О сложной природе волновой функции?

Question

О сложной природе волновой функции?

Физика
Волновая
Комплексные-числа
Квантовая-механика

yayu

1.

Почему волновая функция сложна? Я собрал некоторые объяснения непрофессионала, но они неполные и неудовлетворительные. Однако в книге Мерцбахера на первых нескольких страницах он объясняет, что мне нужна некоторая помощь: что длина волны де Бройля и длина упругой волны не проявляют сходных свойств при преобразовании Галилея. Он в основном говорит, что оба они эквивалентны при калибровочном преобразовании, а также отдельно по преобразованиям Лоренца. Это сопровождалось наблюдением, что $ψ$ $ψ$ $ψ$ не поддается наблюдению, поэтому нет «причины, по которой это реально». Может ли кто-нибудь дать мне интуитивную прелюдию, что такое калибровочное преобразование и почему оно дает тот же результат, что и преобразование Лоренца в нерелятивистской среде? И, в конце концов, как в этой «грандиозной схеме» становится очевидной сложная природа волновой функции… таким образом, чтобы такой тупой манекен как я мог понять.

2.

Волновая функция может рассматриваться как скалярное поле (имеет скалярное значение в каждой точке ( $r, t$ $r, t$ $р, T$ ) дано $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : R^{3} \times R \to C$ $ψ : р^{3} \times р \to С$ а также как луч в гильбертовом пространстве (вектор). Как эти две точки зрения одинаковы (возможно, это что-то элементарное, что я упускаю, или меня смущают определения и терминология, если это так, я отчаянно нуждаюсь в помощи;)

3.

Один из способов, о котором я подумал над вышеупомянутым вопросом, состоит в том, что волновая функция может быть эквивалентно записана в $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : R^{3} \times R \to R^{2}$ $ψ : р^{3} \times р \to р^{2}$ Т.е. поскольку волновая функция является сложной, уравнение Шредингера в принципе можно было бы записать эквивалентно в виде связанных дифференциальных уравнений в двух вещественных функциях, которые удовлетворяют условиям Коши-Римана. т.е. если

ψ (Икс, T) знак равно U (Икс, T) + я v (Икс, T)

и

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

u_{x} = v_{t}

U_{Икс} знак равно v_{T}

;

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

u_{t} = - v_{x}

U_{T} знак равно - v_{Икс}

и мы получаем

ℏ \partial_{T} U знак равно - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \partial_{Икс}^{2} v + В v

ℏ \partial_{T} v знак равно \frac{ℏ^{2}}{2 м} \partial_{Икс}^{2} U - В U

(..in 1-D) Если это правильно, каковы интерпретации

u, v

u, v

U, v

.. и почему это не полезно. (Я предполагаю, что физические проблемы всегда имеют аналитическую

ψ (r, t)

ψ (r, t)

ψ (р, T)

).

Питер Морган

Привет Яю. Я всегда находил интересную работу Леона Коэна "Правила вероятности в квантовой механике", Основы физики 18 , 983 (1988), которая несколько сближает этот вопрос с помощью характерных функций. Коэн происходит из фона обработки сигналов, где преобразования Фурье очень часто являются естественным делом. Преобразования Фурье и комплексные числа, конечно, в значительной степени соединены в бедре.

Бен Кроуэлл

Вот несколько простых наблюдений, которые могут быть полезны. (1) Вы можете описать стоячие волны с действительными волновыми функциями, например, это почти всегда можно сойти с рук в физике ядерной энергии низкой энергии. (2) Wf фотона - это просто электрическое и магнитное поля. Это наблюдаемые и реальные. (3) Если бы электрон wf был реальным и наблюдаемым, длина волны должна была бы быть инвариантной при усилении Галилея, что нарушило бы соотношение де Бройля. (4) Даже для вещественных волн операторы являются сложными, например, импульс в классически запрещенной области.

Тимей

@yayu Комплексная аналитическая функция - это функция от комплексных чисел до комплексных чисел. И уравнения Коши-Римана о таких функциях. Выбирать x и t так, как если бы ось t была мнимой осью, а ось x была действительной осью, а y и z не существовало, очень запутанно.

Линкольн

«Tl; DR: мнимые числа описывают фазу квантового объекта». Итак, физический смысл мнимых чисел указывает на виртуальные частицы с определенной вероятностью?

Valerio

Связанные: физика.stackexchange.com/q/32422

Ответы (13)

О сложной природе волновой функции?

Привет Яю. Я всегда находил интересную работу Леона Коэна "Правила вероятности в квантовой механике", Основы физики 18 , 983 (1988), которая несколько сближает этот вопрос с помощью характерных функций. Коэн происходит из фона обработки сигналов, где преобразования Фурье очень часто являются естественным делом. Преобразования Фурье и комплексные числа, конечно, в значительной степени соединены в бедре.
Вот несколько простых наблюдений, которые могут быть полезны. (1) Вы можете описать стоячие волны с действительными волновыми функциями, например, это почти всегда можно сойти с рук в физике ядерной энергии низкой энергии. (2) Wf фотона - это просто электрическое и магнитное поля. Это наблюдаемые и реальные. (3) Если бы электрон wf был реальным и наблюдаемым, длина волны должна была бы быть инвариантной при усилении Галилея, что нарушило бы соотношение де Бройля. (4) Даже для вещественных волн операторы являются сложными, например, импульс в классически запрещенной области.
@yayu Комплексная аналитическая функция - это функция от комплексных чисел до комплексных чисел. И уравнения Коши-Римана о таких функциях. Выбирать x и t так, как если бы ось t была мнимой осью, а ось x была действительной осью, а y и z не существовало, очень запутанно.
«Tl; DR: мнимые числа описывают фазу квантового объекта». Итак, физический смысл мнимых чисел указывает на виртуальные частицы с определенной вероятностью?

