Можем ли мы / должны ли мы использовать принцип Паули для объяснения ленточной структуры?

Просматривая статью в Википедии о структуре группы , я засомневался...

Они пытаются дать интуитивное объяснение структуры полос, в значительной степени опираясь на принцип исключения Паули:

если большое количество N одинаковых атомов собирается вместе, образуя твердое тело, такое как кристаллическая решетка, атомные орбитали атомов перекрываются. Поскольку принцип запрета Паули гласит, что никакие два электрона в твердом теле не имеют одинаковых квантовых чисел, каждая атомная орбиталь расщепляется на N дискретных молекулярных орбиталей, каждая из которых имеет разную энергию. Поскольку количество атомов в макроскопическом куске твердого тела очень велико (N ~ 1022), количество орбиталей очень велико, и поэтому они очень близко разнесены по энергии (порядка 10–22 эВ). Энергия соседних уровней настолько сближена, что их можно рассматривать как континуум, энергетическую полосу.

Я смущен. Для меня принцип исключения Паули гласит следующее:

2 одинаковых фермиона в одной и той же физической системе не могут находиться в одном и том же состоянии одновременно

Состояние частицы описывается ее волновой функцией. Поэтому я не понимаю, как принцип Паули мог бы применяться к орбиталям двух атомов «далеко» в Кристалле...

Я имею в виду, для иллюстрации, если мы представим одномерный моноатомный кристалл и возьмем цепочку из 3 атомов, которую мы обозначим A, B и C:

А − Б − С

Я мог более или менее представить, что перекрытие валентных орбиталей A и B может означать, что исключение Паули вступает в игру для валентных электронов в системе AB (хотя я уже не уверен, что это правильный способ описать это) .

Однако почему принцип Паули что-то говорит об электронах A и C? Я имею в виду, что волновые функции электронов А и С не перекрываются. Будучи «удалёнными друг от друга», пространственная часть ψ различен для этих электронов, и, следовательно, состояния уже различны. Не нужно ссылаться на принцип Паули, который в данном случае не должен давать никакой информации. Нет?

Почему принцип Паули должен вызывать бесконечное расщепление по мере того, как мы добавляем все больше и больше атомов в кристалл, чьи электроны не имеют... ничего общего друг с другом по мере увеличения расстояния? (игнорируя тот факт, что в конечном итоге они могут быть делокализованы как электроны проводимости в металлическом кристалле)

Способ представления зонной структуры, который я изучил, не использует принцип Паули (фактически, в книге, о которой я думаю, глава о зонной структуре помещена перед главой, посвященной идентичным частицам). На самом деле, мы могли бы установить зонную структуру в одноэлектронном приближении, что говорит о том, что принцип запрета не имеет никакого отношения к этому результату. Он опирается только на трансляционную симметрию Кристалла, выводя блоховские состояния и вводя их в SE, чтобы показать полосы. Е н ( к ) возникает как решение.

Я понимаю, что принцип исключения будет важен для описания того, как заполняются эти полосы, но в моем понимании не должно быть необходимости объяснять, что они существуют.

Я нахожу весьма удивительным найти объяснение, основанное на совершенно ином принципе, и мне трудно представить, что обе идеи эквивалентны.

Действительно ли этот принцип Паули верен? Если да, то что я неправильно понял?

Если да, то можем ли мы показать, что это эквивалентно известной периодической гамильтоновой демонстрации?

Я согласен с вами. Например, зона проводимости (выше энергии Ферми) пуста при температуре 0. Тем не менее, если вы сделаете обратную фотоэмиссию, вы увидите не один уровень, а полосу. Тот факт, что Е н ( к ) не является плоским, происходит из термина скачка (в модели Хаббарда), а не из принципа исключения.

Ответы (5)

Вы правы, и статья в вики проблематична. Дискретность энергетических уровней внутри полосы связана не с принципом Паули, а с тем, что кристаллы имеют конечный размер, что приводит к дискретным значениям волновых чисел. к . Как вы сказали, принцип Паули просто ограничивает количество электронов, которые могут заполнить полосу.

См., например: Энергетические полосы в кристаллах.

Вы написали в своем вопросе:

Я имею в виду, для иллюстрации, если мы представим одномерный моноатомный кристалл и возьмем цепочку из 3 атомов, которую мы обозначим A, B и C:

А − Б − С

Я мог более или менее представить, что перекрытие валентных орбиталей A и B может означать, что исключение Паули вступает в игру для валентных электронов в системе AB (хотя я уже не уверен, что это правильный способ описать это) .

