Теория вероятностей, используемая в КМ, существенно отличается от обычно используемой по следующей причине: пространство событий является недистрибутивным (точнее, небулевым ), и этот факт глубоко влияет на теорию условной вероятности . Вероятность того, что А произойдет, если произошло Б, вычисляется по-разному в классической теории вероятностей и в квантовой теории, когда А и В являются квантово несовместимыми событиями . В обоих случаях вероятность является мерой на решетке , но в классическом случае решетка является булевой (а$\sigma$-алгебра), в квантовом случае это не так.

Чтобы было понятнее, классическая вероятность — это карта$\mu: \Sigma(X) \to [0,1]$такой, что$\Sigma(X)$есть класс подмножеств множества$X$включая$\emptyset$, замкнутая относительно дополнения и счетного объединения и такая, что$\mu(X)=1$и:

$$\mu(\cup_{n\in \mathbb N}E_n) = \sum_n \mu(E_n)\quad \mbox{if $E_k \in \Sigma(X)$ with $E_p\cap E_q= \emptyset$ for $p\neq q$.}$$ Элементы$\Sigma(X)$события, вероятность которых$\mu$. В этом представлении, например, если$E,F \in \Sigma(X)$,$E\cap F$логически интерпретируется как событие»$E$И$F$". Сходным образом$E\cup F$соответствует "$E$ИЛИ$F$" и$X\setminus F$имеет значение «НЕ$F$" и т. д. Вероятность$P$когда$Q$дается проверяет $$\mu(P|Q) = \frac{\mu(P \cap Q)}{\mu(Q)}\:.\tag{1}$$

Если вместо этого вы рассматриваете квантовую систему, то там есть «события», т. е. элементарные предложения «да/нет», экспериментально проверяемые, которые нельзя соединить логическими операторами И и ИЛИ.

Примером является$P=$"$x$составляющая спина этого электрона равна$1/2$" и$Q=$"$y$компонент$1/2$". Не существует экспериментального устройства, способного присвоить истинностное значение$P$и$Q$ одновременно , так что элементарные предложения как "$P$и$Q$" не имеет смысла. Пары предложений типа$P$и$Q$выше физически несовместимы .

В квантовых теориях (наиболее элементарная версия фон Неймана) события физической системы представляются ортогональными проекторами сепарабельного гильбертова пространства$H$. Набор${\cal P}(H)$этих операторов заменяет классический$\Sigma(X)$.

В общем, смысл$P\in {\cal P}(H)$что-то вроде «значения наблюдаемого$Z$принадлежит подмножеству$I \subset \mathbb R$"для некоторых наблюдаемых$Z$и какой-то набор$I$. Существует процедура интеграции такого класса проекторов, помеченных на вещественные подмножества, для построения самосопряженного оператора$\hat{Z}$связанный с наблюдаемым$Z$, и это не что иное, как физический смысл теоремы о спектральном разложении .

Если$P, Q \in {\cal P}(H)$, есть две возможности:$P$и$Q$ коммутируют или они не делают .

Фундаментальная аксиома фон Неймана утверждает, что коммутативность математически соответствует физической совместимости .

Когда$P$и$Q$коммутирует,$PQ$и$P+Q-PQ$по-прежнему являются ортогональными проекторами, то есть элементами${\cal P}(H)$.

В этой ситуации,$PQ$соответствует "$P$И$Q$", тогда как$P+Q-PQ$соответствует "$P$ИЛИ$Q$" и так далее, в частности "НЕ$P$" всегда интерпретируется как ортогональный проектор на$P(H)^\perp$(ортогональное подпространство$P(H)$), и весь классический формализм верен таким образом. На самом деле максимальное множество попарно коммутирующих проекторов обладает формальными свойствами, идентичными свойствам классической логики: является булевым$\sigma$-алгебра.

