Как далеко от Марса будет находиться марсианская точка Лагранжа L1?

Википедия говорит, что формулу радиуса сферы Хилла можно использовать как приближение к расстоянию от планеты до ее L1 (и L2):

куда$R$расстояние от планеты до Солнца,$M_2$масса планеты и$M_1$масса Солнца. Отсюда нетрудно понять, что точка L1 находится примерно в 1 миллионе километров от Марса. Это приближение, справедливое, когда$M_1 \gg M_2$что имеет место здесь с разумной точностью.

На той же странице Википедии приведены положения точек Лагранжа для всех планет чуть ниже, выраженные в виде расстояний от Солнца.

Лагранж действительно рассчитывал только с круговыми орбитами, но если вы поместите что-то на эллиптическую орбиту той же формы и ориентации, что и у Марса, но примерно 99,5% размера, баланс между гравитацией Марса и гравитацией Солнца все равно должен работать. вне, так что он останется между Солнцем и Марсом. В этом случае его расстояние от Марса будет отличаться примерно на 10% в каждом направлении от среднего.

Ответ @SteveLinton хорошо объясняет ситуацию. Я просто добавлю полные формулы и радиус сфер Хилла.

Чтобы получить расстояние до L1, найдите наименьшее значение$r$такой, что

Чтобы получить расстояние до L2, найдите наименьшее значение$r$такой, что

Несмотря на то, что Марс находится на 50% дальше от Солнца, чем Земля, его масса составляет всего 11% от массы Земли, поэтому расстояние до точки Лагранжа Земли составляет около 1% от расстояния до Солнца для Земли, а расстояние до Марса составляет всего около 0,5. % расстояния до Солнца для Марса.

В любом случае на диаграмме будут показаны две точки очень близко к каждой планете. Диаграммы в Интернете обычно сильно преувеличивают это , чтобы было легче увидеть.

Значения расстояния от планет до Солнца и до их связанных с Солнцем точек L1 и L2 выглядят следующим образом.

a_Earth:     149598023  km
Sun-Earth L1:  1491524  km
Sun-Earth L2:  1501504  km
Earth r_Hill:  1496531  km

a_Mars:      227939200  km
Sun-Mars L1:   1082311  km
Sun-Mars L2:   1085748  km
Mars r_Hill:   1084032  km

Скрипт Python на основе Brentq scipy.optimize :

def solve_L1 (r, R, M1, M2):
    return M2/r**2 + M1/R**2 - r*(M1 + M2)/R**3 - M1/(R-r)**2

def solve_L2 (r, R, M1, M2):
    return M1/R**2 + r*(M1 + M2)/R**3 - M1/(R+r)**2 - M2/r**2

def r_Hill(R, M1, M2):
    return R * (M2 / (3.*M1))**(1./3.)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import brentq

a_Earth  = 149598023.   # Earth's semi-major axis (km)
a_Mars   = 227939200.   # Mars'   semi-major axis (km)
r_low    =   1000000.   # 1.0  million km  (lower guess)
r_high   =   1600000.   # 1.6  million km  (upper guess)

M_Sun    = 1.9886E+30  # approximate mass (kg)
M_Earth  = 5.9724E+24  # approximate mass (kg)
M_Mars   = 6.4171E+23  # approximate mass (kg)

r_Hill_Earth = r_Hill(a_Earth, M_Sun, M_Earth)
r_Hill_Mars  = r_Hill(a_Mars,  M_Sun, M_Mars)

r = np.linspace(r_low, r_high)
if True:
    plt.figure()
    plt.plot(r, solve_L1(r, a_Earth, M_Sun, M_Earth), '-g')
    plt.plot(r, solve_L1(r, a_Mars,  M_Sun, M_Mars), '-r')

    plt.plot(r, solve_L2(r, a_Earth, M_Sun, M_Earth), '--g')
    plt.plot(r, solve_L2(r, a_Mars,  M_Sun, M_Mars), '--r')

    plt.plot([r_Hill_Earth], [0], 'ok')
    plt.plot([r_Hill_Mars ], [0], 'ok')

    plt.text(1040000, 1.1E+11, 'L1 Mars L2', fontsize=14)
    plt.text(1450000, 3.0E+11, 'L1 Earth L2', fontsize=14)

    plt.plot(r, np.zeros_like(r), '-k')
    plt.ylim(-4E+11, 4E+11)

    plt.show()

# for Mars:
r_L1_Mars = brentq(solve_L1, r_low, r_high, args=(a_Mars, M_Sun, M_Mars))
r_L2_Mars = brentq(solve_L2, r_low, r_high, args=(a_Mars, M_Sun, M_Mars))

# for Earth:
r_L1_Earth = brentq(solve_L1, r_low, r_high, args=(a_Earth, M_Sun, M_Earth))
r_L2_Earth = brentq(solve_L2, r_low, r_high, args=(a_Earth, M_Sun, M_Earth))

print "a_Earth:    ", int(a_Earth), " km"
print "Sun-Earth L1: ", int(r_L1_Earth), " km"
print "Sun-Earth L2: ", int(r_L2_Earth), " km"
print "Earth r_Hill: ", int(r_Hill_Earth), " km"
print ''
print "a_Mars:     ", int(a_Mars), " km"
print "Sun-Mars L1:  ", int(r_L1_Mars), " km"
print "Sun-Mars L2:  ", int(r_L2_Mars), " km"
print "Mars r_Hill:  ", int(r_Hill_Mars), " km"