Оператор углового момента в терминах лестничных операторов

Сначала заметка о нормализации. При расширении режима для собственного здравомыслия вы должны использовать релятивистскую нормализацию:

$$\alpha_p = \sqrt{2E_p} a_p$$

и то же самое для эрмитова сопряжения. Это делает разложение по модам явно инвариантным разложением по инвариантной мере на гиперболе.$d^3p\over 2E_p$и делает все манипуляции достаточно прозрачными, чтобы проделывать их в голове. Здесь это не важно, релятивистские лестничные операторы имеют необычную нормализацию состояния, но она необходима для связи лестничных операторов с ковариантными методами Фейнмана, о которых вы узнаете позже.

Основная проблема, с которой вы сталкиваетесь, заключается в том, как обращаться с производными операторов, которые создают сингулярные состояния. Состояния, созданные$a_p$являются дельта-функциями в импульсном пространстве, они не являются нормированными состояниями. Таким образом, действие с p-производной дает производную дельта-функции. Эта производная дельта-функции служит для поворота p, как и в простейшем случае квантовой механики.

Выражение, которое вы получили, — это оператор, который поворачивает p на бесконечно малую величину. Способ увидеть это - использовать L в качестве гамильтониана и переместить операторы на бесконечно малую величину с помощью уравнений движения Гейзенберга (например, сгенерировать унитарное преобразование с использованием L_z)

$${da_p\over ds} = i [L_z ,a_p] = p_x \partial_{p_y} a_p - p_y \partial_{p_x} a_p$$

Где вы используете коммутационные соотношения a и a-dagger. Это можно сделать интуитивно, если вы знаете коммутационное соотношение числового оператора$a^\dagger_p a_p$с$a_p$просто$a_p$снова. Полученное уравнение для влияния канонического преобразования на операторы a решается путем поворота p-вектора оператора a вокруг оси z

$$a_p(s) = a_{p(s)}$$

Где вращающийся вектор импульса вращается вокруг оси z

$$p_x(s) = p_x cos(s) - p_y sin(s)$$ $$p_y(s) = p_x \sin(s) + p_y cos(s)$$

Если дифференцировать оператор$a_{p(s)}$, вы найдете скорость изменения$p_x$умноженная на производную от$a$оператор по отношению к$p_x$, плюс скорость изменения$p_y$умноженная на производную от$a$оператор по отношению к$p_y$, который, когда вы записываете скорости изменения p, воспроизводит правую часть канонического преобразования.

То же самое относится и к$a^\dagger$, Итак$L_z$оператор делает то же самое, что и нерелятивистский пример, он вращает операторы вокруг оси z. Вращение$a^\dagger_0$ничего не делает, потому что нулевой вектор инвариантен относительно вращения, и вы получаете, что$L_z$оператор уничтожает состояние$a^\dagger_0 |0>$.

Этот вывод довольно фальшивый, вы, вероятно, хотели прямое приложение оператора к состоянию. Это сложно, потому что сингулярные производные дельта-функции умножают исчезающее p прямо в этой точке. Тем не менее, если вы сделаете это, вы получите скорость изменения компонентов x и y вектора 0 при вращении az, умноженную на производную от оператора a в направлениях x и y, что дает ноль, потому что первый фактор равен нулю .

Вы должны знать, что можно создавать состояния с ненулевым угловым моментом с произвольно медленно меняющимися формами волны, но не такие, которые должны исчезать в начале координат. Вот почему состояние нулевого импульса особенное — оно не обращается в нуль в начале координат.