Уравнение собственных значений кинетической и потенциальной энергии

В верхней части рисунка имеем$\:n+1\:$идеальные пружины и$\:n\:$частицы в равновесии. Константы пружин равны$\:k_{\rho}\: (\rho=1,2,\cdots, n+1) \:$с равновесными длинами$\:\ell_{\rho}\:(\rho=1,2,\cdots, n+1 )\:$и массы частиц$\:m_{\rho}\:(\rho=1,2,\cdots, n)$. Выводя систему из этого равновесия, уравнение движения частицы$\:m_{\rho}\:$является

$$\begin{equation} m_{\rho}\ddot{x}_{\rho} =-k_{\rho}\left(x_{\rho}-x_{\rho-1} \right)+k_{\rho+1}\left(x_{\rho+1}-x_{\rho} \right) \tag{01} \end{equation}$$

где$\:x_{\rho}(t)\:$смещение этой частицы от положения равновесия см. в середине приведенного выше рисунка. Мы устанавливаем$\:x_{0}(t)=0\:$и$\:x_{n+1}(t)=0\:$для крайних неподвижных точек A и B соответственно.

Уравнение (01) можно записать как

$$\begin{equation} m_{\rho}\ddot{x}_{\rho}-k_{\rho}x_{\rho-1} +\left(k_{\rho}+k_{\rho+1} \right)x_{\rho}-k_{\rho+1}x_{\rho+1}=0 \tag{02} \end{equation}$$

или

$$\begin{equation} \mathrm{M}\ddot{\mathbf{x}}+\mathrm{K}\mathbf{x}=0 \tag{03} \end{equation}$$

где

$$\begin{equation} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n} \tag{04} \end{equation}$$

$\:\mathrm{M}\:$в$\:n \times n\:$диагональная матрица

$$\begin{equation} \mathrm{M}= \begin{bmatrix} m_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & m_{2} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_{3} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & m_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & m_{n} \end{bmatrix} \tag{05} \end{equation}$$ и$\:\mathrm{K}\:$в$\:n \times n\:$трехдиагональная симметричная матрица

$$\begin{equation} \mathrm{K}= \begin{bmatrix} (k_{1}+k_{2}) & -k_{2} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -k_{3} & (k_{3}+k_{4}) & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & (k_{n-1}+k_{n}) & -k_{n} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -k_{n} & (k_{n}+k_{n+1}) \end{bmatrix} \tag{06} \end{equation}$$

Уравнение (03) дает

$$\begin{equation} \ddot{\mathbf{x}}+\left(\mathrm{M}^{-1}\mathrm{K}\right)\mathbf{x}=0 \tag{08} \end{equation}$$

или

$$\begin{equation} \ddot{\mathbf{x}}+\mathrm{S}\mathbf{x}=0, \qquad \mathrm{S}\equiv \mathrm{M}^{-1}\mathrm{K} \tag{09} \end{equation}$$

Сейчас если$\:\mathrm{S}=\mathrm{M}^{-1}\mathrm{K}\:$диагонализируется с собственными значениями$\:\lambda_{\rho}\:(\rho=1,2,\cdots, n)$и$\:\mathrm{P}\:$обратимая матрица, которая диагонализует ее тогда

$$\begin{equation} \mathrm{P}^{-1}\mathrm{S} \mathrm{P} = \rm{diag}\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right) \tag{10} \end{equation}$$ Определение $$\begin{equation} \mathbf{y}\equiv\mathrm{P}^{-1}\mathbf{x} \tag{11} \end{equation}$$ и умножив (09) на$\:\mathrm{P}^{-1}\:$, у нас есть $$\begin{equation} \ddot{\mathbf{y}}+\left(\mathrm{P}^{-1}\mathrm{S} \mathrm{P}\right)\mathbf{y}=0 \tag{12} \end{equation}$$

то есть$\:n \:$ независимые дифференциальные уравнения

$$\begin{equation} \ddot{y}_{\rho}+\lambda_{\rho}y_{\rho}=0, \quad \rho=1,2,\cdots, n \tag{13} \end{equation}$$ Обратите внимание, что, взяв внутренний продукт (03) со «скоростью»$\:n-$вектор$\:\dot{\mathbf{x}} \:$ $$\begin{equation} \dot{\mathbf{x}}= \begin{bmatrix} \dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\\ \dot{x}_{3}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n-1}\\ \dot{x}_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n} \tag{14} \end{equation}$$

у нас есть

$$\begin{equation} \langle\mathrm{M}\ddot{\mathbf{x}},\dot{\mathbf{x}}\rangle+\langle\mathrm{K}\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}\rangle=0 \tag{15} \end{equation}$$

это уравнение сохранения энергии

$$\begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d}t }\left[\frac12\langle\mathrm{M}\dot{\mathbf{x}},\dot{\mathbf{x}}\rangle+\frac12\langle\mathrm{K}\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle\right]=0 \tag{16} \end{equation}$$

связанные с вопросом.