Джерри Ширмер · Answer 1

Более физически, чем многие другие ответы здесь (многие из которых составляют «формализм квантовой механики имеет комплексные числа, поэтому квантовая механика должна иметь комплексные числа), вы можете объяснить сложную природу волновой функции, написав ее в качестве $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (x) = | Ψ (x) | e^{i ϕ (x)}$ $Ψ (Икс) знак равно | Ψ (Икс) | е^{я φ (Икс)}$ , где $i ϕ$ $i ϕ$ $я φ$ сложный фазовый фактор. Оказывается, что этот фазовый фактор не может быть измерен напрямую, но имеет много измеримых последствий, таких как эксперимент с двумя щелями и эффект Ааронова-Бома .

Почему комплексные числа необходимы для объяснения этих вещей? Потому что вам нужно представление, которое не вызывает нефизических временных и пространственных зависимостей в величине $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (x) |^{2}$ $| Ψ (Икс) |^{2}$ (как умножение на реальные фазы), и что учитывает эффекты помех, подобные тем, которые приведены выше. Наиболее естественный способ сделать это - умножить амплитуду волны на сложную фазу.

Существует ли какая-либо волна или вибрация, которую нельзя описать с помощью формализма комплексных чисел?
Но каковы различия между звуковыми волнами и волновой функцией? Почему второе должно быть сложным, а первое тоже может мешать? И мы можем записать нашу волновую функцию через синусы и косинусы, поэтому значение $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ $ψ^{T} ψ$ также относится к инварианту в этом случае.
@AndrewMcAddams: разница в том, что амплитуда звуковой волны является наблюдаемой, в то время как в квантовой механике наблюдается только амплитуда квадрата модуля. Я вижу фазу водной волны, но фазу электронной волны я вижу только через интерференционные эффекты.
Это самое краткое и понятное объяснение, которое я когда-либо читал относительно «почему». Спасибо. Так много учебников по квантовой механике не в состоянии передать этот факт.
@docscience: конечно нет - в конце концов, вам даже не нужны комплексные числа, чтобы вычислять сложные числа. Это просто хороший, простой способ сделать это. И люди пытались переформулировать квантовую механику, используя кватернионы, но я не знаю, как далеко они действительно продвинулись, это за пределами моей области знаний.

рк · Answer 2

Альтернативное обсуждение Скоттом Ааронсоном: http://www.scottaaronson.com/democritus/lec9.html

Из постулата интерпретации вероятности мы заключаем, что оператор эволюции времени $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (T)$ должен быть унитарным , чтобы общая вероятность всегда была равна 1. Обратите внимание, что волновая функция не обязательно является сложной.
С веб-сайта: «Почему Бог пошел с комплексными числами, а не с действительными числами? Ответ: Ну, если вы хотите, чтобы каждая унитарная операция имела квадратный корень, то вам нужно перейти к комплексным числам ...» $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (t)$ $\hat{U} (T)$ должно быть сложным, если мы все еще хотим непрерывного преобразования. Это подразумевает сложную волновую функцию.

Следовательно, оператор должен быть: $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (t) = e^{i \hat{K} t}$ $\hat{U} (T) знак равно е^{я \hat{К} T}$ для эрмита $\hat{K}$ $\hat{K}$ $\hat{K}$ $\hat{K}$ $\hat{К}$ для того, чтобы сохранить норму волновой функции.

Лично я предпочитаю ответ Джерри Ширмера, потому что он требует меньше постулатов и вместо этого напрямую использует экспериментальный факт. знак равно
Мне очень нравится ваш ответ, также как и ответ Джерри. Но я бы добавил две вещи: во-первых, квадратный корень немного тупой: я бы сказал, что для тех, кто, как я, немного медленен в освоении: .... (ctd) ...
«Все собственные значения унитарных операторов имеют единичную величину. Таким образом, единственным нетривиальным унитарным оператором со всеми действительными собственными значениями является оператор со смесью + 1 с и -1 с в качестве собственных значений, скажем, $M$ $M$ $M$ - иначе это тождественный оператор $I$ $I$ $я$ , поскольку $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (T)$ и его собственные значения постоянно меняются, $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (t)$ $U (T)$ не могу достичь $M$ $M$ $M$ от его начального значения $U (0) = I$ $U (0) = I$ $U (0) = I$ $U (0) = I$ $U (0) знак равно я$ если хотя бы одно собственное значение не пройдет все значения в полукруге единицы, чтобы достичь значения -1 ". ... (ctd) ...
Во-вторых, аргумент не будет таким, как есть: существуют нетривиальные унитарные группы с вещественными матричными числами. $S O (N)$ $S O (N)$ $S O (N)$ $S O (N)$ $S О (N)$ (члены которого имеют сложные собственные значения, но тем не менее являются реальными матрицами), которые будут реализовывать $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (t) = \exp (i K t)$ $U (T) знак равно ехр (я К T)$ в вашем аргументе, так что квантовые состояния все еще могут быть реальными волновыми функциями, если они реальны при $t = 0$ $t = 0$ $T знак равно 0$ , У меня не совсем есть решение для этого, может быть, вы могли бы обратиться к эксперименту. Впрочем, это симпатичный аргумент, поэтому я продолжу думать.

