Я пропустил трюк для решения проблемы 3D потенциальной скважины?

Question

Я пропустил трюк для решения проблемы 3D потенциальной скважины?

Мэтт Эллиот

Я играл с трехмерным потенциалом $V$ такой, что $V_{(r)} = 0$ для $r<a$ , и $V_{(r)} = V_0>0$ в противном случае. Используя уравнение Шредингера, я показал, что:

\frac{- ℏ}{2 м} \frac{1}{р^{2}} \frac{г}{г р} (р^{2} \frac{г}{г р}) ψ "=" Е ψ

$\frac{-\hbar}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\bigl( r^2\frac{d}{dr}\bigr)\psi = E\psi$

Затем я использовал замену $\psi_{(r)}=f_{(r)}/r$ и $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ получить:

\begin{matrix} (Я) & \frac{1}{р} \frac{г^{2} ф_{(р)}}{г р^{2}} "=" - \frac{к^{2}}{р} ф_{(р)} \end{matrix}

$\frac{1}{r}\frac{d^2f_{(r)}}{dr^2}=-\frac{k^2}{r}f_{(r)} \tag{I}$

который описывает волновую функцию $\psi_{(r)}=f_{(r)}/r$ внутри сферы. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет область определения $0\leq r<a$ , и я не могу умножить обе части на $r$ . Это печально, потому что для внешней стороны сферы существует аналогичное уравнение:

\frac{1}{р} \frac{г^{2} ф_{(р)}}{г р^{2}} "=" \frac{к^{' 2}}{р} ф_{(р)}

$\frac{1}{r}\frac{d^2f_{(r)}}{dr^2}=\frac{k'^2}{r}f_{(r)}$ Поскольку это вне сферы, я могу умножить обе части на

r

$r$ чтобы получить знакомое дифференциальное уравнение, которое можно легко решить:

\frac{г^{2} ф_{(р)}}{г р^{2}} "=" к^{' 2} ф_{(р)}

$\frac{d^2f_{(r)}}{dr^2}=k'^2f_{(r)}$

Если я сделаю то же самое с $(I)$ , я получаю уравнение для простого гармонического движения, но подставляя решение обратно в $(I)$ как проверка работоспособности дает деление на ноль при оценке для $r=0$ . После этого я попробовал ряд замен, чтобы сделать $(I)$ иметь более узнаваемую форму - бесполезно. Тогда мне пришла в голову идея умножить пробное решение на какую-нибудь другую функцию от $r$ чтобы при замене в $(I)$ , оценка $r=0$ не дает бесконечности... но я не знаю, как это сделать...

Короче говоря..... мой вопрос: какой трюк мне нужен, чтобы получить значимое решение для $(I)$ ?

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com /q/90987/2451

Ответы (1)

Я пропустил трюк для решения проблемы 3D потенциальной скважины?

Связанный: физика.stackexchange.com /q/90987/2451

Qмеханик · Answer 1

И) замена $f=r\psi$ является стандартной заменой для получения радиальной 3D-задачи, похожей на 1D-задачу, см., например, Ref. 1.

II) С точки зрения нормализации волновой функции $\psi(r)$ , а $1/r$ необычность $\psi(r)$ в $r=0$ хорошо, потому что $|\psi(r)|^2$ подавляется фактором Якоби $r^2$ исходя из меры в трехмерных сферических координатах.

III) Однако для того, чтобы сохранить кинетическую энергию $K=\frac{\hbar^2}{2m} \int d^3x~ |\nabla \psi|^2$ конечный, а $1/r$ необычность $\psi(r)$ в $r=0$ неприемлемо, т. е. мы должны отбросить косинусное решение и оставить только синусоидальное. Это соответствует предположению, что волновая функция $\psi(r)$ должно быть ограничено.

Использованная литература:

Д. Гриффитс, Введение в QM, раздел 4.1.3.

Я получаю (I) и (II), но лично я не понимаю пункт (III). 1. Почему $K$ представляет это интегральное выражение? 2. Почему мы заботимся о том, чтобы энергия была конечной в бесконечно малой точке? 3. Мы постоянно используем дельту Дирака для определения потенциалов.
Привет Номено. Спасибо за ответ. 1. Нас здесь интересует интегральная кинетическая энергия $K$ интегрированы в трехмерном пространстве, а не в локальной плотности кинетической энергии как таковой. 2. Если кинетическая энергия $K$ бесконечна, как и полная энергия $E$ . Нас интересуют только состояния с конечной полной энергией $E$ , так как иначе мы не можем произвести их, используя конечный источник энергии в любом реалистичном эксперименте. 3. Хотя дельта-потенциал локально взрывается в точке, интегральная потенциальная энергия должна быть конечной.

Я пропустил трюк для решения проблемы 3D потенциальной скважины?

Мэтт Эллиот

Qмеханик

Ответы (1)

Qмеханик

Ноумен

Qмеханик

Является ли это выражение для радиального потока вероятности в «Современной квантовой механике» Сакураи неправильным?

Для радиально-симметричной волновой функции допускается ли взрыв ΨΨ\Psi при r=0r=0r=0 при условии, что |Ψ|2r2|Ψ|2r2|\Psi|^2r^2 не происходит?

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

2D уравнение Шредингера в полярных координатах - граничные условия в начале координат

Решения уравнения Шредингера в двумерных полярных координатах при нулевом потенциале

Интерпретация граничных условий в нестационарном уравнении Шредингера

Можем ли мы наложить граничное условие на производную волновой функции с помощью физических предположений?

Квантовая свободная частица в сферической координате

Почему уравнение Шредингера так хорошо работает для атома водорода, несмотря на релятивистскую границу на ядре?

С какой скоростью волновая функция обращается в нуль на бесконечности?