Отличается ли гравитационное замедление времени от других форм замедления времени?

Нет, гравитационное замедление времени ничем не отличается от других форм замедления времени. Все они проистекают из инвариантности линейного элемента .

Если мы выберем некоторые координаты,$x^i$, то элемент строки определяется как:

$$ds^2 = g_{ab}dx^adx^b \tag{1}$$

где матрица$g_{ab}$называется метрическим тензором . Как в ОТО, так и в СТО линейный элемент является инвариантом, то есть все наблюдатели во всех системах координат будут вычислять одно и то же значение для$ds$.

Предположим, я использую некоторый набор координат$(t, x, y, z)$для расчета линейного элемента с помощью уравнения (1). Мы пока остановимся на SR, где$g$это всего лишь метрика Минковского , так что я получаю (использую обычный трюк установки$c = 1$):

$$ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Теперь предположим, что вы делаете то же вычисление в координатах кадра покоя.$(t', x', y', z')$. По определению, в вашем кадре покоя$dx' = dy' = dz' = 0$, поэтому вы должны рассчитать:

$$ds^2 = -dt'^2 \tag{2}$$

Поскольку мы оба должны договориться о ценности$ds^2$мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2), чтобы получить:

$$-dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 = -dt'^2$$

Если какой-либо из$dx$,$dy$или же$dz$отличны от нуля, т.е. если вы каким- либо образом двигаетесь в моей системе координат, это означает, что:

$$dt \ne dt'$$

и поэтому наши измерения прошедшего времени не будут совпадать. Вот почему мы получаем замедление времени. Во вводных работах по СТО вы увидите замедление времени, рассчитанное с использованием различных расположений световых лучей и зеркал, но это основная причина, по которой оно происходит.

Я использовал приведенный выше пример SR, потому что метрический тензор является диагональным, а все элементы$-1$или же$1$, так что легко записать выражение для$ds^2$. В ОТО метрика может быть не диагональной (часто можно выбрать координаты там, где она есть), и значения элементов в метрике обычно будут функциями положения. Однако работа точно такая же. Мы бы пришли к выводу, что$dt \ne dt'$точно таким же образом.

Поскольку вы специально спрашивали о замедлении времени и центробежной силе, давайте проведем расчет в явном виде. Предположим, вы вращаетесь вокруг оси со скоростью$v$в радиусе$r$и я наблюдаю за вами из центра. Я собираюсь измерить ваше положение с помощью полярных координат$(t, r, \theta,\phi)$, а в полярных координатах интервал между строками определяется как (я ухожу$c$в уравнении на этот раз):

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Обратите внимание, что это просто плоское пространство, то есть метрика Минковского, в полярных координатах. Мы используем метрику плоского пространства, потому что вокруг нет масс, способных искривлять пространство-время (предположим, что мы с вами сидели на диете :-). Мы можем выбрать наши оси, чтобы вы вращались в плоскости$\theta = \pi/2$, и вы движетесь с постоянным радиусом, так что оба$dr$а также$d\theta$равны нулю. Метрика упрощается до:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + r^2d\phi^2$$

Мы можем упростить это еще больше, потому что в моем кадре вы двигаетесь со скоростью$v$так$d\phi$дан кем-то:

$$d\phi= \frac{v}{r} dt$$

и поэтому:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + v^2dt^2 = (v^2 - c^2)dt^2$$

В вашем кадре вы отдыхаете, так что$ds^2 = -c^2dt'^2$, и приравнивая это к моему значению для$ds^2$дает:

$$-c^2dt'^2 = (v^2 - c^2)dt^2$$

или же:

$$dt'^2 = (1 - \frac{v^2}{c^2})dt^2$$

или же:

$$dt' = dt \sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma}$$

в котором вы должны сразу распознать обычное выражение для замедления времени в СТО. Обратите внимание, что центростремительная сила/ускорение не фигурирует в этом выражении. Замедление времени происходит только из-за наших относительных скоростей, а не из-за вашего ускорения по направлению к оси вращения.

Наконец, поскольку я сказал, что нет никакой разницы между гравитационным и другими формами замедления времени, я должен обосновать это, доказав, что приведенный выше расчет специальной теории относительности работает таким же образом для комбинированного гравитационного и связанного со скоростью замедления времени. В частности, мы рассчитаем замедление времени для объекта на орбите вокруг черной дыры. Это оказывается простым, показывая, насколько мощной является эта техника. Все, что нам нужно знать, это то, что метрика черной дыры :

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2GM}{c^2r}}+r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$$

Действуем как и перед установкой$dr = d\theta = 0$а также$\theta = \pi/2$получить:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + r^2 d\phi^2$$

Орбитальная скорость:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

и как прежде мы можем переписать$d\phi$в качестве:

$$d\phi = \frac{v}{r}dt = \frac{\sqrt{GM/r}}{r} dt$$

и подставив это в нашу метрику, получим:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{GM}{r}dt^2$$

Как и прежде, в системе покоя вращающегося тела имеем$ds^2 = -c^2dt'^2$, и приравняв это указанному выше значению для$ds^2$дает:

$$-c^2dt'^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{GM}{r}dt^2$$

что упрощает до:

$$dt' = \sqrt{1-\frac{3GM}{c^2r}}dt = \sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}dt$$

куда$r_s$радиус Шварцшильда:$r_s = 2GM/c^2$.

И, что обнадеживает, именно такой результат дает Википедия для замедления времени объекта на круговой орбите .