Терри Боллинджер · Answer 3

Этот летний вопрос неожиданно возник, когда я вошел в систему, и он интересный. Так что я думаю, что все в порядке, просто добавив «дополнительный ответ» уровня интуиции к превосходным и гораздо более полным ответам, предоставленным давно.

Ваш вопрос ядра, кажется, таков: «Почему комплекс волновых функций?»

Мой намеренно неформальный ответ таков:

Потому что при экспериментальном наблюдении квантовое поведение частицы намного больше напоминает поведение вращающейся веревки (например, пропускаемой веревки), чем веревки, которая движется только вверх и вниз.

Если каждая точка в веревке выделяет окружность по мере ее движения, то очень естественный и экономичный способ представить каждую точку вдоль длины веревки - это сложная величина. Конечно, вам не обязательно делать это таким образом. На самом деле, использование полярных координат, вероятно, было бы немного проще.

Тем не менее, изюминкой комплексных чисел является то, что они предоставляют простой и эффективный в вычислительном отношении способ представления именно такой полярной системы координат. Вы можете получить в подробностях математические детали того, почему, но достаточно сказать, что, когда ранние физики начали использовать комплексные числа только для этой цели, их преимущества продолжались, даже когда проблемы стали намного сложнее. В квантовой механике их преимущества стали настолько огромными, что комплексные числа стали восприниматься практически как «реальность» того, как представлять такую математику.

Это концептуальное слияние сложных величин с реальной физикой может немного подорвать вашу интуицию. Например, если вы посмотрите на движущуюся скиповую веревку, то не будет различий между «реальной» и «мнимой» осями в фактических поворотах каждой точки в веревке. То же самое верно для квантовых представлений: учитывается фаза и амплитуда, а другие различия между осями фазовой плоскости являются результатом того, как вы используете эти фазы в более сложных математических конструкциях.

Итак, если бы квантовые волновые функции вели себя только как веревки, движущиеся вверх и вниз вдоль одной оси, мы бы использовали реальные функции для их представления. Но они этого не делают. Поскольку вместо этого они больше похожи на эти пропущенные веревки, гораздо проще представить каждую точку вдоль веревки двумя значениями, одним «реальным» и одним «мнимым» (и ни одним из них в реальном пространстве XYZ) для его значения.

Наконец, почему я утверждаю, что одиночная квантовая частица имеет волновую функцию, которая похожа на функцию скакалки в движении? Классическим примером является проблема « частица в коробке» , когда одна частица подпрыгивает вперед и назад между двумя концами оси X блока. Такая частица образует одну, две, три или более областей (или антиузлов), в которых частица с большей вероятностью может быть найдена.

Если вы заимствуете Y и Z (перпендикулярно длине прямоугольника), чтобы представить действительные и мнимые амплитуды волновой функции частицы в каждой точке вдоль X , интересно посмотреть, что вы получите. Он выглядит в точности как скакалка в действии, в которой области, где наиболее вероятно найти электрон, соответствуют один к одному одной, двум, трем или более петлям движущейся скакалки. (Необычные скип-роперы знают все о большем числе циклов.)

На этом аналогия не заканчивается. Объем, окруженный всеми петлями, нормированный на 1, точно говорит вам, каковы шансы нахождения электрона вдоль любого сечения вдоль прямоугольника по оси X. Туннелирование представлено электроном, появляющимся с обеих сторон неподвижных узлов веревки, причем эти узлы являются областями, где нет шансов найти электрон. Непрерывность веревки от точки к точке отражает грубую аппроксимацию дифференциальных уравнений, которые придают высокие энергетические затраты острым изгибам веревки. Абсолютная скорость вращения веревки представляет собой общую массу-энергию электрона или, по крайней мере, может использоваться таким образом.

Наконец, и немного сложнее, вы можете разбить эти простые петли на другие волновые компоненты, используя преобразование Фурье. Любой простой взгляд также можно рассматривать как две спиральные волны (например, взмах шланга, чтобы освободить его), идущие в противоположных направлениях. Эти два компонента представляют идею, что однопетлевая волновая функция на самом деле включает в себя спиральные представления одного и того же электрона, идущие в противоположных направлениях, в одно и то же время. «В то же время» очень характерно для квантовой функции в целом, поскольку такие функции всегда содержат несколько «версий» местоположения и движений отдельной частицы, которую они представляют. Это действительно то, чем на самом деле является волновая функция: суммирование простых волн, представляющих каждую вероятную локацию и импульсную ситуацию, в которой может находиться частица.

Полная квантовая механика намного сложнее, чем это, конечно. Вы должны работать в трех пространственных измерениях, с одной стороны, и вам приходится иметь дело с составными вероятностями взаимодействия многих частиц. Это заставляет вас использовать более абстрактные понятия, такие как гильбертовы пространства .

Но что касается вопроса «почему сложный, а не реальный?», То простой пример сходства квантовых функций с вращающимися веревками остается в силе: все эти более сложные случаи являются сложными, поскольку в своей основе каждая точка в них ведет себя как будто он вращается в абстрактном пространстве, так что он синхронизируется с точками в соседних точках пространства.