Для частного случая общей постоянной пружины$\:k_{\rho}=k \: (\rho=1,2,\cdots, n+1) \:$и общая масса частицы$\:m_{\rho}=m \: (\rho=1,2,\cdots, n) \:$, уравнение (08) дает

$$\begin{equation} \ddot{\mathbf{x}}+\omega_{o}^{2}\,\mathrm{\Xi}\,\mathbf{x}=0 \tag{17} \end{equation}$$

где

$$\begin{equation} \omega_{o}\equiv \sqrt{\dfrac{k}{m}}= \textrm{fundamental frequency} \tag{18} \end{equation}$$

и$\:\mathrm{\Xi}\:$следующее$\:n \times n\:$трехдиагональная симметричная матрица (частный случай так называемых тёплицевых матриц)

$$\begin{equation} \mathrm{\Xi}= \begin{bmatrix} 2& -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2& \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1& 2 \end{bmatrix} \tag{19} \end{equation}$$ с действительными положительными собственными значениями

$$\begin{equation} \xi_{\rho}= 4\sin^{2}\left[ \rho\dfrac{\pi}{2(n+1)} \right]=2\Bigg(1-\cos\left[ \rho\dfrac{\pi}{(n+1)} \right]\Bigg), \quad \rho=1,2,\cdots, n \tag{20} \end{equation}$$

и собственные векторы ⁽¹⁾ $\:\mathbf{e}_{\rho}\:$с$\:\sigma-$компонент

$$\begin{equation} \left(\mathbf{e}_{\rho} \right)_{\sigma}=\sqrt{\dfrac{2}{n+1}}\sin\left( \rho \sigma \dfrac{\pi}{n+1} \right) , \quad \rho,\sigma=1,2,\cdots, n \tag{21} \end{equation}$$ В этом частном случае система независимых уравнений (13) имеет вид

$$\begin{equation} \ddot{y}_{\rho}+\left(\xi_{\rho}\omega_{o}^{2}\right)y_{\rho}=0, \quad \rho=1,2,\cdots, n \tag{22} \end{equation}$$

то есть :

Движение системы$\:n\:$частицы одинаковой массы$\:m\:$связано$\:n+1\:$идеальные пружины той же постоянной$\:k\:$, см. рисунок выше, является суперпозицией$\:n\:$независимые гармонические колебания с частотами

$$\begin{equation} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\omega_\rho=\sqrt{\xi_{\rho}}\omega_o=2\omega_o \sin\left[\rho\dfrac{\pi}{2(n+1)} \right],\:\:\omega_{o}\equiv \sqrt{\dfrac{k}{m}} , \:\: \rho=1,2,\cdots,n-1,n \tag{23} \end{equation}$$ как показано на рисунке ниже.

^{(1) Любой$\:n \times n\:$трехдиагональная симметричная матрица Теплица имеет те же собственные векторы !!!}

РЕДАКТИРОВАТЬ

Для других более общих случаев полезная теорема из «Теории матриц» Джоэла Н. Франклина приведена ниже без изменений:

---

Теорема Пусть$\:\mathrm{M}\:$и$\:\mathrm{K}\:$быть$\:n \times n\:$Эрмитовы матрицы. Если$\:\mathrm{M}\:$положительно определенный, то$\:n \times n\:$матрица$\:\mathrm{C}\:$для которого

$$\begin{equation} \mathrm{C}^{*}\mathrm{M}\mathrm{C}=\mathrm{I} \quad \textrm{and} \quad \mathrm{C}^{*}\mathrm{K}\mathrm{C}=\Lambda= \rm{diag}\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right) \tag{t-17} \end{equation}$$

Цифры$\:\lambda_{j}\:$реальны. Если$\:\mathrm{K}\:$положительно определена, т.$\:\lambda_{j}\:$являются положительными. $\:\lambda_{j}\:$являются обобщенными собственными значениями, удовлетворяющими

$$\begin{equation} \mathrm{K}\,c^{j}=\lambda_{j}\,\mathrm{M}\,c^{j}, \quad c^{j}\ne 0 \quad (j=1,\cdots, n) \tag{t-18} \end{equation}$$

Если$\:\mathrm{K}\:$и$\:\mathrm{M}\:$действительны, то действительная матрица$\:\mathrm{C}\:$, со столбцами$\:c^{j}\:$, могут оказаться удовлетворяющими (t-17) и (t-18).

---