Принцип неопределенности и 4-вектор энергии-импульса

За вашим вопросом стоит очень интересная история. В начале 1900-х (после введения специальной теории относительности) решение волнового уравнения в вакууме:

$a\exp(i(kx-wt)) + b\exp(-i(kx-wt))$

где$k$- волновой вектор и$w/k=v$v — фазовая скорость.

Де Бройль первым заметил, что фазовые множители уравнения в каждом событии остаются инвариантными относительно преобразований Лоренца, если$(k,w)$считается 4-вектором. Это означало неизменную амплитуду в каждом событии. Это потому, что скалярное произведение двух 4-векторов$(k,w)$и$(x,t)$остается инвариантным относительно преобразований Лоренца. Из этого замечательного открытия он сделал вывод, что$(k,w)$может представлять 4-импульс,$(p,E)$, массивной частицы. Так был впервые открыт корпускулярно-волновой дуализм. Специальная теория относительности породила квантовую механику в ее истинном виде!

Коммутационное соотношение, открытое впоследствии

$[p,x]=-i\hbar$

при решении дает (устанавливая произвольный фазовый коэффициент в p равным 1):$p=-i\hbar \frac{∂}{∂x}$. Отсюда выводится соотношение неопределенностей по импульсу.

Фундаментальная форма уравнения Шредингера

$i\hbar \frac{∂T}{∂t} = ET$

Где$E$является гамильтонианом и$T(t_0,t)$оператор эволюции унитарного времени берет свое начало в отношениях между$x$и$p$распространяется на$t$и$E$.

Представляя уравнение Шредингера в своей книге, Дирак указывает, что его вывод исходит главным образом из соображений относительности. На самом деле исходное уравнение Шредингера было фактически релятивистским, где$E$была релятивистская энергия. Шредингер не был уверен, брать ли положительный или отрицательный корень из$E^2$. Поэтому он отказался от нее в пользу ее широко известной нерелятивистской формы.

Так что на самом деле, кроме открытия квантованных уровней энергии в излучении абсолютно черного тела и фотоэлектрического эффекта, каждый прорыв в квантовой механике обязан своим существованием специальной теории относительности.

РЕДАКТИРОВАТЬ: ранее я сказал, что w/k = c для массивной частицы, это неверно. w/k равно фазовой скорости, которая пропорциональна 1/u. u — групповая скорость, равная классической скорости массивной частицы. Я исправил оскорбительные предложения.

Я видел подобное наблюдение в «Квантовой механике» Гриффита (стр. 114, 2-е издание), которое я широко заимствовал отсюда.

В релятивистской квантовой теории последнее уравнение следует из любого из первых трех, поскольку разделение пространства-времени на пространство-плюс-время зависит от выбора системы отсчета Лоренца.

Однако в нерелятивистской квантовой механике логика не работает, потому что пространство и время очень различны; пока$p$,$x$и$E$все наблюдаемые (операторы, спектр которых представляет собой набор допустимых значений и т. д. и т. д.),$t$не является. На самом деле уравнение Шрёдингера имеет первый порядок$t$но второго порядка в$x$, а Дирак получил свое релятивистское волновое уравнение, испробовав различные методы, модифицировав уравнение Шредингера так, чтобы оно было первым порядком в обоих случаях.

The $\Delta E \Delta t$отношение неопределенностей, на мой взгляд, также сложнее интерпретировать, чем$\Delta p \Delta x$те. Последнее имеет простую интерпретацию, поскольку любое квантовое состояние имеет некоторые$\Delta p$и немного$\Delta x$связанные с ним; к сожалению не имеет$\Delta t$- что значит, если мы скажем, что эта частица, попавшая в ящик, имеет$\Delta t = 1\mu s$? Одна из многочисленных интерпретаций трактует$\Delta t$поскольку время, необходимое для изменения некоторых других наблюдаемых величин на одно стандартное отклонение (стр. 116), или период колебаний состояния энергии$E$, или время жизни нестабильной частицы с энергией массы покоя$E$; конечно, каждый раз мы получаем немного разные оценки, и интересно, что$\Delta E \Delta t$всегда быть ограниченным в этих случаях; это конечно не очевидно для меня.

Соотношения неопределенностей Гейзенберга читаются

Ясно, что более глубокий физический принцип, которым манит ОП, - это симметрия Пуанкаре. $ISO(3,1)$. Теперь соотношения неопределенностей положения-импульса могут быть легко получены из канонических коммутационных соотношений (CCR)

см., например, страницу Википедии . Соотношение неопределенности время-энергия более тонко объяснить в рамках нерелятивистской квантовой механики, см., например, этот и этот посты Phys.SE. Но мы могли бы рассмотреть аналогичный более простой вопрос

для евклидовой группы $E(3)=ISO(3)$в трех пространственных измерениях, т.е. переводы и вращения без толчков. Последний более простой вопрос вытекает из того, что (i) соотношения неопределенностей (3) являются прямым следствием CCR (2) и (ii) CCR (2) инвариантны относительно евклидовых симметрий.