Почему вектор обратной решетки периодичен, а время-частота нет?

Я пытаюсь дать вам интуитивную причину этого:

• Как уже было сказано в комментариях, частотно-временной ДПФ сигнала также ограничен термами максимальной частоты, которую можно точно измерить/реконструировать. Это ограничение связано с частотой дискретизации вашего оборудования. Следовательно, это не фундаментальное ограничение, а просто наложенное вами на ваши измерения (например, вы могли бы потратить больше денег и получить лучшее оборудование с более высокой частотой дискретизации). Так что здесь имеет значение «расстояние между точками выборки» .

Теперь идет часть физики твердого тела:

• Периодичность r-пространства исходит от природы, так как она решила создать кристаллы такими, какие они есть. У вас есть разные периодичности, заданные ячейкой Вигнера-Зейтца решетки, которая ничем не отличается от ячейки Вороного. Если перешагнуть через его край, пространство выглядит так же, как и в клетке раньше, если смотреть с противоположной стороны. Вы «перескакиваете» из одной стороны в другую в реальном пространстве.

• Периодичность вектора k-пространства возникает теперь из-за того, что периодическая решетка из пространства преобразуется в периодическую решетку в обратном пространстве преобразованием Фурье, т.е. k-пространство. Ячейка там называется зоной Бриллюэна , что опять-таки не что иное, как ячейка Вороного в k-пространстве. Если вы перешагнёте через его край своей k-пространственной частотой, реакция кристалла будет выглядеть так же, как если бы вы наложили на него k-пространственную частоту с другой стороны зоны Бриллюэна. Вы снова получаете эффект алиасинга.

Существует простой интуитивный способ почувствовать$k$-периодичность, если мыслить в терминах длин волн. Поскольку решетка реального пространства дискретна и не непрерывна в пространстве, две длины волны могут быть разными, но нести одну и ту же физическую информацию. Вы можете видеть это на этой картинке: в то время как длина волны красного и черного явно различается, черные атомы не могут их различить. Таким образом, существует периодичность$\lambda$, что создает периодичность в$k$-космос.

Я надеюсь, что благодаря этим рассуждениям у вас появилось более интуитивное понимание того, что происходит. Конечно, все утверждения можно свести к более или менее красивым математическим уравнениям, но я не нахожу их очень полезными в данном конкретном вопросе.

Обратное пространство имеет периодическую структуру только в том случае, если потенциал реального пространства также является периодическим. Это из-за теоремы Блоха : если у вас есть периодический гамильтониан, например

$$\hat H=\hat T+V(\hat x)=\hat T+V(\hat x+a),$$ то вам гарантирован собственный базис функций вида $$\psi(x)=e^{ikx}u(x),$$ где $u(x)=u(x+a)$является периодическим. В этом случае, $k$есть квазиимпульс состояния, и его можно (только) извлечь из $\psi$через собственное значение при переносе на $a$, который $e^{ika}$; как таковой, он определяется только до кратного $2\pi/a$, т.е. квазиимпульсы, разделенные $2\pi n/a$эквивалентны.

---

Что-то точно аналогичное происходит, если у вас есть периодический по времени гамильтониан , например, что-то в форме

$$\hat H=\hat T+V(t)=\hat T+V(t+T).$$ Здесь вы знаете, что если $|\psi(t)⟩$является решением уравнения Шрёдингера, то $|\psi(t+T)⟩$также должно быть единицей, поэтому перенос времени является симметрией системы, и мы можем надеяться на решения вида $$|\psi(t)⟩=e^{i\varepsilon t}|\varphi(t)⟩ \tag 1$$ где $|\varphi(t)⟩$. Как и в пространственно-периодическом случае, фаза $e^{i\varepsilon t}$требуется, потому что перевод времени $T$должно дать вам эквивалентное состояние, но это означает только равенство до фазы и не обязательно точно равно.

Государства в$(1)$известны как состояния Флоке, и они изучаются с помощью хорошо зарекомендовавшей себя теории Флоке, для которой вводные ресурсы относительно скудны. Каждое состояние Флоке имеет квазиэнергию$\varepsilon$, и они действительно обладают теми же свойствами периодичности, что и импульсы кристалла; в частности, изменение$\varepsilon$к$\varepsilon +n \omega$даст состояние того же вида, так как$e^{in\omega t}|\varphi(t)⟩$также является периодическим.

Более того, вам также гарантирована основа решений TDSE в форме Флоке, хотя здесь вам нужно немного выйти за рамки пространственного случая (где достаточно показать, что$[\hat H,e^{ia\hat p}]=0$), взяв гамильтониан Флоке

$$\hat H_F=\hat H-i\frac{\partial}{\partial t}$$ на расширенном гильбертовом пространстве $\mathscr H$задается тензорным произведением исходного гильбертова пространства $\mathcal H$и пространство периодических функций на $[0,T]$; Затем решения Флоке TDSE отображаются в собственные состояния $\hat H_F$и вы можете использовать его собственный базис.