Однако почему принцип Паули что-то говорит об электронах A и C? Я имею в виду, что волновые функции электронов А и С не перекрываются. Будучи «удалёнными друг от друга», пространственная часть ψ различен для этих электронов, и, следовательно, состояния уже различны. Не нужно ссылаться на принцип Паули, который в данном случае не должен давать никакой информации. Нет?

Я думаю, что здесь кроется суть проблемы. Волновые функции атомов не перекрываются, но волновые функции всех валентных электронов образуют одну «всеобъемлющую» волновую функцию. Вы больше не можете сказать, где находится каждый электрон в этой цепочке. Например, валентный электрон изначально в А можно (при объединении с другими атомами в цепочку) найти в С , Д ...и т. д. То же самое справедливо и для всех других валентных электронов. И поскольку они неразличимы, принцип запрета Паули заставляет половину всех валентных электронов находиться в разных энергетических состояниях и образовывать полосу.

Принцип Паули действительно очень важен для объяснения того, как формируется ленточная структура. Два фермиона не могут иметь все квантовые числа с одинаковыми значениями. Помните, что энергия — это тоже квантовое число. Причина, по которой электроны не коллапсируют в одну плоскую полосу, заключается в том, что электроны подчиняются принципу Паули. Они избегают друг друга, различаясь собственными значениями энергии. Если число электронов порядка числа Авогадро, у них останется совсем немного места в энергетическом пространстве, и поэтому их энергия будет незначительно отличаться, и, таким образом, энергетические зоны полуконтинуума.

Кроме того, принцип Паули также неявно включен в расчет блоховских состояний через реализацию детерминанта Слейтера!

Однако вы, безусловно, можете рассчитать энергетический профиль одной частицы. Е н ( к ) без принципа Паули (напомним, принцип Паули только для двух или более фермионов). Однако, если вы объедините его с принципом Паули, вы даже сможете использовать его как приближение к многоэлектронным зонным структурам. Здесь то, что я подразумеваю под «структурами», безусловно, включает расположение электронов в энергетическом пространстве; т.е. полосовое наполнение, так как "структура" действительно является синонимом "аранжировки"! Иначе обстоит дело для систем с многими бозонами, которые будут иметь единственную плоскую (не параболическую) полосу, даже если отдельная частица имеет энергетический профиль, подобный параболе. Кроме того, здесь мы говорим о зонных структурах в основном состоянии!