На этой картинке квантовое состояние — это карта, задающая вероятность$\mu(P)$что$P$экспериментально проверено на каждом$P\in {\cal P}(H)$. Он должен удовлетворять:$\mu(I)=1$и

$$\mu\left(\sum_{n\in \mathbb N}P_n\right) = \sum_n \mu(P_n)\quad \mbox{if $P_k \in {\cal P}(H)$ with $P_p P_q= P_qP_p =0$ for $p\neq q$.}$$

Знаменитая теорема Глисона устанавливает, что если$\text{dim}(H)\neq 2$, меры$\mu$все в форме$\mu(P)= \text{tr}(\rho_\mu P)$для некоторого смешанного состояния$\rho_\mu$(положительный трассовый оператор с единичным следом), однозначно определяемый формулой$\mu$. В выпуклом множестве состояний экстремальными элементами являются стандартные чистые состояния . Они определяются с точностью до фазы единичными векторами$\psi \in H$, так что с помощью некоторых тривиальных вычислений (завершение$\psi_\mu$к ортонормированному базису$H$и используя эту основу для вычисления трассы),

$$\mu(P) = \langle \psi_\mu | P \psi_\mu \rangle = ||P \psi_\mu||^2\:.$$

(Сегодня существует обобщенный вариант этой картины, где множество${\cal P}(H)$заменяется классом ограниченных положительных операторов в$H$(так называемые «эффекты»), а теорема Глисона заменена теоремой Буша с очень похожим утверждением.)

Таким образом, квантовая вероятность задается картой для данного в целом смешанного состояния.$\rho$,

$${\cal P}(H) \ni P \mapsto \mu(P) =\text{tr}(\rho_\mu P)$$

Ясно, что, как только имеют дело с физически несовместимыми предложениями , (1) не может выполняться именно потому, что нет ничего подобного$P \cap Q$в наборе физически разумных квантовых утверждений. Все это связано с тем, что пространство событий${\cal P}(H)$теперь является некоммутативным набором проекторов, порождающим небулеву решетку.

Формула, заменяющая (1), теперь выглядит так:

$$\mu(P|Q) = \frac{\text{tr}(\rho_\mu QPQ)}{\text{tr}(\rho_\mu Q)}\tag{2}\:.$$

Там,$QPQ$является ортогональным проектором и может быть интерпретирован как "$P$И$Q$"(т.е.$P\cap Q$) когда $P$и$Q$совместимы. В этом случае (1) снова выполняется. (2) порождает все «странные вещи», проявляющиеся в квантовых экспериментах (как в эксперименте с двумя щелями). В частности, из (2) следует тот факт, что в КМ вероятности вычисляются путем объединения комплексных амплитуд вероятностей .

(2) просто опирается на постулат редукции фон Неймана-Людерса , утверждающий, что если результат измерения$P\in {\cal P}(H)$ДА, когда состояние было$\mu$(т.е.,$\rho_\mu$), состояние сразу после измерения$\mu'$связано с$\rho_{\mu'}$с

$$\rho_{\mu'} := \frac{P\rho_\mu P}{\text{tr}(\rho_\mu P)}\:.$$

ПРИЛОЖЕНИЕ . На самом деле можно расширить понятие логических операторов И и ИЛИ на все пары элементов в${\cal P}(H)$и это была программа фон Неймана и Биркгофа ( квантовая логика ). На самом деле только решетчатая структура${\cal P}(H)$позволяет это, или лучше это . С этим расширенным понятием И и ИЛИ, "$P$И$Q$" является ортогональным проектором на$P(H)\cap Q(H)$тогда как "$P$ИЛИ$Q$" — ортогональный проектор на замыкание пространства$P(H)+Q(H)$. Когда$P$и$Q$коммутируют эти понятия И и ИЛИ, сводя их к стандартным. Однако с расширенными определениями${\cal P}(H)$становится решеткой в ​​собственном математическом смысле, где отношение частичного порядка задается стандартным включением замкнутых подпространств ($P \geq Q$означает$P(H) \supset Q(H)$). Дело в том, что физическая интерпретация этого расширения И и ИЛИ не ясна. Однако полученная решетка не является булевой. Другими словами, например, эти расширенные И и ИЛИ не являются дистрибутивными, как стандартные И и ИЛИ (это раскрывает их квантовую природу). Однако, также сохраняя определение «НЕ$P$" как ортогональный проектор на$P(H)^\perp$, найденная структура${\cal P}(H)$хорошо известно: А$\sigma$-полная, ограниченная, ортомодулярная, сепарабельная, атомарная, неприводимая и проверяющая свойство накрывания, решетка. Примерно в 1995 году Солер окончательно доказал гипотезу фон Неймана о том, что существует только три возможности практической реализации таких решеток: решетка ортогональных проекторов в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве, решетка ортогональных проекторов в сепарабельном вещественном Гильбертово пространство, решетка ортогональных проекторов в сепарабельном кватернионном гильбертовом пространстве.

