Маркировка представлений с использованием изоспина и гиперзаряда

Я предполагаю, что под изоспином вы подразумеваете слабый изоспин, который является точной калибровочной симметрией стандартной модели. Есть еще одна вещь, называемая изоспином аромата, который представляет собой приблизительную глобальную симметрию сильного взаимодействия. Кроме того, это длинный ответ, потому что я включил предысторию и пример, который может вам понадобиться, а может и не понадобиться. Если я недостаточно хорошо объясняю для вас, могу ли я предложить вам взять копию превосходной книги Зи по теории поля и прочитать разделы, посвященные великому объединению. Его примеры очень похожи на мои, хотя здесь я работаю по памяти. Все ошибки на мне. Я также не прилагаю особых усилий к знакам и множителям двойки для этого.

Электрослабая калибровочная группа стандартной модели — SU(2)xU(1). Генераторы SU(2) действуют на индексы изоспина, а U(1) является гиперзарядом. Поэтому, когда кто-то говорит, что какой-то набор полей$\psi_i$трансформироваться в$R$представления они означают, что преобразования

$$\delta\psi_i \propto \epsilon_A \left(T^{A(R)}\right)^j_i \psi_j + \epsilon_Y Y \psi_i$$ являются симметрией, где $\epsilon_A$и $\epsilon_Y$– параметры преобразования и $T^{A(R)}$и $Y$являются образующими в данном представлении. По сути, это верно для любой калибровочной теории. В частности, для SU (2) вы можете использовать теорию углового момента, поскольку алгебра $SO(3)$и $SU(2)$одинаковы. Термины синглет, дублет и т. д. просто относятся к количеству полей в представлении. Например дублет имеет два поля

$$\Psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \end{array} \right)$$

а образующие SU(2) пропорциональны обычным матрицам Паули

$$T^{A(1/2)} = \frac{1}{2} \sigma^A,\ A=1,2,3$$

Это НЕ генераторы углового момента. Они не имеют ничего общего с пространством-временем, и индекс изоспина не является индексом пространства-времени. Так уж получилось, что, поскольку группа SU(2), алгебра идентична алгебре углового момента. Физическая интерпретация совершенно иная.

Сейчас, основная часть заключается в том, что ваш вопрос лучше всего решать на примере. Если вы встроите калибровочную группу стандартной модели в какую-то большую группу (скажем, для великого объединения), вы можете использовать механизм Хиггса, чтобы придать массу новым калибровочным бозонам и подтолкнуть их выше интересующей вас энергетической шкалы. В общем случае вы встраиваете SU(2)xU(1) (или что-то еще) в свою большую группу, затем разбиваете большую группу, придавая дополнительным калибровочным бозонам большую массу, затем вы записываете член взаимодействия для ваших полей материи и, сосредоточившись только на легких калибровочных бозонах, определите неподавленные взаимодействия, используя явные формы генераторов, и прочитайте квантовые числа в вашей непрерывной калибровочной группе. Обычно неприводимое представление большей группы распадается на несколько частей, когда в него входят только легкие бозоны.

Я приведу краткий пример того, как это происходит. Я оставлю вас, чтобы вы прочитали о GUT и, пожалуйста, полагайтесь на стандартные ссылки, чтобы правильно получить два множителя и знаки.

Предположим, например, что у вас есть SU (3), и вы разбиваете его на SU (2) x U (1) (обычными стратегиями GUT являются SU (5) и SO (10), но тем не менее). SU(3) имеет 8 генераторов, тогда как SU(2)xU(1) имеет только 4. Таким образом, есть 4 дополнительных калибровочных бозона, от которых мы должны избавиться с помощью разумно выбранного бозона Хиггса.

Образующими SU(3) являются матрицы Гелл-Манна $g_i$для$i=1,\cdots,8$. Мы можем определить подгруппу SU(2), порожденную$g_1,g_2,g_3$и U(1), который коммутирует с SU(2), порожденным$g_8$. Они станут генераторами изоспина и гиперзаряда нашей непрерывной SU(2)xU(1). Остальные генераторы должны соответствовать калибровочным бозонам, которые приобретают массу благодаря механизму Хиггса.