Спасибо, что нашли время ответить. Тем не менее, я чувствую, что вы в основном перефразируете Википедию, не отвечая на сомнения, которые я излучал. В моем понимании принцип исключения запрещает двум частицам иметь одно и то же СОСТОЯНИЕ. Или, если 2 частицы локализованы далеко друг от друга, то они уже находятся в разных состояниях (разных волновых функциях). Итак, мой вопрос; как принцип Паули приходит для 2 частиц, wf которых вообще не перекрываются? Упрощенный вывод Блоха утверждает, что, как я знаю, детерминанты Слейтера вообще не использовались для возникновения зонной структуры.
Ваш вопрос о структуре группы. Причина существования групп в первую очередь в том, что они взаимодействуют друг с другом и не локализованы. Позиции — это не квантовые числа, а электроны — это волны, которые в конечном итоге перекрываются, независимо от того, насколько далеко они друг от друга. Хорошо, вы можете получить форму зонной структуры без принципа Паули (это означает, что вы используете приближение одной частицы), но это еще не вся история, поскольку, когда вы начинаете заполнять полосы, принцип Паули необходим для размещения электронов в зонах, иначе это будет только одна плоская полоса. Без электронов, занимающих полосы, полосы бессмысленны.
Пожалуйста, перечитайте мой вопрос. Я признал, что принцип исключения необходим для заполнения полос. Вопрос заключается в том, является ли это жизнеспособным следствием существования этих полос . Вы правы в том, что я должен также упомянуть, что я имел в виду 1-электронное приближение. Будет редактировать. Я, конечно, не отрицаю важности принципа исключения вообще. Я согласен, это имеет решающее значение для заполнения зон и электронных многочастичных расчетов. Однако мой вопрос заключается в том, чтобы знать, правильно ли говорить, что сама структура полосы возникает из этого принципа.
На самом деле, учитывая, что мы можем даже говорить о зонной структуре в случае одного электрона, это, казалось бы, сильно указывает на то, что принцип Паули здесь не задействован, верно?
Пожалуйста, найдите время еще раз, чтобы обдумать принцип запрета Паули: «два или более идентичных фермиона не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние в квантовой системе». Судя по заявлению, здесь четко сказано «два или более». Итак, мой вопрос: работает ли этот принцип с одним электроном? Так что, возможно, это ваш первый вопрос, который нуждается в некотором исправлении.
Да, в этом и был смысл моего последнего комментария. Википедия утверждает, что структуру полос можно объяснить с помощью принципа исключения. Однако зонную структуру можно рассматривать и в случае одного электрона, когда принцип запрета не имеет смысла. Я вижу здесь противоречие, из которого можно сделать вывод, что нет, принцип исключения нельзя рассматривать как объяснение зонной структуры.
Контекст - ленточные структуры как свойство твердых тел, которые имеют много электронов. Одночастичное приближение (первое приближение) используется только для получения формы, и оно даже не так точно для многих реальных твердых тел. Также бессмысленны зонные структуры без электронов, заполняющих полосы. А для процесса заливки нужен принцип! Утверждение Википедии не является неверным, именно так вы получаете неплоские полосы для многих электронных систем!
Я не обсуждаю точность приближения, а только появление свойства зонной структуры уровней энергии. Опять же, я не оспариваю тот факт, что принцип будет полезен для заполнения полос. Однако существование полос и их заполнение — два разных явления. И я обращаюсь только к первому. Заполнение полосы не требуется для получения самой структуры полосы. Мы можем говорить о зонной структуре полупроводника независимо от того, как она заселена. Поэтому мы можем остановиться только на первом, независимо от того, имеет ли оно практическое значение.
«полосные структуры без электронов, заполняющих полосы, бессмысленны», вовсе нет. Это дает вам доступное состояние для электрона. Например, если вы переводите электрон из валентной зоны в зону проводимости, он может перейти только в эти доступные состояния, даже если в зоне проводимости уже нет ни одного электрона. В спектроскопии обратной фотоэмиссии вы видите не один четкий уровень, а полосу.