Теорема Глисона верна в трех случаях. Расширение на случай кватерниона было получено Варадараданом в его знаменитой книге 1 по геометрии квантовой теории, однако пробел в его доказательстве был устранен в этой опубликованной статье, в которой я соавтор 2

Предполагая симметрию Пуанкаре, по крайней мере для элементарных систем (элементарных частиц), случай вещественных и кватернионных гильбертовых пространств может быть исключен (вот пара опубликованных работ по этому вопросу, с которыми я соавтор: 3 и 4 ) .

ПРИЛОЖЕНИЕ2 . После обсуждения с Гарри Джонстоном я думаю, что стоит упомянуть интерпретирующее замечание о вероятностном содержании состояния.$\mu$на картинке, которую я проиллюстрировал выше. В УК$\mu(P)$есть вероятность того, что, если я проведу некий эксперимент (чтобы проверить$P$),$P$оказалось бы правдой. Кажется, что здесь есть отличие от классического понятия вероятности, примененного к классическим системам. Там вероятность в основном относится к чему-то уже существующему (и к нашему неполному знанию этого). В формулировке КМ I, представленной выше, вероятность вместо этого относится к тому, что произойдет, если...

ПРИЛОЖЕНИЕ3 . Для$n=1$теорема Глисона справедлива и тривиальна. Для$n=2$известен контрпример.$\mu_\nu(P)= \frac{1}{2}(1+ (v \cdot n_P)^3)$где$v$является единичным вектором в$\mathbb R^3$и$n_P$единичный вектор в$\mathbb R^3$связанный с ортогональным проектором$P: \mathbb C^2 \to \mathbb C^2$в сфере Блоха:$P= \frac{1}{2} \left(I+\sum_{j=1}^3 n_j \sigma_j \right)$.

ПРИЛОЖЕНИЕ4 . С точки зрения квантовой вероятности постулат редукции фон Неймана-Людерса имеет очень естественную интерпретацию. Предположим, что$\mu$является вероятностной мерой над квантовой решеткой${\cal P}(H)$представляющие квантовое состояние, и предположим, что измерение$P \in {\cal P}(H)$, в этом состоянии имеет результат$1$. Таким образом, состояние после измерения представлено$\mu_P(\cdot) = \mu(P \cdot P)$, как раз в силу вышеупомянутого постулата.

Легко доказать, что$\mu_P : {\cal P}(H) \to [0,1]$единственная вероятностная мера такая, что

$$\mu_P(Q) = \frac{\mu(Q)}{\mu(P)} \quad \mbox{if $Q \leq P$}\:.$$

Поразмыслив еще немного, можно обнаружить недвусмысленное философское различие, имеющее практические последствия. Эксперимент с двумя щелями дает хороший пример этого.

В классической Вселенной любой конкретный фотон, попавший на экран, прошел либо через щель А, либо через щель В. Даже если мы не удосужились измерить это, одно или другое все равно произошло, и мы можем осмысленно определить$P(A)$и$P(B)$.

В квантовой вселенной, если мы не удосужились измерить, через какую щель прошел фотон, то неверно, что он прошел через ту или иную щель. Можно сказать, что он прошел и то, и другое, хотя и это не совсем так; все, что мы действительно можем сказать, это то, что это «прошло сквозь щели».

