Неприводимые представления группы Лоренца

Для алгебры Пуанкаре существуют (насколько мне известно) два разных подхода к поиску ее представлений. В первом подходе начинают с конечномерного представления (комплексифицированной) алгебры Лоренца и с его помощью строят представление на пространстве некоторых полей в пространстве Минковского. Полученное таким образом представление обычно не является неприводимым, и неприводимое представление получается из него через некоторое дифференциальное уравнение. Например, пространство массивных полей Дирака, удовлетворяющих уравнению Дирака, образует неприводимое представление группы Пуанкаре (добавлено позже: последнее утверждение не совсем верно).

Другой подход состоит в том, чтобы найти (неприводимое, унитарное) представление в гильбертовом пространстве единичной компоненты алгебры Пуанкаре с помощью так называемого «метода малой группы». Это то, что делает Вайнберг на страницах 62-64 первого тома своей книги по КТП. Идея этого подхода следующая:

В импульсном пространстве фиксируем гиперболоид$S_m=\{p|p^2=m^2,p_0 \geq 0\}$соответствующий заданной (неотрицательной) массе$m$. (примечание: здесь я использую подпись$(1,-1,-1,-1)$)

Выберите 4-импульс$k$на$S_m$. Позволять$G_k$— максимальная подгруппа (компонента единицы) группы Лоренца такая, что$G_k$исправления$k$. т.е. для каждого преобразования Лоренца$\Lambda\in G_k$у нас есть$\Lambda k=k$.$G_k$называется малой группой, соответствующей 4-импульсу$k$.

Позволять$V_k$— фиксированное конечномерное неприводимое представление$G_k$(или двойная обложка$G_k$)$^{**}$. Зафиксируйте основу этого векторного пространства$|k,1\rangle,|k,2\rangle,\ldots,|k,n\rangle$куда$n$является (комплексным) измерением$V_k${Обратите внимание, что$k$является фиксированным вектором, а не переменной.}

Теперь для каждого другого$p\in S_m$ввести векторное пространство$V_p$который натянут на основу$|p,1\rangle,|p,2\rangle,\ldots,|p,n\rangle\;.$

Представление в гильбертовом пространстве (компонента идентичности) группы Пуанкаре теперь строится путем склеивания этих векторных пространств$V_p$вместе. Это делается следующим образом :-

я) определить$H$быть прямой суммой$V_p$с.

ii) для каждого$p\in S_m$исправить преобразование Лоренца$L_p$что уносит тебя из$k$к$p$, т.е.$L_p(k)=p$. Также исправить номер$N(p)$(это используется для исправления подходящей нормализации для базовых состояний). В частности, принять$L_k=I$.

iii) Определить оператора$U(L_p)$соответствующий$L_p$на$V_k$в качестве :-

$U(L_p)|k,\sigma\rangle =N(p)^{-1}|p,\sigma\rangle,\:\sigma=1,\ldots,n\tag1$

Это определяет только действие$L_p$в подпространстве$V_k$из$H$. Но на самом деле это определение однозначно распространяется на действие всей (тождественной компоненты) группы Пуанкаре на всю$H$следующим образом --

Предполагать$\Lambda$быть ЛЮБЫМ преобразованием Лоренца в компоненте идентичности группы Лоренца, и$|p,\sigma\rangle$быть любым базисным состоянием. Затем (все следующие шаги взяты из книги Вайнберга):

Теперь обратите внимание, что$L_{\Lambda p}^{-1}.\Lambda.L_p$является элементом$G_k${проверьте} и$V_k$является неприводимым представлением$G_k$. Так$U(L_{\Lambda p}^{-1}.\Lambda.L_p)|k,\sigma\rangle$снова в$V_k$; и из (1) мы знаем, как$U(L_{\Lambda p})$действует на$V_k$; таким образом, мы знаем, что такое$U(\Lambda)|p,\sigma\rangle\;.$

Подводя итог, идея метода маленьких групп состоит в построении неприводимых представлений в гильбертовом пространстве единичной компоненты группы Пуанкаре, исходя из конечномерных неприводимых представлений группы Литтла, соответствующих фиксированным четырем импульсам.

$^{**}$Если$V_k$не является надлежащим представлением$G_k$но представляет собой двойное покрытие$\mathcal{G}_k$из$G_k$тогда нам также нужно будет указать раздел$G_k\to \mathcal{G}_k$карты покрытия, чтобы мы знали, как$G_k$действует на$V_k$.

Что касается обсуждения импульсных собственных состояний и следующего вывода в книге Вайнберга,$\sigma$это просто метка, обозначающая любую степень свободы, не являющуюся импульсом. Несмотря на то, что его можно отождествить со вращением, его природа не имеет отношения к данному обсуждению.