Род, да. Подобный трюк можно сделать для кватернионов. Я на самом деле фанатик кватернионов: мне нравится думать, что многие из комплексных чисел, используемых в физике, действительно являются чрезмерно обобщенными кватернионами, в которых наше встроенное трехмерное смещение не позволяет нам заметить, что воображаемая ось комплексного числа на самом деле просто указатель кватерниона в пространстве XYZ. Делая это, вы теряете много богатства представления, так как, например, вы непреднамеренно отказываетесь от интригующего варианта трактовки изменений в ориентации кватернионного представления i как локальной симметрии пространства XYZ.
Хотя я предполагаю, что с точки зрения OP, было бы неправильно называть это уловкой - есть много способов кодировать виды свойств, которые выполняют комплексные числа, и это одно - комплексные числа (изоморфное поле). Что касается кватернионов, да, это позор, что Гамильтон, Клиффорд и Максвелл никогда не контролировали Хевисайд.
Вы говорите, что волновая функция сложна, потому что она в основном похожа на круговой поляризованный свет?
Да, за исключением того, что для кругового поляризованного света, движущегося вдоль Z, вращение происходит в реальной плоскости XY, перпендикулярной Z. В квантовой волновой функции круговое движение находится в отдельной комплексной плоскости, которая не соответствует ни одному из обычных направлений XYZ ,

Любош Мотль · Answer 4

Среди прочего, ОП перепечатал страницу учебника, спрашивая, что «это все о». Я думаю, что невозможно ответить на такие вопросы, потому что в чем заключается проблема ОП, то она совершенно не определена, и люди, которые предлагают свои ответы, могут писать свои собственные учебники, но безрезультатно.

Волновая функция в квантовой механике должна быть сложной, потому что операторы удовлетворяют таким вещам, как

[Икс, п] знак равно Икс п - п Икс знак равно я ℏ,

Это коммутатор, определяющий принцип неопределенности. Потому что левая сторона анти-эрмитова,

(Икс п - п Икс)^{†} знак равно п^{†} {Икс}^{†} - {Икс}^{†} п^{†} знак равно (п Икс - Икс п) знак равно - (Икс п - п Икс),

Отсюда следует, что если это

c

c

с

- число, его собственные значения должны быть чисто мнимыми. Отсюда следует, что либо

x

x

Икс

или

p

p

п

или оба должны иметь нереальные матричные элементы.

Кроме того, уравнение Шредингера

я ℏ d / d T | ψ ⟩ знак равно ЧАС | ψ ⟩

имеет фактор

i

i

я

в этом. Эквивалент

i

i

я

появляется в уравнениях Гейзенберга для операторов и в

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

\exp (i S / ℏ)

ехр (я S / ℏ)

интеграл от фейнмановского интеграла по путям. Таким образом, амплитуды неизбежно должны выходить в виде комплексных чисел. Это также связано с тем фактом, что собственные состояния энергии, импульсов и т. Д. Зависят от пространства или времени и т. Д.

ехр (Е T / я ℏ)

что сложно. Косинуса будет недостаточно, потому что косинус - это четная функция (а синус - нечетная функция), поэтому он не может нарушить знак энергии. Конечно, появление

i

i

я

в фазе связан с коммутатором в начале этого ответа. Смотрите также

http://motls.blogspot.com/2010/08/why-complex-numbers-are-fundamental-in.html
Почему комплексные числа являются фундаментальными в физике

Что касается второго вопроса, в физическом жаргоне, мы решили подчеркнуть, что волновая функция не является скалярным полем. Волновая функция вообще не является наблюдаемой, в то время как поле есть. Классически поля развиваются детерминистически и могут быть измерены одним измерением, но волновая функция не может быть измерена. Квантовые поля являются операторами, а волновая функция - нет. Более того, математическое сходство волновой функции со скалярным полем в 3 + 1 измерениях имеет место только для описания одной бесспиновой частицы, но не для более сложных систем.

Что касается последнего вопроса, то бесполезно разбивать комплексные числа на действительные и мнимые части именно потому, что «комплексное число» - это одно число, а не два числа. В частности, если мы умножим волновую функцию на сложную фазу $\exp (i ϕ)$ $\exp (i ϕ)$ $\exp (i ϕ)$ $\exp (i ϕ)$ $ехр (я φ)$ , что возможно только в том случае, если мы допустим, чтобы волновые функции были сложными, и мы использовали умножение комплексных чисел, физика вообще не меняется. Весь смысл комплексных чисел в том, что мы имеем дело с ними как с одной сущностью.

Спасибо за ответ. У меня есть один вопрос, еще не зная об интегралах по Фейнману, я полагаю, что то, что вы говорите, - это то же самое, что: если мы сделаем преобразование $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (r, t) = e^{i \frac{S (r, t)}{ℏ}}$ $ψ (р, T) знак равно е^{я \frac{S (р, T)}{ℏ}}$ тогда уравнение Шредингера сводится к классическим уравнениям Гамильтона Якоби (если члены, содержащие $i$ $i$ $я$ и $ℏ$ $ℏ$ $ℏ$ были незначительными)?
Я отредактировал свой вопрос, удалив перепечатки и попытавшись изложить свою проблему без них ... однако, потребуется некоторое время, чтобы подумать о некоторых моментах, которые вы уже указали в ответе.
Я думаю, что лучшее объяснение не будет использовать идею операторного формализма, поскольку, когда Шредингер придумал свое уравнение, формализм еще не был развит.
Извините, но Шредингер пришел со своей «волновой механикой» только спустя год после того, как Гейзенберг и его приятели обнаружили квантовую механику в форме «матричной механики». Несмотря на распространенные заблуждения, Шредингер даже не является одним из основателей квантовой механики и никогда не понимал смысл теории.

