Вращение по орбите?

tl;dr: Увы, космонавт Спифф не будет иметь очень хороших впечатлений от просмотра. Между прочим, это оказывается очень интересной задачей! Единственные направления, в которых вы можете направить орбитальный телескоп и надеяться, что он продолжит указывать в том же направлении на звезду без системы управления ориентацией, — это перпендикуляры к плоскости орбиты. Например, для экваториальной орбиты Земли это будет небесный север, около полярной звезды или небесный юг.

Гравитационный потенциал Земли убывает как 1/r, сила как 1/r^2. Для любого орбитального аппарата ненулевого размера некоторые его части будут ближе к Земле и будут притягиваться Землей больше, чем другие части. Градиент гравитации был и проблемой, и решением.

Сначала давайте подумаем об ориентации относительно центра Земли, надира или местного вертикального направления. Для длинного тонкого объекта, такого как труба или телескоп, есть два способа сориентировать его так, чтобы он оставался в равновесном положении в этой вращающейся системе отсчета.

1. Вертикальные или направленные прямо вниз. Если вы сориентируете телескоп в этом направлении и подтолкнете его так, чтобы он медленно вращался с той же скоростью, что и вокруг Земли, он останется в том же направлении, что и надир. Чистого крутящего момента нет, за исключением проблем более высокого порядка, потому что Земля не имеет идеально сферически-симметричного потенциала.

   Это устойчивое равновесие. Здесь это означает, что если вы слегка подтолкнете его; скажем, на несколько градусов, он будет медленно колебаться взад и вперед с довольно постоянной амплитудой.

2. Тангенциальные или направленные точно вбок. Если вы сориентируете телескоп так, чтобы он был направлен ровно на 90 градусов от местной вертикали или направления надира, то также нет чистого крутящего момента. Он может быть направлен «вперед» в том направлении, в котором он вращается, или «вбок», что означает перпендикулярно плоскости орбиты, или в любом другом месте в плоскости, определяемой перпендикуляром к местной вертикали.

   Это неустойчивое равновесие. Если вы слегка подтолкнете его к вертикали, он начнет вращаться в этом направлении и ускорится, и в конечном итоге проявит некоторое колебательное движение. Это как долина между двумя холмами; если вы подтолкнете мяч вниз с вершины одного холма (точка неустойчивого равновесия), он будет продолжать колебаться между ними.

   Однако, если вы подтолкнете его в плоскости перпендикуляра к вертикали, противодействующего крутящего момента не будет, и он будет просто медленно и устойчиво вращаться.

Единственные направления, в которых вы можете направить орбитальный телескоп и надеяться, что он продолжит указывать в том же направлении на звезду без системы управления ориентацией, — это перпендикуляры к плоскости орбиты. Например, для экваториальной орбиты Земли это будет небесный север, около полярной звезды или небесный юг.

Для некоторой математики см. этот вопрос и особенно ответ @Litho . Для тонкого стержня массой$m$и длина$l$по круговой орбите с перпендикулярным моментом инерции$\frac{1}{12}ml^2$, вращаясь в плоскости вокруг короткой оси, крутящий момент (в первом порядке) определяется выражением

а мгновенное угловое ускорение просто

Это довольно удивительный результат! С$GM_E$около 3,986E+14 м^3/с^2 ​​и высота 400 км,$\ddot{\theta}$может достигать 0,4 градуса в минуту^2 при 45 градусах, и это не зависит от длины!

Находясь вне равновесия, стержень будет колебаться очень и очень долго, если только ваш объект не имеет встроенных демпферов, медленно поглощающих угловое ускорение при вращении сначала, или в конечном итоге достигает «захвата» при стабилизации градиента силы тяжести, где он будет колебаться и медленно затухать. Детали зависят от начальных условий.

Механизмы естественного демпфирования включают дифференциальное атмосферное и фотонное сопротивление, а также вызванные приливами и отливами искажения на Земле под действием гравитации телескопа. Они очень-очень малы в масштабе орбитального времени!

Это все из Gravity Gradient Stabilization of Earth Satellites by RE Fischell:

Большой интерес представляет максимальный угол, на который будет качаться спутник. Если этот угол меньше 90°, произойдет захват спутника в стабилизацию положения по градиенту силы тяжести. Угол можно рассчитать довольно просто, приравняв угловую кинетическую энергию, которую спутник должен развивать (для достижения угловой скорости 1,0 rpo), с работой, выполняемой моментом градиента силы тяжести, когда спутник движется на этот максимальный угол.

Расчет показывает, что если спутник находится в вертикальном положении в момент развертывания стрелы, то он отклонится на пиковый угол 35,36 0 . Если спутник изначально находится под углом более 54° от вертикали, он 90°; следовательно, это предельный угол захвата.

Скрипт Python: https://pastebin.com/yVq6WuCu

$\theta$и$\dot{\theta}$в инерциальной системе отсчета для тонкого стержня на круговой орбите длиной 400 км, начинающейся под разными начальными углами по отношению к надиру, без начального вращения в инерциальной системе отсчета (т.е. глядя на какую-то звезду):