(Спрашивать, через какую щель прошел фотон в эксперименте с двумя щелями, все равно что спрашивать, какова религия фотона. Это просто не имеет смысла.)

Что означает, что$P(A)$и$P(B)$просто не существует. Вот где возникает одно из практических последствий: если вы не понимаете QM должным образом [здесь я немного лгу; Я вернусь к этому] тогда вы все еще можете вычислить вероятность того, что частица прошла через щель А, и вероятность того, что она прошла через щель В. И затем, когда вы пытаетесь применить обычную математику к этим вероятностям, она не работает, а потом вы начинаете говорить, что квантовая вероятность не подчиняется тем же правилам, что и классическая вероятность.

(На самом деле то, что вы на самом деле делаете, — это вычисляете вероятности этих событий, если бы вы решили их измерить. Поскольку вы этого не сделали, они бессмысленны, и математика здесь неприменима.)

Итак: философское отличие состоит в том, что при изучении квантовых систем, в отличие от классических систем, вероятность того, что что-то произошло бы, если бы вы это измерили, в общем случае не имеет смысла, если бы вы это на самом деле не сделали; практический смысл заключается в том, что вы должны отслеживать, что вы сделали или не измеряли, чтобы избежать неверных вычислений.

(В классических системах большинство синтаксически правильных вопросов имеют смысл; мне потребовалось некоторое время, чтобы привести приведенный выше контрпример. В квантовой механике большинство вопросов не имеют смысла, и вы должны знать, что делаете, чтобы найти те, которые являются.)

Обратите внимание, что отслеживание того, измерили ли вы что-то или нет, не является абстрактным упражнением, ограниченным случаями, когда вы пытаетесь применить теорию вероятности. Это имеет прямое и конкретное влияние на эксперимент: в случае эксперимента с двумя щелями, если вы измерите, через какую щель прошел каждый фотон, интерференционная картина исчезнет .

(Еще сложнее: если вы измерите, через какую щель прошел каждый фотон, а затем должным образом сотрете результаты этого измерения, прежде чем смотреть на пленку, интерференционная картина вернется снова.)

PS: может быть, несправедливо сказать, что расчет вероятности «была бы» означает, что вы не понимаете QM должным образом. Это может просто означать, что вы сознательно выбираете другую интерпретацию и предпочитаете модифицировать или обобщать свою концепцию вероятности по мере необходимости. В ответе В. Моретти подробно рассказывается о том, как вы можете это сделать. Однако, хотя подобные вещи и интересны, мне кажется, что они не имеют какой-либо очевидной пользы. (Неясно, дает ли это какое-либо представление об исчезновении и появлении интерференционной картины, например, как описано выше.)

Дополнение: стало понятнее после обсуждения в комментариях. Кажется, считается, что альтернативная формулировка может иметь преимущества при работе с более сложными сценариями (в качестве одного из примеров упоминалась КТП на искривленном пространстве-времени). Это вполне правдоподобно, и я, конечно, не имею в виду, что работа не имеет ценности; однако мне до сих пор не ясно, является ли он педагогически полезным в качестве альтернативы общепринятому подходу при изучении основ КМ.

PPS: в зависимости от интерпретации могут быть другие философские различия, связанные с природой или происхождением случайности. Я полагаю, что байесовская статистика достаточно широка, чтобы эти различия не имели большого значения, и даже с точки зрения частотности я не думаю, что они имеют какое-либо практическое значение.

Вероятности в QM задаются квадратами амплитуд соответствующих членов волновой функции или математическим ожиданием соответствующего проектора или POVM. Однако дело не в том, что эти числа всегда действуют так, как это согласуется с исчислением вероятности.

Например, если есть два взаимоисключающих способа возникновения события, то исчисление вероятности говорит, что вероятность этого события равна сумме вероятностей того, что оно произойдет каждым из этих способов. Но в экспериментах по интерференции одиночных фотонов это, кажется, не работает. Есть два маршрута через интерферометр, фотон не может быть обнаружен на обоих маршрутах одновременно, так что они взаимоисключающие, верно? Итак, чтобы получить вероятность того, что фотон выйдет из определенного порта на другом конце, вы должны просто добавить вероятность того, что он пройдет по каждому маршруту. Но этот расчет дает неверный ответ: вы можете получить любую вероятность, изменив длину пути, см.:

http://arxiv.org/abs/math/9911150 .