Кейли · Answer 5

Если волновая функция была действительной, выполнение преобразования Фурье во времени приведет к парам собственных состояний с положительной и отрицательной энергией. Отрицательные энергии без нижних границ несовместимы со стабильностью. Таким образом, сложные волновые функции необходимы для устойчивости.

Нет, волновая функция не является полем. Это похоже только на одну частицу, но для N частиц это функция в 3N + 1 мерном пространстве конфигурации.

Хелдер Велес · Answer 6

РЕДАКТИРОВАТЬ добавить:
Мой ответ ориентирован на GA, и после комментариев я почувствовал необходимость сказать несколько слов о красоте геометрической алгебры:
На 2-й странице лекции медали Эрстеда (ссылка ниже):

(3) GA Сокращает «grad, div, curl и все такое» до одной производной вектора, которая, помимо прочего, объединяет стандартный набор из четырех уравнений Максвелла в одно уравнение и предоставляет новые методы для его решения.

Алгебра геометрии (GA) включает в себя единую структуру для всего этого:
Синтетическая геометрия, координатная геометрия, комплексные переменные, кватернионы, векторный анализ, матричная алгебра, спиноры, тензоры, дифференциальные формы. Это один язык для всей физики.
Вероятно, Шредингер, Дирак, Паули и т. Д. Использовали бы GA, если бы он существовал в то время.
К вопросу: ПОЧЕМУ волновая функция является комплексной? Этот ответ не полезен: потому что волновая функция сложна (или имеет i ). Надо попробовать что-то другое, не написанное в вашей книге.
В рефератах я выделил доказательства того, что в газетах говорится о ПОЧЕМУ . Если кто-то умоляет рыбу, я постараюсь дать удочку.
Я старый ИТ-аналитик, который был бы безработным, если бы я не развивался. Физика тоже развивается.
конец РЕДАКТИРОВАТЬ

Недавно я нашел геометрическую алгебру , Грассмана, Клиффорда и Дэвида Хестенеса.

Я не буду подробно описывать тему ОП, потому что каждому из нас нужно идти по пути, находить новые идеи и уделять время чтению. Я приведу только некоторые пути с частью тезисов:

Обзор геометрической алгебры в физике

Лекция Медаль Эрстеда 2002 года: реформирование математического языка физики (хорошее начало)

В этой лекции Хестенес выступает за реформу способа преподавания математики физикам. Он утверждает, что использование геометрической алгебры облегчит понимание основ физики, поскольку математический язык будет более четким и единообразным.

Охота на Снарков в квантовой механике

Абстрактный. Давние дебаты по поводу интерпретации квантовой механики были сосредоточены на значении волновой функции Шредингера ψ для электрона. Вообще говоря, есть две основные противостоящие школы. С одной стороны, копенгагенская школа (возглавляемая Бором, Гейзенбергом и Паули) считает, что ψ дает полное описание состояния одного электрона; следовательно, вероятностная интерпретация ψψ * выражает неприводимую неопределенность в поведении электронов, которая является внутренней по своей природе. С другой стороны, реалистическая школа (возглавляемая Эйнштейном, де Бройлем, Бомом и Джейнсом) считает, что ψ представляет собой статистический ансамбль возможных электронных состояний; следовательно, это неполное описание состояния одного электрона. Я утверждаю, что участники дискуссии упустили из виду важные факты об электроне, раскрытые теорией Дирака. В частности, анализ электронного цитербевегунга (впервые замеченный Шредингером) открывает окно для субструктуры частиц в квантовой механике, которая объясняет физическую значимость комплексного фазового фактора в ψ . Это привело к созданию тестируемой модели субструктуры частиц с неожиданным подтверждением недавних экспериментальных данных. Если объяснение будет подтверждено дальнейшими исследованиями, оно разрешит спор в пользу реалистической школы. Я даю подробности. Опасности в исследованиях основ квантовой механики были предвидены Льюисом Кэрроллом в «Охоте на Снарка»!

КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОИСХОЖДЕНИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ

Абстрактный. Переформулировка теории Дирака показывает, что i¯h имеет геометрическое значение, связывающее его со спином электронов . Это обеспечивает основу для когерентной физической интерпретации теорий Дирака и Шодингера, в которых комплексный фазовый фактор exp (−iϕ / ¯h) в волновой функции описывает электрон zitterbewegung, локализованное круговое движение, генерирующее спин электрона и магнитный момент. , Взаимодействия Циттербевегунга также генерируют резонансы, которые могут объяснить квантование, дифракцию и принцип Паули.

