Является ли это выражение для радиального потока вероятности в «Современной квантовой механике» Сакураи неправильным?

Предположим, что l = 0, поэтому вы не думаете, что это как-то связано с полярными координатами: идеальная сферическая симметрия,$\psi=R_E(r)\equiv \sqrt{\rho (r)} e^{iS(r)}$, для действительных ρ и S , вообще говоря.

Для связанных состояний, таких как атомы, конечно, S обращается в нуль, R реально, как вы заметили, так как E < 0, и эти системы стационарны : они остаются на месте,$\dot{\rho}=0$, без утечки вероятности наружу,$j_r=0$. Атомы стабильны.

Но для состояний рассеяния, конечно, нет: представьте себе сферическую волну ($R\sim e^{irk}/r$, так$j_r=\hbar k/mr^2$), или свободно распространяющийся волновой пакет , ниже.

Таким образом, ток плотности вероятности равен

$$j_r= \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im} \bar{R}\partial_r R= \frac{\hbar}{m} \rho \partial_r S .$$

Уравнение непрерывности,$\dot{\rho}+ j_r(r)=0$тогда подразумевает, что вероятность P в сферическом объеме V с площадью поверхности A уменьшается по мере оттока тока от поверхностной оболочки,

$$\dot{P}=\int dV ~\dot{\rho} = -\oint dA ~j_r.$$

Так, например, для свободно (ноль — сферический потенциал!) диффундирующего гауссова волнового пакета, ненормированного, начиная с квадрата ширины a в начале отсчета времени ( t = 0),

$$R=\left ( \frac{\sqrt{a}}{a+\frac{i\hbar t }{m}} \right )^{3/2} ~\exp \left (-r^2 \frac{a-i\hbar t/m}{2(a^2+\hbar^2t^2/m^2)} \right )~,$$ решительно сложный.

Оценивая приведенную выше плотность тока,

$$j_r= \frac{\hbar}{m} \rho \frac{r\hbar t }{m(a^2+\hbar^2 t^2/m^2 )}= \frac{r t \hbar^2}{m^2 a}\left ( \frac{1}{a+\frac{\hbar^2 t^2 }{m^2 a}} \right )^{5/2} ~\exp \left (-r^2\frac{a}{a^2+\hbar^2t^2/m^2} \right )~,$$ вы проверяете ток и истечение, ослабляя его с помощью r (вероятность сохраняется в оболочке на бесконечности). Для $\hbar t/m \gg a$, а заменяется на $\hbar ^2t^2/m^2 a$, квадрат ширины, растущий до бесконечности, поскольку гауссиана схлопывается до постоянной и локализация полностью теряется.

« квантовая скорость потока» ,

$$\frac{j_r}{\rho}=\frac{r}{t}~\left ( \frac{1}{1+\frac{m^2 a^2}{\hbar^2 t^2}}\right )$$ затем схлопывается до r/t на больших временах.

• Отредактируйте измененный вопрос «где моя ошибка в (2)?» : Опустим ненужные сферические гармоники и т. д., поглотив их как r -константы в члене A , который авторы хотят изгнать. Итак, на моем языке,$\psi \propto R(r)=\sqrt{\rho}e^{iS(r)}\sim A/r^{l+1}$недалеко от происхождения. Из моего выражения,$j_r\sim \frac{\hbar A A^*}{m r^{2l+2}}\partial_r S ,$так что вероятность утечки из оболочки вблизи начала координат равна

  $$4\pi r^2 j_r \propto \frac{\hbar A A^*}{m r^{2l}}\partial_r S \propto r^{-(2l+1)},$$ для разумного S , обращающегося в нуль в начале координат, как вы сталкиваетесь с теорией рассеяния. (Конечно, если S — константа, как в связанных состояниях, она бесполезна и усваиваема, и ответ исчезает.) В результате этого взрыва истечения вы должны отвергнуть это сингулярное решение как нефизическое. Напротив, при l = 0$S=kr$безопасен, представляет собой сферическую волну,$R\sim \exp(irk) /r$.

• Всего в стороне, но пока мы при этом. Для ненулевого l и ненулевого азимутального qn m (не массы!), связанное состояние wf действительно имеет сложное поведение,$\exp(im\phi)$, что приводит к нетривиальной φ -компоненте тока вероятности! Итак, несмотря на то, что вероятность никогда не вытекает из сферической оболочки, существует этот азимутальный поток вероятности, подобный струйному течению, который движется по кругу и по кругу!