Компенсация аномалий в стандартной модели (расчет симметричного следа образующих)

Проблема

Мы можем показать, что условие отсутствия аномалий в Стандартной модели состоит в том, что симметризованный след над образующими калибровочной группы обращается в нуль:

тр ( { т я , т Дж } т к ) "=" ! 0

Как я могу убедиться, что это верно для всех возможностей Стандартной модели?

Попытка решения

Один из источников, который я просмотрел, — это заметки Аделя Билала об аномалиях (доступны здесь: Лекции об аномалиях ). Здесь он прямо пишет

введите описание изображения здесь

Я вижу появление гиперзарядов, но у меня в принципе нет опыта, чтобы понять, почему в этих расчетах появляются предварительные факторы 2 и т. Д. Билал также пишет ранее:

введите описание изображения здесь

Я уверен, что изображение выше должно просто ответить на мой вопрос, но, тем не менее, я не понимаю предварительных факторов.

У меня есть некоторое базовое понимание теории представлений и вводной КТП, но я не очень хорошо знаком со Стандартной моделью. Поэтому, если бы ответ мог быть сформирован с учетом этого, это было бы полезно.

Ответы (1)

Взятие следа оператора по всем состояниям/частицам фактически означает суммирование всех собственных значений оператора (зарядов) по этим состояниям/частицам. Так что важно, сколько у вас штатов и с какими зарядами.

Цифры, на которые вы ссылаетесь, — это всего лишь соответствующие множественности состояний. Например, первый член в сумме в (7.19) относится к кваркам u и d, как видно из коэффициента (-1/6) гиперзаряда и таблицы 1, но как работает подсчет?

В этом случае след идет по представлениям С U ( 3 ) Итак С U ( 2 ) часть состояния может быть вынесена за пределы трассы. Так как есть 2 разных С U ( 2 ) вариантов (u и d) получаем коэффициент 2. Схематически, если г р е е н , б л ты е и р е г обозначить С U ( 3 ) заряды/цвета, можно думать об этом как

ты г р е е н + ты б л ты е + ты р е г + г г р е е н + г б л ты е + г р е г "=" 2 ( г р е е н + б л ты е + р е г )
поскольку С U ( 2 ) тип частиц здесь не имеет значения. И правая часть выше является аналогом 2 × тр   т α 3 т β 3 .

Два других слагаемых в (7.19) являются синглетами при С U ( 2 ) поэтому они получают кратность 1. Как насчет второго члена в (7.20)? Из гиперзаряда мы видим, что это снова относится к строке 3 таблицы, но на этот раз трассировка закончилась С U ( 2 ) . Это означает, что он слеп под С U ( 3 ) зарядов и так как их 3 (мы получаем это из первого столбца, зарядов столько, сколько размерности представления) мы получаем префактор 3. Схематически:

ты г р е е н + ты б л ты е + ты р е г + г г р е е н + г б л ты е + г р е г "=" 3 ( ты + г )
потому что на этот раз С U ( 3 ) заряд можно снять со следа.

Надеюсь, этого достаточно, чтобы объяснить, что происходит с (7.21) и (7.22).

Таблица 1 из лекций Аделя Билала об аномалиях, arXiv: 0802.0634 [hep-th]

Это не совсем тот ответ, который я искал, хотя он определенно помог мне найти ответ, спасибо! Думаю, я недооценил именно то, что искал. Мой ответ: генератор калибровочной группы СМ в представлении, действующий на фермионы, может быть записан (для одного поколения) как генератор прямой суммы повторений тензорного произведения, одно представление произведения для каждой строки в таблице выше, 5 прямых суммы для содержания частиц. Симметризованный след этого генератора равен нулю. Я думаю, что это эквивалентно тому, что вы сказали. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь, и если кто-то хочет, чтобы я это написал, я напишу.
Компенсация аномалий в стандартной модели (расчет симметричного следа образующих)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v