Универсальный Геометрический Исчисление курс, и следуйте:
III. Последствия для квантовой механики

Кинематическое происхождение сложных волновых функций
Алгебра Клиффорда и интерпретация квантовой механики
Zitterbewegung Интерпретация квантовой механики
Квантовая механика из самовоздействия
Zitterbewegung в радиационных процессах
О вероятности развязки от кинематики в квантовой механике
Zitterbewegung Моделирование
Пространственно-временная структура слабых и электромагнитных взаимодействий

чтобы сохранить больше ссылок вместе:
Геометрическая алгебра и ее применение в математической физике (Крис Тезис)

(то, что привело меня к этому удивительному пути, было работой Джой Кристиана « Отказ от теоремы Белла »)
«Бон Вояж», «Хорошее путешествие», «Боа Виагем»

@Helder Понижающие голоса не от меня, но я думаю, что ваш Ответ не слишком затрагивает вопрос, поэтому я думаю, что они оправданы именно на этот счет. Что еще более важно, цитирование Гестенеса является проблематичным, если вы не очень точно знаете, что вы берете у него, и в этом случае вы могли бы так же легко сослаться на кого-то еще, кто не делает таких завышенных требований. Слишком многие из претензий Гестенес недостаточно обоснованы, и все они должны быть прочитаны критически, чтобы найти то, что интересно, что отнимает много времени. Следите за своим умом, следуя по пути гестенов.
@Helder; Я с большим уважением отношусь к работе доктора Хестенеса, пришлите мне письмо, если хотите поговорить об этом. Его работа непосредственно читает о сложной природе QM. Я получу +1 ваш ответ, когда получу свои голоса обратно (я всегда их использую).
@Helder Velez Я один из ваших даунвотеров, так как видел в нем очень широкий ответ с множеством воспроизведенных ссылок и рефератов, которые имеют мало общего с конкретным контекстом, в котором я пытался сформулировать свой вопрос. Кроме того, меня совсем не интересует интерпретационный аспект квантовой механики на моем этапе.
@yayu; Ответы на Stack Exchange читают не только те, кто спрашивает. Спин-1/2 (и спиновые матрицы Паули) будут рассмотрены в любом введении в QM; это простейшее нетривиальное гильбертово пространство. Это не намного проще, чем это. Но в целом, даже если он подходит только для Альберта Эйнштейна, он должен быть размещен здесь. На SE дублированные вопросы закрыты. Это единственная возможность ответить на этот вопрос для всех читателей.

Len · Answer 7

Этот вопрос задавался с Дирака

На самом деле ответ Дирака можно получить за 100 долларов от JSTOR в статье Дирака, как мне кажется, в 1935 году?

Недавний ответ Джеймса Уилера - это то, что метрика Киллинга с нулевой сигнатурой новой, действительной, 8-мерной калибровки конформной группы объясняет сложный характер квантовой механики

Справка: почему квантовая механика сложна, Джеймс Т. Уилер ArXiv: hep-th9708088

Хотя это может теоретически ответить на вопрос, было бы предпочтительным включить сюда основные части ответа и предоставить ссылку для справки.

Карл Браннен · Answer 8

Из принципа неопределенности Гейзенберга, если мы много знаем о импульсе частицы, мы можем очень мало знать о ее положении. Это говорит о том, что наша математика должна иметь квантовое состояние, которое соответствует плоской волне $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (Икс)$ с точно известным импульсом, но совершенно неизвестной позиции.

Естественное определение вероятности нахождения частицы в положении $x$ $x$ $Икс$ является $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (x) |^{2}$ $| ψ (Икс) |^{2}$ , Это определение имеет смысл как для реальной волновой функции, так и для воображаемой волновой функции.

Если у плоской волны нет информации о положении, это означает, что $| ψ (x) |$ $| ψ (x) |$ $| ψ (x) |$ $| ψ (Икс) |$ не зависит от положения и поэтому является постоянным. Поэтому мы должны иметь $ψ$ $ψ$ $ψ$ сложный; иначе не было бы никакого способа хранить информацию «что такое импульс частицы».

Таким образом, на мой взгляд, сложная природа волновых функций возникает из-за взаимодействия между необходимостью (1) вероятностной интерпретации, (2) принципом неопределенности Гейзенберга и (3) плоскими волнами.

Пожалуйста, проясните некоторые сомнения для меня. 1. Вероятностная интерпретация: я думаю, что это последовало, поскольку волновая функция была сложной, а физический смысл мог быть отнесен только к реальной стоимости. Если мы сделаем конструкцию $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ $ψ^{*} ψ$ затем мы приходим к уравнению непрерывности из уравнения Шредингера, и теперь можно сделать интерпретацию того, что величина $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ знак равно ψ^{*} ψ$ плотность вероятности. Начиная с такой интерпретации, как $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ = ψ^{*} ψ$ $ρ знак равно ψ^{*} ψ$ Я не вижу возможности работать задом наперед и убедительно утверждать, что амплитуда $ψ$ $ψ$ $ψ$ должен быть сложным.
Соотношения неопределенности следуют из идентификации свободной частицы как плоской волны. Я угадываю ваши ответы в правильном направлении, я работаю над (2), как предложено в ответе Любоса, и пытаюсь понять, почему $ψ$ $ψ$ $ψ$ является комплексным значением как следствие, однако я не вижу, как что-либо, кроме (2), имеет значение для того, чтобы показать это окончательно.
@yayu: см. мой пост - есть два существенных экспериментальных факта: 1) фаза не поддается прямому измерению; 2) интерференционные эффекты возникают в широком диапазоне квантовых материалов. Трудно согласовать эти вещи без использования комплексных чисел.
Хотя я согласен с основными мыслями в этом ответе, я не согласен с выводом, что для этого требуются комплексные числа. Ничего не потеряно, например, выражая (комплексное) преобразование Фурье как два действительных преобразования Фурье синус / косинус. Это не требует комплексных чисел, хотя они могут быть удобными.
@ ConfusinglyCuriousTheThird Привет! Предоставляет ли мой скромный вклад (в настоящее время третий по счету ниже этого), немного расширяющий ответ Карла, ответ, который вы можете принять? Rgds - iSeeker