Возьмем сопряженный бозон Хиггса (восемь компонентов в однозначном соответствии с образующими) и перейдем к датчику, где среднее значение вакуума (vev) находится в$g_8$компонент:

$$<\phi> = v g_8$$

Массовая матрица калибровочных бозонов принимает вид

$$M_{ij} = e^2 \mathrm{Tr}\left( [g_i, <\phi>] [g_j, <\phi>] \right)$$

где$e$- (необычное обозначение здесь) константа связи SU (3) и$[ , ]$матричный коммутатор. Обратите внимание, что здесь может отсутствовать знак или числовой коэффициент. В любом случае те генераторы, которые коммутируют с vev, соответствуют калибровочным бозонам, которые остаются безмассовыми, а те, которые не коммутируют, набирают массу порядка$e v$. Если вы вычислите коммутаторы, вы увидите, что это выбирает только те бозоны, которые мы хотим оставить без массы (1, 2, 3, 8), и те, которые мы хотим получить массу (4, 5, 6, 7). Таким образом, этот Хиггс выполнит нарушение SU(3) -> SU(2)xU(1). Мы идентифицируем генераторы SU(2) как$T^1 = g_1$и т. д., а генератор U(1) как$Y = g_8$.

Теперь мы можем поговорить о встраивании представлений материи в теорию и о том, как они разлагаются. Возьмем поле Дирака в основной гармонике SU(3). Это триплет (три компонента), который преобразуется как вектор, на который действуют матрицы Гелл-Манна (это все, что означает «фундаментальный» в данном контексте). Это простое обобщение предыдущего примера с SU(2):

$$\Psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \end{array} \right)$$

Член взаимодействия в лагранжиане будет

$$L \supset e A^i_\mu \bar{\Psi} g_i \gamma^\mu \Psi$$

где$A^i_\mu$различные калибровочные бозоны. Теперь начните действовать на этом$\Psi$с различными генераторами, чтобы увидеть, как связаны разные калибровочные бозоны. Поскольку бозоны 4, 5, 6 и 7 массивны, они исчезают из теории. Эти опосредованные взаимодействия, которые изменяют$\psi_1$и$\psi_2$в$\psi_3$и наоборот. Эти взаимодействия подавляются массами тяжелых бозонов и аналогичны очень редким процессам, таким как распад протона, который должен происходить в ТВО. Остальные безмассовые бозоны не смешивают$\psi_1$и$\psi_2$с$\psi_3$, поэтому представление распадается на две части: дублет ($\psi_1$и$\psi_2$), который чувствует взаимодействие SU (2), а также гиперзаряд, и синглетный$\psi_3$который только чувствует взаимодействие гиперзаряда. Мы говорим, что разрыв происходит по схеме 3 -> 2 + 1. Из лагранжиана взаимодействия можно считать квантовые числа изоспина и гиперзаряда различных полей.

Другим примером является поле материи в том же представлении, что и бозон Хиггса, сопряженное (октектное). На этот раз в лагранжиане взаимодействия участвует коммутатор образующих$g_i$с полем материи. Опять же, вы можете игнорировать генераторы 4, 5, 6 и 7 и считать квантовые числа изоспина/гиперзаряда из лагранжиана. Это более сложный пример, но хитрость заключается в том, чтобы записать поле материи в виде бесследовой эрмитовой матрицы.$\Psi^i_j$где$i,j=1,2,3$. Он распадается на несколько частей:$\Psi^a_b$где$a,b=1,2$который далее распадается на след (синглет) и бесследовую матрицу 2x2 (триплет),$\Psi^3_b$и$\Psi^a_3$(дуплеты).$\Psi^3_3$на самом деле это синглетный след, который мы уже посчитали. Итак, 8 -> 1 + 3 + 2 + 2 в этом случае. (Надеюсь, это правильно, я не использую ссылку и говорю довольно быстро! Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.)

Надеюсь, это каким-то образом поможет ответить на ваш вопрос.