Итак, у вас есть проблема объяснить, при каких обстоятельствах применяется исчисление вероятности.

Вы спрашиваете о частотных подходах к квантовой вероятности. Есть несколько таких подходов, например, статья Хью Эверетта 1957 года и его докторская степень. Тезис:

http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf .

Я думаю, что эти аргументы не работают, потому что частотный подход сам по себе не работает. Почему относительная частота для бесконечного числа образцов имеет какое-то отношение к тому, что наблюдается в лаборатории? И если есть какое-то объяснение, то почему мы возимся с этими относительными частотами вместо того, чтобы использовать фактическое объяснение? Лучшим объяснением того, почему он применим, является теоретико-решенный подход:

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906015

http://arxiv.org/abs/0906.2718 .

Наилучшая попытка объяснить обстоятельства, при которых она выполняется, дается требованиями, которые квантовая механика предъявляет к условиям, при которых информация может быть скопирована:

http://arxiv.org/abs/1212.3245 .

Применение вероятности в областях, отличных от квантовой механики, — это умный способ моделирования ситуаций, которые настолько сложны, что точный анализ невозможен или, по крайней мере, очень утомителен.

С другой стороны, в КМ природа по своей сути вероятностна. Когда вы делаете наблюдение, квантовое состояние, в котором находится ваша система, имеет вероятность для каждого возможного результата. Это больше не трюк, чтобы сделать расчеты. Это особенность природы. В этом разница.

Возможно, вам будет интересно эссе Люсьена Харди «Квантовая теория из пяти разумных аксиом» . В аннотации сказано:

В этой статье показано, что квантовая теория может быть выведена из пяти очень разумных аксиом. Первые четыре из этих аксиом, очевидно, согласуются как с квантовой теорией, так и с классической теорией вероятностей. Аксиома 5 (которая требует существования непрерывных обратимых преобразований между чистыми состояниями) исключает классическую теорию вероятностей.

Есть важное отличие, но оно не принципиальное.

В обоих случаях вероятность возникает из-за необходимости сравнивать результаты двух несовместимых моделей, работающих в разных масштабах, микроскопическом и макроскопическом.

Дарвин и Фаулер давно показали, как вывести классическую статистическую механику, основное место в классической физике, где возникают вероятности, из квантовой механики. Так что в некотором смысле квантовая механика фундаментальна, и нет проблем вывести из нее классический случай. Фаулер, Статистическая механика

Но я все же представлю их в другом порядке. В классической физике, если анализировать, скажем, идеальный газ, система$10^{23}$частицы детерминированы. И количество переменных 6 раз$10^{23}$. Это микроскопический взгляд на систему в целом. Но можно также изучить определенные свойства этого газа с точки зрения очень небольшого числа термодинамических переменных, температуры, давления и объема, которые описывают макросостояние. Но с точки зрения этого описания система является вероятностной: известны только вероятности, с которыми ее молекулы будут обладать данной энергией и т. д. Кроме того, связь между двумя уровнями описания системы, микроуровнем и макроуровнем -уровень, через измерение . Измерение скорости молекулы моделируется долгосрочным усреднением ее скорости по ее траектории. Тогда получается, что для всех нормальномолекул, эта процедура, при условии, что система находится в равновесии, дает один и тот же ответ почти независимо от того, какую молекулу или какую траекторию вы изучаете, и Эйнштейн определил это как вероятностное ожидание энергии молекулы. См. Ян фон Платон, Создание современной вероятности. Поэтому только результатам измерений присваиваются вероятности.