asmaier · Answer 9

Хороший вопрос, который также задал Эренфест (1932): «Einige die Quantenmechanik betreffende Erkundigungsfragen» . Ответ был дан Паули (1933): «Einige die Quantenmechanik betreffenden Erkundigungsfragen» . К сожалению, я не знаю о переводе на английский язык этих двух публикаций. Однако немного другую форму ответа можно найти и в книге Паули «Общие принципы квантовой механики», с.16 . В этой книге Паули пишет

одной действительной функции недостаточно для построения из волновых функций вида (3.1) неотрицательной вероятностной функции, которая постоянна во времени при интегрировании по всему пространству.

Я постараюсь обобщить его аргументы здесь:

Волновой пакет для описания отдельной частицы (в основном идея Деброли) может быть записан в общем виде

U (Икс, T) знак равно \int U (К) е^{я (К Икс - ω T)} d К знак равно \int U (К) е^{я К Икс} d К е^{- я ω T}

где

U (k)

U (k)

U (k)

U (k)

U (К)

является преобразованием Фурье

u (x, 0)

u (x, 0)

U (Икс, 0)

, Комплексное сопряжение этого волнового пакета

U^{*} (Икс, T) знак равно \int U^{*} (К) е^{- я (К Икс - ω T)} d К знак равно \int U^{*} (К) е^{- я К Икс} d К е^{я ω T}

Можно также определить такие волновые пакеты в электродинамике. Но в квантовой механике у нас есть дополнительное условие, а именно, что вероятность

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

п (Икс, T)

чтобы найти частицу, она всегда должна быть положительной, а общая вероятность найти где-то одну частицу должна быть равна единице, поэтому

п (Икс, T) \geq 0 \int п (Икс, T) d Икс знак равно 1

Паули утверждает, что самый простой анзац для построения такой функции

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

п (Икс, T)

из

u (x, t)

u (x, t)

U (Икс, T)

является определенной квадратичной формой из функций

u

u

U

и

u^{*}

u^{*}

u^{*}

u^{*}

U^{*}

, это значит

п (Икс, T) знак равно U^{2} + б {U^{*}}^{2} + с U U^{*}

Теперь из формы

u (x, t)

u (x, t)

U (Икс, T)

и

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

u^{*} (x, t)

U^{*} (Икс, T)

Мы видим, что

U^{2} ~ е^{- 2 я ω T} и {U^{*}}^{2} ~ е^{2 я ω T}

и интеграл по пространству по этим двум функциям никогда не может быть независимым от времени. Итак, константы

a

и

b

b

б

должен быть ноль в анзаце для

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

п (Икс, T)

, Только произведение волнового пакета и его комплексного сопряжения даст независимую от времени полную вероятность:

1 знак равно \int п (Икс, T) d Икс знак равно \int U U^{*} d Икс знак равно ∭ U (К) U^{*} (К^{'}) е^{я (К Икс - К^{'} Икс)} е^{- я ω T} е^{я ω T} d К d К^{'} d Икс знак равно \iint U (К) U^{*} (К^{'}) δ (К - К^{'}) d К d К^{'} знак равно \int {| U (К) |}^{2} d К знак равно \int п (К) d К

Поскольку продукт

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

u u^{*} = R e [u]^{2} + I m [u]^{2}

U U^{*} знак равно р е [U]^{2} + я м [U]^{2}

отсюда следует, что, как сказал Паули, для вычисления значимой вероятности по волновым пакетам вида

u (x, t)

u (x, t)

U (Икс, T)

нужна реальная и мнимая часть

u (x, t)

u (x, t)

U (Икс, T)

и волновая функция в квантовой механике должна быть сложной.

Anonymous · Answer 10

Поскольку с физической точки зрения волновая функция должна быть сложной, чтобы объяснить эксперимент с двумя щелями , о чем также упоминается в книге «Фейнмановские лекции по физике-III» , я предлагаю вам пересмотреть главы 1 и 3 , где объясняется как $ψ$ $ψ$ $ψ$ должен рассматриваться как вероятностный характер в соответствии с характером вмешательства, потому что «что-то» должно вести себя как волна во время пересечения через «каждую» щель. Кроме того, Бом заявляет, что путь частицы (электрон, фотон и т. Д.) Можно считать классическим, поэтому в качестве следствия вы можете посмотреть этот, поскольку он следует правилам, уже известным в макросе ... в этом смысле вы can see next reference or this one to consider the covariance of the laws of mechanics.

iSeeker · Answer 11

В ЭТОМ ПОЗДНО ОТВЕТЕ (январь 2018 г.) немного расширяется прямолинейный ответ Карла Браннена и (IMO) недооценка ответа (показывающего немного выше, во время публикации), который напомнил мне еще один простой и убедительный аргумент о том, почему волна функция должна быть сложной , изложенной много лет назад в Dicke & Wittke « Введение в квантовую механику » (1960; с. 23-24).

