Как скороподъемность зависит от плотности/барометрической высоты?

Для винтовых самолетов скороподъемность зависит от

• доступная мощность
• требуемая мощность
• масса
• плотность воздуха
• подъемная сила крыла

Пять переменных, и подъемная сила крыла сама по себе является функцией числа Маха, числа Рейнольдса, угла атаки крыла, площади крыла. Доступная мощность зависит от плотности воздуха, положения дроссельной заслонки, угла наклона гребного винта - требуемая мощность зависит от скорости воздуха, плотности воздуха, угла атаки, чисел Маха и Рейнольдса. Таким образом, получается очень большая матрица независимых переменных — чтобы найти уравнения с помощью анализа, нам придется сделать некоторые предположения и упрощения. Например, чтобы вектор тяги самолета оставался достаточно горизонтальным, чтобы$T \cdot sin(\Gamma)$близок к нулю и им можно пренебречь. Кроме того, этот подъем = вес во время подъема.

Тогда для устойчивого набора высоты уравнение веса принимает вид

$$W = C_L \cdot \frac{1}{2} \rho V^2 \cdot S \Rightarrow V = \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{1}{C_L}} \tag{1}$$

Для сопротивления в горизонтальном полете:

$$D_h = C_D \cdot \frac{1}{2}\rho V^2 \cdot S = \frac{C_D}{C_L} \cdot W \tag{2}$$

и потребная мощность в горизонтальном полете$(P_r)_h$становится:

$$(P_r)_h = D_h \cdot V = W \cdot \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{{C_D}^2}{{C_L}^3}} \tag{3}$$

Мощность, необходимая для поддержания скорости набора высоты$C$является$W \cdot C$и доступная мощность$P_a = (P_r)_h + W \cdot C$, следовательно:

$$C = \frac{P_a - (P_r)_h}{W} = \frac{P_C}{W} \tag{4}$$
Объедините (3) и (4):

$$C = \frac{P_a - (P_r)_h}{W} = \frac{P_a}{W} - \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{{C_D}^2}{{C_L}^3}} = \frac{\eta \cdot P_{br}}{W} - \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{{C_D}^2}{{C_L}^3}} \tag{5}$$

На картинке выше показан график$P_{br}$P&W Wasp: функция давления в коллекторе и высоты над уровнем моря. Этот двигатель имел турбокомпрессор для улучшения высотных характеристик, двигатели самолетов GA могут не иметь их. Графики гребных винтов с изменяемым шагом показывают КПД гребного винта.$\eta$около 0,8.

Как это связано с графиком, показанным в ОП:

• Уравнения имеют плотность воздуха$\rho$. Это функция статического давления и температуры: здесь можно найти уравнение для преобразования в статическое давление и наоборот .
• Доступная мощность для поршневого двигателя без наддува уменьшается в зависимости от высоты примерно в соответствии с$\frac{({P_{br}})_h}{({P_{br}})_o} = (1 + c) \frac{\rho_h}{\rho_o}$. Испытания на некоторых американских поршневых двигателях показали, что для многих из них значение$C$= 0,132, см. рисунок ниже, на котором также показана функция высоты и мощности поршневого двигателя с нагнетателем.

Все ссылки и фотографии из университетского лекционного сборника только в бумажном виде.

Скороподъемность зависит от избыточной мощности , доступной после вычитания сопротивления из чистой тяги. Если самолет остается в одной и той же полярной точке при наборе высоты, ему необходимо ускориться, чтобы компенсировать уменьшение плотности воздуха. Следовательно, помимо сопротивления необходимо также вычесть эту работу ускорения, прежде чем оставшуюся тягу можно будет использовать для набора высоты.

Сначала уточним термины:

Икс$_g$, у$_g$, г$_g$: Земная система координат
x$_f$, у$_f$, г$_f$: Фиксированная система координат самолета
x$_k$, у$_k$, г$_k$: Кинетическая система координат, где x — направление движения
L$\;\;$: Подъем
D$\;\;$: Перетащите
T$\;\;$: Тяга
м$\;\:$: масса
$\alpha\;\;$: Угол атаки (между осями абсцисс неподвижной и кинетической систем координат)
$\gamma\;\;$: Угол траектории полета (между осями абсцисс земной и кинетической систем координат)
$\sigma\;\:$: Угол тяги относительно фиксированной системы координат самолета.
$v_{\infty}$: Воздушная скорость