Это то, что я хочу, чтобы вы убрали. Как только вы поймете основной принцип, согласно которому линейный элемент является инвариантом, вы сможете использовать его для расчета замедления времени для любого объекта, независимо от того, находится он в гравитационном поле или нет, движется он или нет. На самом деле, как я только что продемонстрировал, понимание этого основного принципа открывает двери для понимания как общей теории относительности, так и специальной теории относительности. Вот как это важно!

Конечно, круговые наблюдатели наблюдают замедление времени. Рассмотрим мировую линию кругового наблюдателя в плоском пространстве-времени. Мы сразу знаем относительно «неподвижного» наблюдателя, что пространственные координаты такого наблюдателя будут

$$\begin{align} x&= r\cos\left(\omega\,\tau\right)\\ y&= r\sin\left(\omega\,\tau\right) \end{align}$$

для некоторого параметра$\tau$. Давайте просто назовем это подходящим временем.

Потом, вспомнив, что$-1 = -{\dot t}^{2} + {\dot x}^{2} +{\dot y}^{2} + {\dot z}^{2}$, для этого пути имеем:

$$\begin{align} -1 &= -{\dot t}^{2} + r^{2}\omega^{2}\sin^{2}\left(\omega\,\tau\right) + r^{2}\omega^{2}\cos^{2}\left(\omega\,\tau\right)\\ 1&= {\dot t}^{2} - r^{2}\omega^{2}\\ \dot t &= \sqrt{1 + r^{2}\omega^{2}}\\ t &= \tau\sqrt{1 + r^{2}\omega^{2}} \end{align}$$

Сравните это с формулой ОТО для гравитационного набора времени (в стационарной точке).$t = \tau/\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}$

Таким образом, если вы вращаетесь по кругу радиусом$R$в пустом пространстве у вас есть замедление времени, эквивалентное остановке в радиусе$r$от гравитационного тела массы$M$если вы вращаетесь с угловой скоростью:

$$\begin{align} 1 + R^{2}\omega^{2} &= \frac{rc^{2}}{rc^{2} - 2GM}\\ R^{2}\omega^{2} &= \frac{2GM}{rc^{2} - 2GM}\\ \omega &= \frac{1}{R}\sqrt{\frac{2GM}{rc^{2} - 2GM}} \end{align}$$

Насколько это «эквивалентно», очевидно, подлежит обсуждению, поскольку все остальное будет ощущаться по-другому. Но вы, безусловно, можете получить такое же замедление времени кинетически.

Гравитация — это сила инерции, а система отсчета — Пространство-время. Итак, гравитационное замедление времени и замедление времени из-за ускоренного кадра — одно и то же.

И да, вы можете воссоздать такое же замедление времени, используя центробежную силу.

Что ж, ответ «нет» , замедление времени всегда имеет один и тот же эффект и происходит из-за скорости! Действительно, когда объект находится в гравитационном поле, он падает. Даже когда вы сидите на стуле, вы попадаете в гравитационное поле Земли, иначе вы парили бы в воздухе, как на МКС! Приравняем коэффициенты замедления времени специальной и общей теории относительности, где$R_S$радиус Шварцшильда:

$$\begin{equation} \Delta t'=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{R_{S}}{r}}}\label{eq:time dilation compared-1-1} \end{equation}$$ следовательно $\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{R_{S}}{r}\Longrightarrow v^{2}=\frac{2GM}{r}\label{eq:time dilation compared-2-1}$а также $v=\sqrt{2rg}=\sqrt{2V}$, куда $V$есть гравитационный потенциал. Поэтому мы приводим в доказательство соотношение, которое связывает скорость и гравитацию в релятивистском замедлении времени (как в СТО, так и в ОТО): $$\begin{equation} v=\sqrt{2V} \end{equation}$$ Представление о замедлении времени всегда из-за скорости также объясняет, почему в условиях искусственной гравитации (например, в гипотетическом вертикально ускоряющемся космическом лифте) мы испытаем как ощущение естественной гравитации, так и «замедление времени», хотя естественной гравитации нет.
Если вы любите гравитацию и относительность, я бы добавил, что искривленное пространство-время дает количественно точные результаты, но «качественно» (я думаю) это неверная концепция. Нет искривленного пространства-времени, но есть жидкий квантовый вакуум. Релятивистские эффекты те же: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01423134v6

Интересная тема, представьте себе следующий тест на замедление времени.

1. Два синхронизированных атомных часа, одни на Земле, другие в корабле, летящем на Луну с астронавтами. Астронавты сообщают состояние своих часов на Землю.

2. Четыре точки измерения, сравнение часов:

   A. Перед началом поездки (показывает одинаковое время)

   Б. После полного разгона старт в космосе к Луне.

   C. Перед запуском тормозов (перед торможением) при сближении с луной.

   Д. После посадки на Луну.

Я на 99,9% уверен, что в точке Б будет существенная разница во времени между часами. Между точками B и C практически ничего не происходит (нет замедления времени). После точки D произошла еще одна значительная разница во времени.

Другими словами, я бы съел свою шляпу, если бы замедление времени не всегда вызывалось силой (ускорение, замедление, близость к массивной материи), действующей на материю, и никогда не может произойти при простом движении в «пустом» пространстве. Мюоны, да, они живут дольше из-за замедления, вызванного трением в земной атмосфере (которое имеет тот же эффект замедления времени, что и ускорение).

Концепция пространства-времени работает как чисто математическая структура, но она похожа на фокусировку на тени в комнате с физическим движущимся объектом.

Замедление времени — это физическое явление, связанное с силовым полем, которое замедляет частицы системы. Когда взаимодействия частиц происходят с более низкой частотой, время эффективно замедляется. Механика этого неизвестна. Из этого эффекта возникает время, оно не «плавает» в пространстве как измерение.