Что такое ширина распада и почему она указывается в энергетических единицах?

Как и @DavidZ, я нашел это очень хорошим вопросом, но, в отличие от него, я не профессиональный физик, поэтому постараюсь ответить на вопрос на упрощенном уровне, который может не подойти @Martin, поскольку я не знаю уровень, на котором он работает, но учитывая, что он читает книгу Томсона, она должна быть весьма продвинутой.

Я начну с закона распада Резерфорда и Содди, который гласит, что скорость распада$\dot N(t)$нестабильной частицы (или ядра) в данный момент времени$t$пропорциональна количеству тех частиц, которые присутствуют$N$в то время$t$.

$$\dfrac {dN}{dt} = \dot N(t) = \propto N(t) \Rightarrow \dot N = - \lambda N$$

куда$\lambda$постоянная затухания.

Теперь часто бывает так, что существует более одной моды распада, и для каждой из форм распада есть соответствующая постоянная распада, поэтому теперь нужно написать, что скорость распада зависит от суммы всех мод распада.

$$\dot N_{\text{all}} (t) = -\lambda_A N(t) -\lambda_B N(t)-\lambda_C N(t) - . . . . .$$

куда$\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C$и т. д. - константы затухания для различных мод затухания.

Из этого вы получаете$\dot N_{\text{all}} = - \lambda_{\text{all}} N$куда$\lambda_{\text{all}} = \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C+ . . . .$

Таким образом, эта распадающаяся частица имеет константу распада, которая представляет собой сумму констант распада для всех возможных режимов распада.
В момент распада распадающаяся частица выбирает один конкретный вид распада, и вероятность такого распада выражается как доля ветвления или коэффициент ветвления.

Среднее время жизни нестабильной частицы$\tau$связано с постоянной затухания$\tau = \dfrac 1 \lambda$.

Как обсуждается в разделе Время жизни частиц из принципа неопределенности , «принцип неопределенности в форме$\Delta E \Delta t > \hbar/2$предполагает, что для частиц с чрезвычайно коротким временем жизни будет значительная неопределенность в измеренной энергии».

При измерении энергии покоя неустойчивой частицы без погрешностей прибора получается график следующего вида.

Ширина такого распределения массовых энергий называется шириной распада$\Gamma$и измеряется в единицах энергии.

Ширина распада связана с неопределенностью энергии следующим образом.

$$\Gamma = 2 \Delta E = \dfrac \hbar \tau = \hbar \lambda$$

куда$\lambda$постоянная затухания.

Однако Z-бозон имеет много мод распада, поэтому это уравнение следует записать как$\Gamma_{\text{all}} = \hbar \lambda_{\text{all}}$

Помня об этом$\lambda_{\text{all}} = \lambda_A + \lambda_B + \lambda_C+ . . . .$приводит к выражению

$$\Gamma_{Z,\text{all}}=\Gamma_{ee} +\Gamma_{\mu\mu} +\Gamma_{\tau\tau} +\Gamma_{hadrons} +\Gamma_{v_e v_e} +\Gamma_{v_\mu v_\mu} +\Gamma_{\tau \tau},$$

где перечислены различные моды распада Z-бозона.

Затем проводится несколько экспериментов для исследования режимов распада и их вероятности.

Затем все эти экспериментальные данные сравниваются с теоретическими данными, основанными на Стандартной модели, и было обнаружено, что совпадения очень хорошие с высокой степенью точности.
Точность выполнения экспериментальной работы можно оценить по одному из слайдов профессора Томсона на старом ускорителе в ЦЕРНе.

Ввод ширины распада в поисковую систему этого веб-сайта также является наиболее показательным.

Я попытаюсь расширить отличный ответ @Farcher и объяснить роль ширины распада в квантовой теории поля (как обычно, я установлю$\hbar=c=1$).