@ mels12 Я думаю, я понимаю вашу точку зрения, что рассмотрение многих электронов слегка (или не незначительно) изменит зонную структуру из-за взаимодействия многих тел, которое должно учитывать принцип исключения как часть своих компонентов. Однако это не меняет того факта, что расщепление зон не происходит из принципа Паули. Он просто говорит, что принцип исключения — это одна вещь (среди прочего), которая изменяет существовавшую ранее структуру зоны, когда мы «добавляем» больше электронов.
@E.Bellec, и все же вы сначала заполняете его хотя бы одним электроном, верно?
@BarbaudJulien Опять же, я думаю, вам следует пересмотреть свой вопрос на «Можем ли мы / должны ли мы использовать принцип Паули для объяснения одночастичной зонной структуры?» или что-то в этом роде, а не ссылаться на утверждение Википедии, потому что оно имеет свой собственный контекст. Если ваш вопрос был таким, как я поставил, то ответ, безусловно, "да"! Напомним принцип! Поверьте мне, вы получите только одну плоскую (не параболическую) полосу для зонной структуры систем с многими бозонами! И когда вы говорите о зонных «структурах» для многоэлектронных систем, я уверен, что это включает в себя расположение электронов в энергетическом пространстве; т.е. наполнение полос!
@ rnels12 «Поверьте мне, вы получите только одну плоскую (не параболическую) полосу для зонной структуры систем с многими бозонами», все еще не согласен. Возьмем гамильтониан бозона Хаббарда ЧАС "=" − т ∑ н ( б н + 1 † б н + б н † б н + 1 ) , диагонали его. Вы найдете энергетическую полосу формы Е ( к ) "=" − 2 т потому что ⁡ ( к )
@E.Bellec Ваш гамильтониан бозона Хаббарда не является полным, в нем есть второй член, называемый взаимодействием Хаббарда, который описывает отталкивающее взаимодействие между частицами, и в его честь назван гамильтониан. В текущей форме, если вы преобразуете Фурье H в k-пространство, вы действительно получите параболический профиль энергии для отдельного бозона, но в основном состоянии они будут занимать только одну энергетическую точку (Enk = const), следовательно, непараболическая «зонная структура». ". При включении термина ситуация усложняется. Основное состояние будет определяться относительной силой между U и t.
Опять же, проблема заключается в различии между энергетическим профилем одной частицы и зонной структурой многоэлектронных систем. Я не отрицал, что для одночастичных расчетов можно пренебречь принципом Паули, но когда начинаешь вычислять зонную «структуру» многоэлектронных систем, включение этого принципа обязательно, потому что опять же «структура» включает в себя и «расположение» частицы/электроны.
@E.Bellec, ваш гамильтониан более уместно называть гамильтонианом с сильной связью (а не гамильтонианом Хаббарда) с терминами скачка ближайшего соседа. И если этот гамильтониан для бозонов, то все бозоны будут занимать только Е к "=" − 2 т потому что ⁡ ( 0 ) "=" − 2 т в основном состоянии. Видите ли, в многоэлектронных системах именно принцип Паули расширяет/переносит энергетический профиль в многоэлектронную зонную структуру.
@ rnels12 Мы просто не согласны с определением здесь, а не с физикой. Если вы возьмете википедию, «электронная зонная структура (или просто зонная структура) твердого тела описывает диапазон энергий, которые может иметь электрон в твердом теле», зонная структура будет Е ( к ) , а не наполнение полосы. Не нужно спорить об определении.
Конечно, физика построена на разумном определении величин/терминов, и я не ищу споров. Отрывок, указанный в вопросе, начинается со слов «если большое число N…». Разумеется, речь идет о многоэлектронных зонных структурах. А если поискать синоним к слову «структура», например, здесь: thesaurus.com/browse/structure , то будет сказано «расположение», в данном случае обязательно расположение электронов в энергетическом пространстве. Но если вы хотите свести проблему к проблеме с одной частицей, чего не было в вопросе, я думаю, вы можете это сделать.
На самом деле, я думаю, что все эти дебаты возникли только потому, что мы не подразумеваем одно и то же под «структурой группы». Я думаю, что научный консенсус состоит в том, чтобы называть зонную структуру формой En(k). Дело в том, что вы получаете одни полосы Энергии, которые являются «разрешенными состояниями» для частиц, и другие полосы, которые являются «запрещенными состояниями». Как часто в этом конкретном научном выражении оно принимает особое значение, которое может отличаться от повседневного значения слова, поэтому поиск слова «структура» в словаре может дать противоречивые результаты. Не нужно приукрашивать это, я думаю, в конце концов мы согласимся ^^

