Для сферически-симметричной волновой функции вероятность пропорциональна , и если волновая функция взрывается при затем в , и означает, что вероятность пропорциональна и сам по себе было бы неопределенным, однако для непрерывного распределения вероятностей по-прежнему будет иметь определенное значение при определяется пределом как подходы , и для некоторых функций, в которых у вас есть в конкретной точке значение все еще конечно.
Означает ли это, что разрешено взрывать в при условии, что нет?
Да. При условии, что результирующая волновая функция нормализуема. Дело в том, что в полярных координатах радиальная часть лапласиана является особой точкой уравнения при . В зависимости от формы потенциала такие особые точки могут быть в случае предельной точки Вейля или предельной окружности . В последнем случае имеется однопараметрическое семейство граничных условий, которые можно наложить при для которых оператор Шредингера остается самосопряженным. Для трех измерений и для углового момента случае мы находимся в случае предельной точки, и волновая функция должна оставаться конечной. Для случае мы находимся в случае предельного круга, и волновая функция может взорваться при условии, что мы накладываем граничные условия вида
С точки зрения гильбертова пространства самой волновой функции позволено взорваться не только в начале , но и в других точках, если она интегрируема с квадратом.
Теперь, если волновая функция должна удовлетворять TISE, есть дополнительные ограничения.
Если ТИСЭ сферически симметрична, часто полезно использовать сферические координаты, как это делает OP. Дополнительные условия в обсуждается, например, в этом и этом сообщениях Phys.SE.