Волновая функция стабильной частицы колеблется с частотой, которая в системе покоя определяется ее массой.

$$\psi(t) \propto e^{-i p_\mu x^\mu } = e^{-i( E t - \vec{p}\cdot\vec{x})} = e^{-iMt}$$

Но нестабильная частица распадается, и поэтому вероятность найти частицу будет уменьшаться экспоненциально в соответствии с константой распада$\lambda$, или ширина распада$\Gamma$:

$$\psi(t) \propto e^{-iMt} e^{-\Gamma t/2} = e^{-i(M-i\Gamma/2)t}\ ,$$ $$P(t) = |\psi(t)|^2 \propto e^{-\Gamma t}$$ В этом смысле можно сказать, что нестабильная частица имеет «комплексную массу».$M' = M-i\Gamma/2$, где мнимая часть — ширина распада. Понятно, что ширина распада должна быть выражена в единицах массы=энергии (помните, что$c=1$).

В квантовой теории поля существенным объектом является пропагатор, представляющий собой амплитудную вероятность распространения частицы из пространственно-временной точки.$x$к$y$. Для свободной стабильной (и для простоты скалярной) частицы пропагатор равен

$$\Delta(x-y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-M^2}$$ а у неустойчивой частицы будет $$\Delta(x-y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-(M-i\Gamma/2)^2}\approx \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik_\mu x^\mu} \frac{1}{k^2-M^2+i\Gamma M}$$ Амплитуда вероятности распада определяется преобразованием Фурье этого пропагатора (он же пропагатор в импульсном пространстве), а вероятность - его абсолютным значением в квадрате: $$P \propto \left|\frac{1}{E^2-M^2+i\Gamma M}\right|^2 = \frac{1}{(E^2-M^2)^2+\Gamma^2 M^2}$$ которое представляет собой знаменитое распределение Брейта-Вигнера, где$\Gamma$- ширина распределения на половине высоты.

Я подумал, что ОП и другие могут счесть полезной некоторую общую информацию о связи между скоростью распада и шириной, поскольку, как указывает Дэвид З., этот базовый материал иногда трудно найти в учебниках.

Практический ответ

Когда определенная частица имеет эмпирически известное время жизни$\tau$, ему принято присваивать "ширину"

$$\Gamma=\frac{\hbar}{\tau},$$ который, кроме размерной постоянной $\hbar$, есть не что иное, как скорость распада частицы.

Это может показаться упрощенным, но я думаю, что это определение — почти все, что вам нужно для понимания большинства вводных текстов по физике высоких энергий (ФВЭ), которые часто фокусируются на экспериментальных аспектах, а не на достаточно сложном теоретическом анализе процессов ФВЭ.

Гораздо практичнее иметь дело со скоростями распада, потому что при наличии нескольких каналов распада, как в реакции, которую вы написали, общая скорость распада, конечно, представляет собой сумму скоростей в каждом отдельном канале. Приведенное вами уравнение означает, что общая скорость распада$Z$бозон - это сумма скоростей распада в канал$e ^+ e ^-$,$\mu ^+ \mu ^-$, так далее..

Ширина распада в спектроскопии

Рассмотрим атом в его первом возбужденном состоянии.$\vert e \rangle$, который распадается до основного состояния$\vert g\rangle$путем испускания фотона с приблизительной энергией$\hbar \omega \approx E_e - E_g$. Теория возмущений первого порядка дает:

$$\hbar \omega = E_e - E_g \qquad \text{(strict equality)}$$ а также $$\frac{1}{\tau}=\dfrac{2\pi}{\hbar}\overline{\vert V_{fi} \vert ^2} \rho _f (E_g),$$ куда $\rho _f$есть плотность конечных состояний, то есть плотность фотонных состояний с энергией $\hbar \omega = E_e-E_g$.

Выход за пределы теории возмущений первого порядка, как это первоначально было показано Вайскопфом и Вигнером , показывает, что распределение энергии испускаемого фотона не является дираковским.$\delta$, но (в очень хорошем приближении, я думаю, правильно до второго порядка) распределение Брейта-Вигнера:

$$f(\hbar \omega)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac {\frac{\Gamma}{2}}{(\hbar \omega - E_e -E_g)^2 + (\frac{\Gamma}{2})^2},$$ куда $\Gamma= \frac{\hbar}{\tau}$. Это дает интерпретацию термина «ширина», поскольку $\Gamma$полная ширина на половине максимума $f$. Кроме того, результат можно интерпретировать, говоря, что начальное состояние, $\text{“atom in excited state + no photons"}$, имеет неопределенность по энергии, равную $\Gamma$, что отражается в неопределенности энергии фотона в конечном состоянии.