Полярная точка должна соответствовать оптимальной скорости набора высоты . Есть еще один для оптимального угла набора высоты , но это упрощение оправдано. Это также помогает упростить расчеты, поскольку винтовые самолеты лучше всего набирают высоту в полярной точке, где для поддержания полета требуется минимальная мощность. Это в

$$c_L = \sqrt{3\cdot c_{D0}\cdot AR\cdot\pi\cdot\epsilon}$$ с
$c_L\;\;$: Коэффициент подъемной силы
$c_{D0}$: Коэффициент аэродинамического сопротивления при нулевой подъемной силе
$AR$: Соотношение сторон крыла
$\epsilon\;\;$: КПД крыла

Коэффициент лобового сопротивления винтовых самолетов при нулевой подъемной силе составляет от 0,025 до 0,04, причем высокое значение у самолетов с фиксированным шасси и меньшее у самолетов с убирающимся шасси. Оно немного увеличивается с высотой из-за уменьшения числа Рейнольдса из-за падения температуры. Здесь вам нужно выбрать значение, подходящее для каждого конкретного самолета.

Пребывание в одной и той же полярной точке также означает, что вес будет влиять только на скорость, при которой самолет лучше всего набирает высоту, а не на коэффициент подъемной силы. Скорость$v$изменится пропорционально квадратному корню из разницы в весе, потому что

$$v = \sqrt{\frac{m\cdot g}{\frac{\rho}{2}\cdot S_{ref}\cdot c_L}}$$ с $S_{ref}$является опорной зоной самолета и $\rho$плотность воздуха.

Рядом с корректирующим термином$C$для ускорения. Это зависит от местной скорости звука, газовой постоянной для влажного воздуха$R_h$и температурный градиент (градиент$\Gamma$) атмосферы. Этот ответ подробно объясняет, как он рассчитывается, и я повторяю здесь только результат для стандартных атмосферных условий:

$$C = 1 - 0.13335\cdot Ma^2 + \frac{(1+0.2\cdot Ma^2)^{3.5}-1}{(1+0.2\cdot Ma^2)^{2.5}}$$ с $Ma$отношение скорости полета к локальной скорости звука.

Теперь ваша скорость набора высоты$v_z$становится

$$v_z = \frac{v}{C}\cdot sin\gamma = \frac{v}{C}\cdot\frac{T\cdot cos(\sigma)-D}{m\cdot g} = \frac{P\cdot\eta_{prop}\cdot cos(\sigma) - D\cdot v}{C\cdot m\cdot g}$$ с $\eta_{Prop}$КПД гребного винта и $P$мощность моторного тормоза на заданной высоте и положении дроссельной заслонки.

Это оставляет кучу неизвестных переменных для правильного расчета скороподъемности:

• мощность двигателя
• коэффициент аэродинамического сопротивления самолета при нулевой подъемной силе
• КПД гребного винта

Таким образом, будет лучше найти возможные скорости набора высоты на нескольких высотах и ​​настройках мощности для каждого POH и выполнить интерполяцию между этими значениями. Или вы соглашаетесь на приближение и используете эмпирические значения для неизвестных параметров.

• за$\epsilon$предположим 0,8
• за$\sigma$считать нулевым
• за$c_{D0}$принять 0,026 на малой высоте и 0,03 на большой высоте для убранного шасси и 0,035 на малой и 0,04 на большой высоте для фиксированного шасси.
• за$D$использовать$\left(c_{D0} + \frac{c_L^2}{AR\cdot\pi\cdot\epsilon} \right) \cdot\frac{\rho\cdot v^2\cdot S_{ref}}{2}$
• за$\eta_{Prop}$используйте 0,75 для винта с фиксированным шагом и 0,8 для винта с постоянной скоростью.
• для двигателей без наддува уменьшайте мощность пропорционально плотности. Для двигателей с турбонаддувом предполагается постоянная мощность до их критической высоты и уменьшение мощности пропорционально плотности выше этой. Позвольте пользователям вашей программы самостоятельно установить настройку дроссельной заслонки.

Там, где у вас есть графики производительности, сравните свои результаты с опубликованными цифрами и настройте переменные так, чтобы получить хорошее соответствие. Например, посмотрите опубликованную оптимальную скорость набора высоты и отрегулируйте$c_{D0}$пока ваш результат, взятый из оптимального коэффициента подъемной силы, не совпадет. И так далее. Это должно дать вам очень полезные результаты.