Как ньютоновская механика объясняет, почему объекты, находящиеся на орбите, не падают на объект, вокруг которого они вращаются?

Ньютоновская механика объясняет, что они падают на объект, вокруг которого вращаются, просто продолжают промахиваться.

---

Быстрый и грязный вывод для круговой орбиты.

Пусть первичка имеет массу$M$и масса спутника$m$такой, что$m \ll M$(это можно сделать и для других случаев, но это экономит математику).

Предположим, мы начинаем с начальной круговой орбиты радиусом$r$, скорость$v = \sqrt{G\frac{M}{r}}$. Ускорение спутника под действием силы тяжести равно$a = G\frac{M}{r^2}$что означает, что мы также можем написать$v = \sqrt{\frac{a}{r}}$. Период обращения равен$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r}{a}}$.

Выберите систему координат, в которой начальное положение$r\hat{i} + 0\hat{j}$и точки начальной скорости в$+\hat{j}$направление. Выбрал короткое время$t \ll T$и давайте посмотрим, как далеко от основного спутника окажется по прошествии этого времени.

Если мы выбрали$t$достаточно коротко, мы можем аппроксимировать гравитацию как имеющую одинаковую силу в течение периода времени (позже мы покажем, что это оправдано).

Новая позиция$\left(r - \frac{1}{2}at^2\right)\hat{i} + vt\hat{j}$что лежит на расстоянии

$$r_2 = \sqrt{r^2 - r a t^2 + \frac{1}{4}a^2 t^4 + v^2 t^2}$$ потянув наш фактор $r$мы получаем $$r_2 = r \sqrt{1 - \frac{a}{r} t^2 + \frac{1}{4}\frac{a^2}{r^2} t^4 + \frac{v^2}{r^2} t^2}$$ и преобразовать все $\frac{a}{r}$а также $\frac{v}{r}$членов в выражения периода, мы получаем $$r_2 = r \sqrt{1 - \left(2\pi\frac{t}{T}\right)^2 + \frac{1}{4}\left(2\pi\frac{t}{T}\right)^4 + \left(2\pi\frac{t}{T}\right)^2}$$ Наконец, мы опускаем $(t/T)^4$термин пренебрежимо мал, и обратите внимание, что $(t/T)^2$условия отменяются, так что результат $$r_2 = r$$ или радиус никогда не менялся (что оправдывало постоянную величину ускорения и достаточно малое $t$оправдывает как постоянное направление, так и опускание члена четвертой степени).

Сила тяжести имеет мало общего с трением. Как говорит Дмки, происходит то, что тело падает, но именно потому, что у него достаточно импульса, оно падает вокруг объекта, к которому оно притягивается, а не внутрь него. Конечно, это не всегда так, столкновения случаются. Кроме того, системы астрономических тел сложны, и комбинированный эффект воздействия нескольких различных тел на одно может дестабилизировать траектории, которые в простом случае с двумя телами были бы стабильными эллипсами. Результатом может быть столкновение или побег тела.

Однако в случае двух тел решающим аспектом гравитации, гарантирующим стабильность системы, является тот факт, что гравитация является центростремительной силой . Он всегда действует по направлению к центру другой тяготеющей массы. Можно показать, что эта особенность подразумевает сохранение углового момента , а это означает, что если система из двух тел изначально имела некоторый угловой момент, она будет сохранять один и тот же угловой момент бесконечно.

(Дополнительное примечание: даже в случае с двумя телами могут быть столкновения и уход в бесконечность, во-первых, если не хватает углового момента (например, одно тело имеет скорость, направленную к другому телу, как яблоко, падающее с дерева ), другой, если угловой момент слишком велик, что приводит к параболическим или гиперболическим траекториям.)

Я всегда думаю об этом так: гравитация и центробежная сила, создаваемая объектом, движущимся по орбите, точно уравновешены. Если вы привяжете веревку к объекту и будете крутить ее вокруг себя, центробежная сила будет тянуть веревку. Вы отстраняетесь с той же силой, чтобы объект продолжал вращаться вокруг вас. Это именно то, что гравитация делает с объектами на орбите.

Вы также можете видеть, что скорость объекта вынуждает его двигаться по определенной орбите. Если объект замедлится, он упадет и либо достигнет новой более низкой орбиты, либо врежется в объект, вокруг которого вращается.