Как узнать, является ли волновая функция физически приемлемым решением уравнения Шрёдингера?

Самый минимум, которому должна удовлетворять волновая функция, чтобы быть физически приемлемой, - это то, что она должна быть интегрируемой с квадратом; то есть его$L_2$норма ,

$$\int |\psi(x)|^2\mathrm d x,$$ быть конечным. Это исключает такие функции, как $\sin(x)$, которые имеют ненулевую амплитуду вплоть до бесконечности и функционируют как $1/x$и $\tan(x)$, которые имеют неинтегрируемые особенности.

Однако в наиболее строгом случае необходимо наложить дополнительные условия. Физически подготовленные состояния частицы обозначают функции, непрерывно дифференцируемые до любого порядка и имеющие конечное математическое ожидание любой степени положения и импульса. Таким образом:

• $\psi$должен быть непрерывен всюду.
• Все$\psi$должны существовать производные , и они должны быть непрерывны всюду.
• Ожидаемое значение$\int\psi^*(x) \:\hat x^n \hat p^m \psi(x)\:\mathrm dx$должно быть конечным для всех$n$и$m$.

Это исключает разрывные функции, такие как$\theta(x)$, функции с разрывными производными и функции типа$(1+x^2)^{-1/2}$, которые слишком медленно затухают на бесконечности. Состояния, удовлетворяющие этим условиям, называются «физическими», потому что это состояния, которые можно приготовить с конечной энергией за конечное время. Строго реализовать эти состояния можно с помощью конструкции, известной как Rigged Hilbert Space (см. также учебник Галиндо и Паскуаля по QM).

В повседневной практике большинство людей используют смешанный подход. Требование непрерывности функции никогда не снимается, и требуется, чтобы она была дифференцируема, по крайней мере, почти всюду. Однако, если гамильтониан не является хорошей функцией положения, например, с$\delta$-функциональные или прямоугольные потенциалы, требования иногда ослабляются только до них; это в понимании того, что действительно прерывистый потенциал не является физическим, и что любые проблемы, связанные с высшими производными от$\psi$можно исправить, используя более гладкий гамильтониан.

Если вы говорите о независимом от времени уравнении Шредингера, это не тривиальный вопрос, как может показаться, как предполагают комментарии. Я ограничу ответ одномерным случаем, так как многосвязные области в более высоких измерениях создают некоторые дополнительные проблемы. Не все функции$\psi$которые являются решениями уравнения

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi=E\psi$$ являются действительными. Первое условие состоит в том, что$\psi\in L^2(\Omega)$, где $\Omega\subset \Bbb{R}$является областью определения функции, поскольку она должна быть элементом гильбертова пространства, иначе это не было бы квантовым состоянием.

Требуются более тонкие условия, когда вы смотрите на область определения гамильтониана

$$H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}.$$ В общем случае это будет зависеть от условий, которым удовлетворяет потенциал $V(x)$. Обычно заканчиваются подмножествами пространства Соболева $\mathcal{H}^2(\Omega)$, что ограничивает исходное пространство функциями, у которых производная второго порядка ( слабая -) находится в $L^2(\Omega)$. Если $\Omega$является интервалом (что является обычной установкой), это также можно представить эквивалентным образом как функции, которые вместе со своей производной абсолютно непрерывны и вторая производная которых также находится в $L^2(\Omega)$. Кроме того, когда домен $\Omega$является правильным подмножеством $\Bbb{R}$, граничные условия, которые устанавливаются с помощью физических соображений, играют решающую роль в выборе правильной области $\mathcal{D}(H)$самосопряженности, а значит, и их надо учитывать. Например, условие, что $\psi(0)=\psi(a)=0$для бесконечной квадратной ямы исключает некоторые решения уравнения Шредингера, которые удовлетворяли бы другим условиям.

Если мы иначе посмотрим на зависящее от времени уравнение Шредингера

$$H\psi(t)=i\hbar\partial_t\psi(t), \qquad \psi(0)=\psi_0$$ любая функция $\psi_0\in L^2(\Omega)$может быть начальным условием для системы. Но для $\psi_0 \notin\mathcal{D}(H)$траектория, заданная $\psi(t)=e^{-iHt/\hbar}\psi_0$является лишь слабым решением в том смысле, что это не дифференцируемый путь и что средняя энергия не определена (можно считать бесконечной) для всех $t$, поэтому эти решения можно считать нефизическими.