Выдержка из статьи в Википедии действительно ошибочна. Мой совет: поищите другой источник знаний, желательно авторитетный учебник.

Вот, по просьбе комментаторов, а не ОП, очень упростил подсчет структуры бэнда.

Важно то, что ширина полосы вызвана изменением кинетической энергии кристалла. Атомы имеют оболочки по принципу Паули. Рассмотрим натрий и пренебрежем всеми электронами, кроме 3s. Упрощенные электронные орбитали трехмерной периодической системы атомов натрия представляют собой линейные комбинации отдельных атомов. Комплексные коэффициенты с точностью до нормировки можно записать в виде е я к → Дж ⋅ р → . Когда мы применяем оператор кинетической энергии, мы обнаруживаем, что эти состояния имеют кинетическую энергию кристалла | к Дж | 2 / 2 м . Состояния с наименьшей кинетической энергией заполнены по 2 электрона каждое. В случае полупроводника зоны образуются из связывающих и разрыхляющих состояний, что приводит к полностью заполненной валентной и полностью пустой зонам проводимости при 0 К.

Ответ требует дополнительных объяснений, чтобы указать, что статья совершенно неверна. На самом деле принцип Паули действительно важен для объяснения того, почему существует ленточная структура.
Это не дает ответа на вопрос. Чтобы подвергнуть критике или запросить разъяснения у автора, оставьте комментарий под его публикацией. - Из обзора
@Kyle Oman Это действительно ответ. Это _не_ представляет собой критику и не требует разъяснений от автора, поэтому я полностью упускаю из виду вашу точку зрения.
@rnels, конечно, важен принцип Паули. Без него атомы не имели бы оболочек и все электроны находились бы на 1s-орбитали. Структура группы хотелось бы совсем другой. Но как только структура оболочки атомов задана, преобладают элементы гамильтоновой матрицы между различными атомными орбиталями и эффекты связи. Кстати, вы действительно ожидаете, что я пришлю в качестве ответа целую главу из учебника по физике твердого тела?
Мир и любовь, ребята, все хорошо. My2cts, я не прошу учебника-ответа. Как уже упоминалось, я уже прочитал об этом учебник, и я согласен с выводом. Тем не менее, я хотел обсудить, есть ли в википедийном видении вещей какая-то правда.
Так что мой ответ на ваш взгляд адекватен, не так ли?
Вопрос в том, можем ли мы / должны ли мы использовать принцип Паули для объяснения ленточной структуры? на что "Википедия ошибается" не отвечает. Если вы немного уточните и объясните, почему в контексте вопроса, тогда хорошо, это может быть прото-ответ, но в его нынешнем виде он не отвечает на вопрос. К вашему сведению, точная формулировка предыдущего комментария автоматически генерируется инструментами очереди проверки, это тот, который приходит со мной, выражая, что я чувствую, что это было бы лучше разместить как комментарий к вопросу, чем как ответ (в текущей формулировке).
@ my2cts, как сказал Кайл Оман, я ожидаю, что некоторые аргументы объяснят, действителен ли подход принципа исключения, по вашему мнению;)
@ my2cts Нет, потому что я уверен, что вы могли бы сказать, почему отрывок был неправильным, не помещая целую главу какой-либо книги, если это действительно было неправильно, с чем я не согласен.
@ mels12 mels12, если вы не согласны, а значит, согласны с выдержкой, то я с нетерпением жду вашего собственного ответа на вопрос.
@Barbaud Julien Я уверен, что вы найдете этот ответ в своем учебнике. Тем не менее я добавил к моему ответу обязательно грубо упрощенный ответ.

Э. Беллек оставил комментарий к вашему вопросу, где упомянул о поведении материи вблизи нуля Кельвина. В конденсатах Эйнштейна-Бозе

большая часть бозонов занимает низшее квантовое состояние, и в этот момент микроскопические квантовые явления, особенно интерференция волновых функций, становятся макроскопически очевидными.

В таких конденсатах происходят три вещи:

  • В зависимости от достигнутой температуры около нуля Кельвина определенная часть электронов в атомах находится в низшем энергетическом состоянии.
    • Термическая энергия в значительной степени удаляется из конденсата, а беспорядок от вибрирующих субатомных частиц подавляется.
  • Магнитные диполи преимущественно неподвижных атомов выравниваются.

Давайте просто сосредоточимся на магнитных диполях. Магнитный дипольный момент является внутренним свойством вовлеченных субатомных частиц и не теряется при более высоких температурах. Самовыравнивание этих диполей в в основном неподвижных атомах разрушается в более высокой температуре окружающей среды из-за испускания и поглощения фотонов. Кстати, это чем-то похоже на разрушение постоянных магнитов при более высоких температурах.

На этом фоне давайте посмотрим, что обнаружил Паули:

что два или более идентичных фермиона (частицы с полуцелым спином) не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние в квантовой системе.

Квантовая система — это атом или молекула, а фермионы — это электроны в оболочках. Назовите это спином электронов или магнитным дипольным моментом электронов, они являются причиной того, как электроны ведут себя так, как они ведут себя в атомах. Принцип исключения Паули констатирует это явление, но не объясняет его. Просто чтобы лучше понять, обратите внимание на магнитный дипольный момент электронов (они коррелируют один за другим со спином).

Эти крошечные магниты самоорганизованы вокруг ядра, и без искажений от фотонных взаимодействий они образовали бы идеальный конденсат Бозе-Эйнштейна. Даже атомы с нечетным числом этих магнитов (сокращенно от «эти электроны с их спинами, также известными как магнитные дипольные моменты») объединяются в пары и ведут себя как бозоны. Речь идет о невозмущенности от окружающих энергетических воздействий.

Ведет ли себя металл как квантовая система? Да, около нуля по Кельвину, она ведет себя как система, работающая синхронно. И, чтобы подчеркнуть это, все атомы имеют свои электроны в самом низком возможном состоянии. По структуре группы вопросов нет. При более высокой температуре электроны менее связаны с ядром, а для некоторых элементов или соединений электроны не являются неподвижными, и эта степень свободы называется зонной структурой. Принцип Паули не имеет к этому никакого отношения.

Можем ли мы / должны ли мы использовать принцип Паули для объяснения ленточной структуры?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v