Учитывая их обзор в главе 1 о том, почему квантово-механическая волна подвержена двойственности волна-частица / соотношению Де Бройля, они поступают следующим образом:

Для волны-частицы с резко определенным импульсом:

λ = ч / р (и , таким образом, через А х .Δ р > = ч / 4π, совершенно неопределенное - по существу , равномерное - положение)

… Распределение вероятности | ψ | ^ 2 плоской волны должно быть однородным по положению, которое не может быть удовлетворено реальной плоской волной

ψ = грех (kx - ωt + α)

... но будет удовлетворен (обобщающая в произвольное положение) по

ψ = A exp [i ( kx - ωt)], где вектор распространения k = p / (h / 2π).

Dicke & Wittke затем обсуждают, как комплексная волновая функция учитывает эффекты помех (авторские права и безопасно доступны через https://archive.org/details/IntroductionToQuantumMechanics ).

[NB Уход за поиском названия книги / pdf - многие интернет-источники, в отличие от приведенного выше, небезопасны]

JG · Answer 12

Волновая функция $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (x)$ $ψ (Икс)$ проекция вектора состояния физической системы $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ на $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{x}$ $\hat{Икс}$ eigenket $| x ⟩$ $| x ⟩$ $| Икс ⟩$ собственного значения $x$ $x$ $Икс$ а именно $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ = \int d x ψ (x) | x ⟩$ $| ψ ⟩ знак равно \int d Икс ψ (Икс) | Икс ⟩$ ,Вы не должны путать скалярное значение $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩$ $ψ (Икс) знак равно ⟨ Икс | ψ ⟩$ с вектором $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ который живет в гильбертовом пространстве.

Первое предложение вашего первого вопроса в технических терминах: почему это гильбертово пространство над полем? $C$ $C$ $С$ а не, скажем, $R$ $R$ $р$ ?Если вы нажмете Ctrl + F на «Действительные и сложные числа» здесь , вы получите подробное обсуждение нескольких мотивов того, почему квантовая механика должна выглядеть именно так. Одним из преимуществ сложной волновой функции является то, что она имеет амплитуду и фазу, но только первая влияет на плотность вероятности. $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ $| ψ |^{2}$ и последний дает нам квантовую интерференцию из-за тригонометрических тождеств, таких как $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + \exp i θ | = 2 | \cos \frac{θ}{2} |$ $| 1 + ехр я θ | знак равно 2 | соз \frac{θ}{2} |$ ,Однако (чтобы продолжить ваш Q1), преобразование Галилея должно включать фазовый сдвиг, поэтому уравнение Шредингера будет инвариантным; смотрите здесь и здесь для получения дополнительной информации. Калибровочное преобразование, такое как галилеево, - это просто способ преобразования координат или полей (которые сходятся в одном и том же в лагранжевой теории поля), которые оставляют действие и его уравнения движения неизменными. (Кстати, нужно быть осторожным, чтобы не перепутать слова трансформация и трансформация.)

Ваш Q2 также зависит от не путать $ψ$ $ψ$ $ψ$ с $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ $| ψ ⟩$ , Луч - это набор значений $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp i θ | ψ ⟩$ $\exp i θ | ψ ⟩$ $ехр я θ | ψ ⟩$ с $θ \in R$ $θ \in р$ , но переключаясь с одного значения $θ$ $θ$ $θ$ в другой уходит $ψ$ $ψ$ $ψ$ инвариант, потому что $⟨ x |$ $⟨ x |$ $⟨ Икс |$ умножается на $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(\exp i θ)^{*} = \exp - i θ$ $(ехр я θ)^{*} знак равно ехр - я θ$ ,

Что касается Q3, более полезно работать с модулем и фазой комплекса $ψ$ $ψ$ $ψ$ а не его действительной и мнимой части, потому что при унитарных преобразованиях первое является инвариантным, как и различия во втором.

Том · Answer 13

Поскольку и амплитуда, и длина волны не могут быть точно определены одновременно, я думаю, что это означает, что существует некоторая недостающая информация, с которой все еще приходится обращаться непрерывно. Эта информация удобно хранится в мнимой части комплексного числа.

Это не достаточно обосновано, чтобы быть ответом, и, кроме того, я совершенно уверен, что это не очень хороший способ думать об этом.

О сложной природе волновой функции?

yayu

Питер Морган

Бен Кроуэлл

Тимей

Линкольн

Valerio

Ответы (13)

Джерри Ширмер

Georg

Эндрю МакАддамс

Джерри Ширмер

docscience

Джерри Ширмер

рк

рк

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

Терри Боллинджер

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

Терри Боллинджер

WetSavannaAnimal aka Rod Vance

asmaier

Терри Боллинджер

Любош Мотль

yayu

Любош Мотль

yayu

Sidd

Любош Мотль

Кейли

Хелдер Велес

Хелдер Велес

Питер Морган

Карл Браннен

yayu

Карл Браннен

Len

Гоненц Могол

Карл Браннен

yayu

yayu

Джерри Ширмер

anon01

iSeeker

asmaier

Anonymous

iSeeker

JG

Том

ACuriousMind ♦