Теперь, согласно Фейнману и другим, что-то подобное верно и в квантовой механике. Вероятности возникают из-за необходимости амплифицировать микроявления до макроуровня, где мы можем видеть измерительный прибор, видеть стрелку на циферблате, указывающую на число на циферблате. (Уравнение Шредингера само по себе является детерминированным уравнением, и вероятности входят только в аксиомы измерений.) Единственные «события» в смысле математической теории вероятностей, т. е. вещи, которым приписываются вероятности, являются результатами измерений. И здесь измерение также связано с упрощенным описанием состояния микросистемы в терминах макросостояний, а не микросостояний. Стрелка на циферблате действительно подчиняется законам квантовой механики: имеет волновую функцию, находится в запутанном состоянии и т. д.,классические термины, которые являются макротермами. Переход от микроописания частицы в терминах квантовых понятий к этому упрощенному описанию приводит к вероятностям.

Какие вероятности не

Это миф, что вероятности в классической статистической механике возникают из-за незнания или субъективны. Они возникают только потому, что внимание ограничивается нормальной клеткой микросостояний (нормальной клеткой в ​​смысле Дарвина и Фаулера) и игнорируются исключительные состояния. Определение «нормального» является объективным: состояния могут быть сгруппированы в ячейки состояний: все те состояния, которые обладают одинаковыми усредненными по времени свойствами друг друга. Нормальная клетка – это самая большая клетка. В термодинамическом пределе нормальная ячейка не только самая большая, но и единственная с положительным объемом, все остальные ячейки являются просто границами меньшей размерности.

Это миф, что вероятности в квантовой механике каким-то образом «некоммутативны». Проблема не в том, что существуют некоммутирующие наблюдаемые. Если вы измеряете импульс, экспериментальная установка вполне определенна, а пространство событий зависит от физической установки и имеет только результаты измерения импульса. Если измерительный прибор подходит для измерения импульса, то результаты для положения не учитываются.события. Установка исключает измерение положения, поэтому измерения положения в этой установке невозможны. И наоборот. Не существует единого всеобъемлющего вероятностного пространства с обоими типами событий, как наивно предполагают математики, изучающие так называемую «квантовую вероятность» или «некоммутативную вероятность». Бор учил нас, что если вы настраиваете прибор для одного типа измерения (например, импульса), вы физически исключаете возможность дополнительного измерения другого типа (например, положения). Это означает, что вы либо работаете в одном вероятностном пространстве с событиями и нормальными мерами их вероятности, либо вы находитесь в совершенно другом вероятностном пространстве со своими событиями и своей мерой. Сейчас,

ОТВЕТ: Взаимоисключающие события не могут существовать до измерения , в вероятностной формулировке квантовой механики (Копенгагенская интерпретация-CIQM), потому что, в максимальном случае, CIQM требуется для нарушения локального реализма и, как минимум, может нарушить принцип локальности. И после измерения проблема, о которой вы упомянули, не существует, потому что она устраняется гораздо более серьезной проблемой, то есть одновременностью двух пространственно разделенных событий или квантово-механически разделенных событий (два не обязательно эквивалентны). Пожалуйста, начните с карты в https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_locality .

Строительные блоки

• ($0000$)-Во-первых, понятие вероятности есть конструкция копенгагенской интерпретации квантовой механики, в которой частице соответствует волновая функция (со всеми характеристиками волны); благодаря этому строится прямой математический канал между поведением частиц и волн. В этой картине нельзя разделить эти природы. Этот очень важный первый шаг выражается в « принципе дополнительности ».

• ($000$) Теперь эта картина не полная, и чтобы привязать эту картину к осязаемому опыту, квадрату амплитуды волновой функции « соответствуют » вероятности нахождения частицы в определенной точке пространства и времени.

ВНИМАНИЕ: Ваш вопрос относится к этой переписке, а не напрямую к понятию вероятности.

