Заполнение энергетических полос

Теорема Блоха утверждает, что собственные значения и собственные векторы периодического одноэлектронного гамильтониана могут быть помечены волновыми векторами Блоха$\bf k$лежит в первой зоне Бриллюэна. Для каждого$\bf k$существует бесконечное множество решений проблемы собственных значений, помеченных другим квантовым числом,$n$, индекс полосы. Собственные значения$E_n({\bf k})$зависеть от обоих$n$и$\bf k$, являющиеся непрерывными функциями$\bf k$. Каждая функция$E_n({\bf k})$, при фиксированном$n$, и для$\bf k$в первой зоне Бриллюэна — энергетическая полоса .

Одноэлектронные собственные состояния$\psi^{(n)}_{\bf k}({\bf r})$можно использовать для построения полностью антисимметричной$N_e$волновая функция основного состояния электрона с использованием самых нижних лежащих собственных векторов в детерминанте Слейтера, где каждое пространственное состояние входит дважды, один раз умножается на спин вверх, а затем умножается на волновую функцию со спином вниз.

Заполнение n-й полосы — это изобразительное выражение, эквивалентное тому, что все$\bf k$государства$n$-я полоса появляется в определителе Слейтера с двойным заполнением (для учета спина)

В конечном периодическом кристалле (его можно получить, используя трехмерные периодические граничные условия ( pbc )) существует конечное число${\bf k}$векторов в первой зоне Бриллюэна, в точности равных общему числу$N$клеток в кристалле pbc . Итак, все$N$ орбитальный ${\bf k}$состояния полосы могут вмещать максимум$N_e=2N$электроны.

Чтобы иметь наименьшую возможную энергию (основное состояние), нужно «заполнять», т. е. использовать, одноэлектронные состояния, сортируя значения$E_n({\bf k})$, начиная с самых низких значений и используя все состояния в порядке возрастания энергии, пока количество используемых значений$n$и${\bf k}$в точности равно$\frac{N_e}{2}$(помните, что есть два значения спина для каждого$n$и${\bf k}$).

Для диэлектриков и полупроводников такое упорядоченное заполнение одноэлектронных состояний прекращается, когда все${\bf k}$использовались значения конечного числа полос. Первое пустое состояние отделено от самого высокого заполненного состояния конечной энергетической щелью. В случае с металлами дело обстоит сложнее, поскольку в этом случае нет зазора, четко разделяющего заполненные и пустые полосы, и появляются частично заполненные полосы.

По вопросу №2. Кремний в своей равновесной кристаллической структуре при нормальных условиях является полупроводником со структурой алмаза . Структура алмаза не является чистой решеткой Браве, но ее можно описать как ГЦК-решетку с основанием из 2 атомов. Если кристалл pbc конечного размера содержит$N$клетки, будет$2N$атомы. Каждый атом будет вносить свой вклад в валентные зоны с$4$электроны ($3s^23p^2$электронная конфигурация атома). В сумме кристалл конечного размера будет иметь$N_e=8N$валентные электроны. Следовательно, количество заполненных полос будет$4$.