже есть$\Delta p = 2.6 \ 10^{-31}\text{ kg m/s}$. К$\Delta x \ \Delta p \ge \hbar/2$затем$\Delta x \ge 0.0002\text{ m}$поэтому неопределенность расстояния, упомянутая в настройке, невозможна.

Конечно, возможно, вы имели в виду что-то другое, говоря "двигаться очень медленно", но если вы работаете с цифрами, то$\Delta x = 10^{-13}\text{ m}$дает неопределенность скорости$\Delta v \ge 0.88 \ c$что было бы трудно оправдать как «очень медленно».

РЕДАКТИРОВАТЬ: Согласно комментарию ниже «очень медленно» относится к нерелятивистской скорости. Если мы настаиваем на$\gamma < 1.01$тогда это соответствует$v < 4.2 \ 10^7 \text{ m/s}$. Это$\Delta v < 1.2 \ 10^7 \text{ m/s}$или максимум$\Delta p = 1.1 \ 10^{-23} \text{ kg m/s}$. Таким образом, по принципу неопределенности Гейзенберга минимальная неопределенность положения равна$\Delta x > \hbar/(2\Delta p) = 4.8 \ 10^{-12}\text{ m}$

Вторая проблема

используя формулу

$$\Delta x. \Delta v\ge \frac{h}{4\pi m}$$

Правильное выражение$\Delta p \Delta x\ge \hbar/2$. Это важно, потому что$p=mv$является лишь нерелятивистским приближением. В относительности$p=mv/\sqrt{1-v^2/c^2}$который неограничен как$v$подходы$c$. По этой правильной формуле$\Delta x = 10^{-13}\text{ m}$приводит к$\Delta p = 5.3 \ 10^{-22} \text{ kg m/s}$. Как указано выше, для электрона это соответствует неопределенности скорости$\Delta v = 0.88 \ c$довольно большой, но не превышает$c$.

Итак, когда вы станете физиком элементарных частиц (или ядерных частиц), первое, что вам нужно запомнить, это то, что:

$$\hbar c \approx 200\,{\rm MeV\cdot fm}$$

где «fm» — ферми ($10^{-15}\,$м), что является масштабом нуклона.

Таким образом, если ваша неопределенность положения составляет 100 фм, вы можете сразу оценить неопределенность импульса в 1 МэВ/с.

Так как вы также запомнили$m_e=0.511\,$МэВ/с$^2$, это означает, что неопределенность скорости (которая на самом деле не является вещью в физике элементарных частиц, она никогда не возникает) соответствует коэффициенту Лоренца:

$$\gamma = \frac{E}{m_e} \approx \frac p {m_e} \approx 2,$$

и мы все достаточно решили задачу относительности, чтобы знать, что это соответствует скорости:

$$\beta = \frac v c = \frac{\sqrt 3} 2 \approx 0.866$$

что достаточно близко к ответу @Dale.

Предположим, что электрон движется очень медленно, и мы наблюдаем его с погрешностью расстояния, скажем, Δx=1×10−13 м.

В КМ частицы не имеют скоростей в обычном смысле этого слова. Скорость является наблюдаемой и, таким образом, представлена ​​оператором, примененным к квантовому состоянию. Говоря о "скорости" частицы, подразумевается, что частица имеет определенную скорость (т.е. находится в собственном состоянии оператора скорости) или, по крайней мере, ее состояние имеет небольшой разброс в пространстве скоростей. Как вы рассчитали, электрон с такой маленькой$\Delta x$был бы такой массивный$\Delta p$нельзя сказать, что он имеет что-то близкое к четко определенной скорости.

Если электрон движется близко к$c$, то он пройдет$10^{-13}m$в ~$3*10^{-22}$секунды. Согласно беглому поиску в Интернете, который я выполнил, самая высокая точность времени, когда-либо зарегистрированная, составляет$10^{-21}s$. https://www.smithsonianmag.com/smart-news/physicists-record-smallest-slice-time-yet-180961085/ Таким образом, невозможно измерить электрон за достаточно короткий период времени, чтобы он находился в пределах области$10^{-13}m$.

Это не означает, что неправомерно спрашивать о чисто гипотетическом, совершенно неизмеримом сценарии, в котором за период менее зептосекунды электрон$\Delta x = 10^{-13}m$. Я просто подумал, что следует указать, что это физически нереальная ситуация.

Что касается этого, по-видимому,$\Delta v > c$, как говорит Вальтер Моретти, ваш расчет основан на$p = mv$, и если$m$принимается за массу покоя$m_0$, то это справедливо только для малых$v$(относительно$c$). Однако я не думаю, что дальнейшие расчеты Вальтера Моретти верны. $\Delta p$в неопределенности не является диапазоном$p$, хотя эта интерпретация является достаточно хорошим приближением, чтобы быть хорошей интуицией, когда вводится принцип. Скорее,$\Delta p$стандартное отклонение$p$:$\sqrt {<\phi^* |p \phi>^2-<\phi^* |p^2 \phi>}$. С$p$является нелинейной функцией$v$, мы не можем вычислить точное значение$\Delta v$с точки зрения$\Delta p$не зная точно$\phi$.