Теперь я хотел бы указать на два других строительных блока Копенгагенского QM, которые дополняют вашу вероятностную корреспонденцию:

Квантово-механическая вероятность

• ($00$) В КМ, как и в классической механике, пространство и время непрерывны, а импульс отвечает за (генератор) перемещения (перемещения). Но перевод чего в чем? Перевод комплексных векторов из гильбертова пространства (кетовских состояний) , являющихся фундаментальными абстрактными математическими представлениями, необходимыми для этой новой косвенной иллюстрации физических явлений, в обычное трехмерное пространство . Эти Кет-состояния строят векторное пространство, имеющее двойственное пространство, т.е. Бра-пространство. Квантово-механические вероятности определяются на основе скалярного произведения элементов из бра- и кет-пространств. Например$|\alpha\rangle$это состояние кет, состояние бюстгальтера$\langle \alpha|$является его двойственным, а внутренний продукт$\langle \beta|$и$|\alpha\rangle$обозначается$\langle \beta|\alpha\rangle$. Вероятность найти$|\beta\rangle$в$|\alpha\rangle$что, исходя из фундаментальных принципов теории вероятностей, эквивалентно нахождению$|\alpha\rangle$в$|\beta\rangle$затем дается

$$\left| \langle \beta | \alpha \rangle \right|^2 = \left| \langle \alpha | \beta \rangle \right|^2$$

Это эквивалентно одному из двух важных постулатов скалярных произведений в гильбертовом пространстве:

$$\langle \beta | \alpha \rangle = \langle \alpha | \beta \rangle^*$$

Второй постулат называется постулатом положительно определенной метрики, согласно которому

$$\langle \alpha| \alpha \rangle \geq 0$$

Другая важная характеристика связана с сохранением вероятности при переводе кет-состояний; именно так можно извлечь унитарность операторов перевода. Я считаю, что это, пожалуй, самый важный постулат, касающийся квантово-механической вероятности. Это должно быть эквивалентно предположению о структуре пространства-времени.

• ($0$) Теперь, если два квантово-механических состояния, описывающие начальное состояние события, ортогональны , они останутся ортогональными эволюционирующимиво время; потому что оператор временной эволюции унитарный. Следовательно, два непересекающихся квантово-механических события никоим образом не будут смешиваться, развиваясь во времени. Однако это простое представление гильбертова пространства не было бы таким простым при проецировании в пространство-время. Например, везде, где волновая функция частицы равна нулю (обычно таких точек несколько), квадрат амплитуды также будет равен нулю, т. е. вероятность нахождения частицы в этой точке пространства-времени будет равна абсолютному нулю, а , например, в соседних точках может находиться частица. Это как если бы некоторые точки пространства-времени были сингулярными с точки зрения вероятности. Причина, по которой я называю это единичным, заключается в том, что нулевая вероятность означает абсолютное отсутствие.

И последнее: всякая теория, нарушающая неравенство Белла, не была бы локально инвариантной и давала бы предсказания, которых не сделал бы никакой локальный реализм.

Классическая теория вероятностей является вырожденным пределом квантовой теории вероятностей. Таким образом, между ними существует асимметричная связь, вы можете полностью вывести классическую теорию вероятностей из квантовой теории вероятностей, но не наоборот. На самом деле, сами вероятности, возникающие в реальном мире, даже если они находятся строго в классической области, всегда задаются квадратом амплитуды квантово-механического вектора состояния, описывающего физику. Как указано здесь , нет известных примеров классических вероятностей, не имеющих такого квантово-механического происхождения.

Как указано в статье, независимо от того, рассматриваете ли вы броски монеты, ставки на цифры числа пи и т. д., всегда можно показать, что вероятности имеют чисто квантово-механическое происхождение, возникающее из правила Борна, а не из классических рассуждений, основанных на недостаточные знания. Таким образом, классическая теория вероятностей не является фундаментальной, ее следует вывести как подходящее приближение из квантовой механики.

Однако математика классической теории вероятностей работает принципиально иначе, чем математика квантовой теории вероятностей. Так как же тогда не быть принципиальной разницы? Ответ заключается в том, что классическая теория является вырожденным пределом квантово-механической теории, в классическом пределе коммутаторы наблюдаемого нуля позволяют вам использовать математические рассуждения, недопустимые в рамках квантовой теории. Но вы можете без проблем сделать классическую теорию вероятностей в рамках квантовой теории вероятностей, а затем взять классический предел.