Ширина линий и экспоненциальное затухание

Рассмотрим квантовую систему с гамильтонианом$H=H_0 + V$.$V$это, как обычно, возмущение.

В общем случае можно показать (см., например , Сакураи , «Естественная ширина линии и сдвиг линии»), что амплитуда вероятности для системы, подготовленной в нестабильном состоянии$\vert i \rangle$в$t=0$оставаться в одном и том же состоянии в течение достаточно больших времен:

$$\langle i \vert \Psi (t)\rangle = \exp [-i\,\frac {E_i}{\hbar} t -i\frac{\Delta _i}{\hbar}t], \qquad (1)$$ куда $$\Delta _i = V_{ii} + \text P. \sum _{m \neq i}\dfrac {\vert V_{mi}\vert ^2}{E_i -E_m}- i\pi \sum _{m\neq i} \vert V_{mi}\vert ^2 \delta (E_i-E_m)+O(V^3).$$

Приведенные выше суммы по состояниям являются формальными, они имеют смысл только в пределе непрерывного спектра при$E=E_i$, как и в случае распада атома (обратите внимание, что в этом случае «системой» является не просто атом, а композит атом+поле).

Мнимая часть$\Delta _i$, который как раз$\frac{\Gamma}{2}=\frac{\hbar}{2\tau}$заданный теорией возмущений первого порядка, дает экспоненциальный спад для неустойчивого состояния. Предположим, что государство$\vert i \rangle$удовлетворяет:

$$\langle i \vert e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\vert i \rangle =e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t-\frac{\Gamma}{2\hbar}t}.$$ Если мы расширим $\vert i \rangle$в базе точных энергетических собственных состояний $H=H_0 +V$, предполагая, как и выше, непрерывный спектр: $$\vert i \rangle =\intop \text d E \, g(E)\vert E \rangle,$$ мы получаем: $$\intop \vert g (E)\vert ^2 e^{-i\frac {E}{\hbar}t}\text d E =e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t -\frac{\Gamma}{2\hbar }t}.$$ Это согласуется с $$\vert g(E) \vert ^2 = \frac{1}{\pi}\dfrac{ \frac{\Gamma}{2}}{(E-E_0)^2+(\frac{\Gamma}{2})^2}.$$ Строго говоря, формула Брейта-Вигнера для $\vert g(E)\vert ^2$будет следовать точно, только если условие: $$\langle i \vert e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\vert i\rangle=e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t-\frac{\Gamma}{2\hbar}\vert t \vert }$$ остался доволен за всех $t\in \mathbb R$. Я никогда не занимался обратной теорией возмущений, но предполагаю, что результат (1) справедлив и для $t<0$, с $-\Gamma t$заменен на $-\Gamma \vert t\vert = +\Gamma t$. Я лучше проверю этот момент, когда у меня будет время.

Связанные вещи

Вот несколько вещей, которые связаны с$\Gamma \tau = \hbar$, но которые я не хочу обсуждать здесь, потому что я не очень готов к ним, а также потому, что я боюсь уйти от темы.

1. Ширина резонанса . В некоторых ситуациях поперечное сечение данного процесса как функция энергии имеет приблизительную форму Брейта-Вигнера. Кроме того, ширина$\Gamma$связано с периодом полураспада$\tau$резонанса через$\Gamma \tau = \hbar$. Для некоторых элементарных дискуссий я предлагаю Байма и Готфрида .
2. Соотношение неопределенности время-энергия . На Phys.SE есть несколько сообщений, в которых обсуждается так называемое «соотношение неопределенности время-энергия», например this и this . Я также рекомендую эту короткую статью Йоса Уффинка.