Насколько уникальны квантовые числа, которые мы обычно используем?

Мы используем собственные значения генераторов Картана (=диагональных генераторов) данной калибровочной группы в качестве квантовых чисел в физике. Фиксируются ли эти числа как-то, и если нет, то какие преобразования разрешены?

Самый простой пример С U ( 2 ) всего с одним генератором Cartan ЧАС 1 , который обычно записывается в терминах матрицы Паули о 3 "=" ( 1 0 0 − 1 ) : ЧАС 1 "=" 1 2 о 3 и поэтому

ЧАС 1 "=" ( 1 2 0 0 − 1 2 )

Бы ЧАС 1 "=" ( 1 7 0 0 − 1 7 ) или ЧАС 1 "=" ( − 1 2 0 0 1 2 ) одинаково "работают"?

Немного более сложный пример будет С U ( 3 ) , который имеет два генератора Картана ЧАС 1 "=" 1 2 λ 3 и ЧАС 2 "=" 1 2 λ 8 , где λ 3 и λ 3 обозначают матрицы Гелл-Манна.

Насколько уникальны диагональные элементы этих матриц? Каким образом нам позволено преобразовывать генераторы Картана (а с ними, конечно, и соответствующие квантовые числа)?

(Одним допустимым преобразованием, безусловно, является то, которое мы называем ЧАС 1 и какой ЧАС 2 , т.е. перестановки. ЧАС 1 ↔ ЧАС 2 )

Поскольку веса представителя находятся в двойственном Картане, они определяют собственные значения образующих Картана. Следовательно, собственные значения являются инвариантами представления, т. е. не изменяются при любом преобразовании. Я что-то пропустил, или вы об этом спрашиваете?
@ACuriousMind Я не думаю, что это правильно. Например, в этой статье arxiv.org/abs/1502.06929 авторы прямо говорят: «Мы выбираем пять линейно независимых образующих Картана следующим образом:…» Кажется, есть некоторая свобода, и я пытаюсь понять, что именно мы из себя представляем. разрешено изменять, т. е. каким образом могут быть изменены собственные значения генератора Картана, которые мы используем для маркировки весов. Одно очевидно разрешенное преобразование, например, простые перестановки: ЧАС 1 ↔ ЧАС 2
@ACuriousMind Они скопировали этот «выбор» из этой статьи arxiv.org/abs/hep-ph/9309312 , где они объясняют, что используют линейные комбинации базовых элементов подалгебры Картана, чтобы определить свой «выбор» подалгебры Картана. .
А, я вижу, вы говорите о свободе в выборе картановского базиса, а не о преобразовании выбранного базиса. Я думаю, что ваш ответ заключается в использовании Казимиров, вычисленных из собственных значений, а не самих собственных значений, но мне нужно это проверить.

Ответы (1)

Здесь мы для простоты будем рассматривать лишь произвольный конечномерный комплекс 1 полупростая алгебра Ли г .

I) Можно показать, что CSA s являются в точности максимальными торическими подалгебрами Ли в г . В частности, КСА абелевы.

Также форма убийства κ : г × г → С (который является невырожденным) имеет невырожденное ограничение на CSA, поэтому CSA канонически является внутренним пространством продукта и канонически изоморфен своему двойственному векторному пространству .

Более того, все ССА г имеют одинаковую размерность (называемую рангом р ), и сопряжены друг с другом, т.е. связаны внутренними автоморфизмами алгебры Ли г . Так что в этом смысле все варианты CSA эквивалентны.

II) С этого момента рассмотрим произвольный, но фиксированный заданный выбор CSA. час ⊂ г .

Очевидно, можно выбрать произвольный базис ( ЧАС 1 , … , ЧАС р ) для час .

корень _ α е час * принадлежит двойственному векторному пространству час . Его определяющим свойством является

(1) ∃ Икс е г ∖ { 0 }   ∀ ЧАС е час :     [ ЧАС , Икс ]   "="   α ( ЧАС ) Икс .

С точки зрения физики элемент алгебры Ли Икс е г играет роль обобщенного повышающего/понижающего оператора создания/уничтожения и корня α е час * играет роль обобщенного квантового числа.

Отметим, в частности, что определение (1) в принципе не зависит от выбора базиса ( ЧАС 1 , … , ЧАС р ) .

NB: Имейте в виду, что авторы часто используют другие ассоциативные/инвариантные показатели, кроме канонической формы Киллинга. κ . Это может индуцировать неканонический изоморфизм час * ≅ час и неканонические нормализации корней.

--

1 Многие результаты и свойства для комплексных алгебр Ли остаются в силе для реальных алгебр Ли, хотя иногда и в измененной форме.

спасибо за Ваш ответ. Я думаю, что ключевой момент, как уже упоминал @ACuriousMind, заключается в том, что мы можем выбрать основу для CSA. Я все еще не уверен, что это означает в конкретных терминах, скажем, для двух примеров, которые я упомянул выше. С U ( 2 ) и С U ( 3 ) . Я никогда не видел разные матрицы как элементы алгебры Картана для соответствующих алгебр (= никогда не разные диагональные записи). Можете ли вы привести еще один пример возможного выбора базы для CSA, конкретно для С U ( 2 ) и С U ( 3 ) ?
Насколько уникальны квантовые числа, которые мы обычно используем?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v