Радиальное уравнение Шредингера с обратным степенным потенциалом

То, что они показывают в газете, это то, что для$\beta>2$, решений с заданной асимптотикой нет, т.к.$r\to 0$если мы не предполагаем$\alpha>0$. Я думаю, вы можете пойти дальше и показать, что не существует несингулярных решений для$\beta>2,\alpha<0$, но я не уверен.

Что это означает физически? Что ж, когда у нас есть потенциал с сингулярностью, обычно мы думаем о нем как о приближении, которое нарушается достаточно близко к сингулярности. Например, мы моделируем атом водорода с потенциалом$V\propto r^{-1}$, но реально потенциал рядом$r=0$не стремится к бесконечности из-за ненулевого размера ядра. Мы избегаем использования сингулярного потенциала, потому что «плохое» поведение при$r=0$качественно не меняет решения. (И, конечно же, люди делают поправку на эффекты ненулевого размера ядра в атомной физике.)

Если верно, что основное состояние уравнения Шрёдингера сингулярно для потенциалов данного вида ($\alpha<0,\beta> 2$), это означает, что эта процедура не работает. Для конкретности предположим, что вы решили уравнение Шредингера для потенциала, похожего на заданный, с точностью до некоторого «отсечки».$r_0$, и постоянна для меньших$r$. Вы обнаружите, что решение не стремится к некоторому пределу, поскольку$r_0\to 0$-- решение качественно зависит от величины этой отсечки, какой бы малой она ни была.

Чтобы ответить на ваш последний вопрос, для любого отталкивающего потенциала ($\alpha,\beta>0$), вы ожидаете найти только непрерывные (несвязанные) состояния. Эти государства имеют$E>0$, и все положительные значения$E$разрешается. Поэтому, если вы попытаетесь найти численное решение для основного состояния, я не удивлюсь, если вы получите нуль.

Дополнение : После обсуждения в комментариях мне приходит в голову, что мы можем понять, почему дело$\beta=2$ведет себя так, как это делает. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид

$$-{1\over 2}\nabla^2\psi + {\alpha\over r^2}\psi=E\psi.$$ Предположим, вы нашли решение в связанном состоянии $\psi_0$соответствует некоторой энергии $E_0<0$. Определите новое решение, просто масштабируя радиальную координату: $$\psi_1(r)=\psi_0(cr)$$ для любого $c>0$. Затем $\psi_1$также является решением уравнения Шредингера с энергией $E_1=c^2E_0$. В частности, для $c>1$это соответствует сжатию волновой функции в меньшее пространство и делает энергию более отрицательной. Если вы попытаетесь найти решение с наименьшим энергопотреблением, вы получите $c\to\infty$случае — бесконечно концентрированная волновая функция с энергией $-\infty$.

Если вы попробуете процедуру, которую я предлагаю в моем последнем комментарии (отсечение сингулярности в потенциале на каком-то$r_0$а потом варьироваться$r_0$), происходит нечто подобное. Решение в основном состоянии для всех положительных$r_0$выглядят одинаково, с радиальными координатами, масштабированными на значение$r_0$, а энергия основного состояния имеет вид$r_0^2$. Как$r_0\to 0$, энергия основного состояния приближается$-\infty$, и волновая функция становится бесконечно сосредоточенной при$r=0$.

Это работает только для случая$\beta=2$, так как для этого значения$\beta$как кинетический, так и потенциальный члены в левой части уравнения Шредингера масштабируются одинаково, когда вы перемасштабируете свои координаты (т. е. оба идут как$c^2$). Другими словами: только в случае$\beta=2$постоянная$\alpha$безразмерный. Для любого другого$\beta$, значение$\alpha$определяет масштаб длины (так что вы не можете просто масштабировать одно решение, чтобы получить новое), но когда$\beta=2$проблема масштабно-инвариантна.

Это ответы на вопросы NGY в комментарии (и продолжение моего собственного комментария). Предполагать$\phi(r) \sim r^n$для$r \sim 0$.

• Для$\beta < 2$производный член превосходит потенциальный член, и мы получаем, что вокруг начала координат решение должно (вплоть до членов более высокого порядка) вести себя как

  $$n(n-1)r^{n-2} \sim 0$$ что происходит для$n > 2$и$n=1$. Заметим, что если бы решение было точно$n=1$(включая члены более высокого порядка), то член производной будет тождественно равен нулю, и уравнение не будет удовлетворяться для$\beta \leq 1$. В качестве примечания напомним, что существуют также связанные решения, которые расходятся для$r \to 0$но они все еще могут быть нормируемыми, так как нормировка дается интегралом по всему пространству и вкладом от сферы$S^{d-1}$может превзойти расхождение с$\left | \phi(r)^2 \right |$.

• Для$\beta = 2$Мы видим, что$n(n-1) r^{n-2} \sim \alpha 2 r^{n-2}$подразумевая$n=-1$для$\alpha = 1$и$n=2$для$\alpha = -1$.

• Для$\beta > 2$потенциальный член превосходит производную, и мы получаем$r^{n-\beta} = 0$. что выполнимо для любого$n > \beta$но тогда решение должно будет обращаться в нуль одинаково во всех порядках, чтобы удовлетворять уравнению (поскольку производная, потенциал и энергия будут иметь разные порядки).

Чтобы понять, как ведет себя энергия, нам нужно перейти к более высоким порядкам.

Например для$\beta = 1$и$n=1$у нас есть

$$\phi(r) = ar + br^2 + cr^3 + o(r^3).$$ Подставляя это в уравнение, мы получаем $$-b - 3cr + \alpha (a + br) = E a r + o(r)$$ и так $b = \alpha a$и $E = -3c/a + \alpha^2$.

Для$\beta = 2$,$\alpha = -1$и$n=2$у нас есть

$$\phi(r) = ar^2 + br^3 + cr^4 + o(r^4)$$ и следовательно $$a + 3br + 12cr^2 - (a + br + cr^2) = Ear^2 + o(r^2)$$ Который означает, что $b = 0$и $E = 11c/a$.

Если мы далее предположили, что$c/a$отрицательно, это даст ответ на ваш вопрос. Я понятия не имею, почему это должно быть правдой, к сожалению. Кто-то может это подтвердить или опровергнуть?