Это веселый, качественный квалификационный экзаменационный вопрос. Алгебра не сложная; физическое озарение требует серьезного размышления; есть много способов быть частично правым. Вот мой взгляд на это.

Ускорение

Из уравнения Эйнштейна$E^2 = p^2 + m^2$мы имеем для каждого фотона$E = p = hf_0$(в системе отсчета лазера). Мы можем использовать мощность лазера$P_0$чтобы найти скорость, с которой испускаются отдельные фотоны:

$$P_0 = \dot N_0 hf_0.$$ (извините, что пишу$\dot N$скорее, чем$dN/dt$.) Полная сила, создаваемая лазером, является производной по времени от его импульса, которая является производной по времени от его энергии, которая является просто мощностью, $$F = \dot p = \dot E = P_0,$$ а поскольку импульс лазера должен исходить от ракеты, мы получаем ее ускорение$a = P_0/m_0$. Вам придется придерживаться некоторых$c$s обратно, чтобы размеры вышли правильными.

Полученная мощность

Если ракета удаляется от Земли с постоянной скоростью$\beta = v/c$, с соответствующим релятивистским фактором$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$, на мощность, получаемую на Земле, влияют три фактора:

1. Частота каждого фотона смещена в красную сторону$f = f_0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$.
2. Время на ракете будет увеличено, что уменьшит скорость испускания фотонов до$\dot N = \dot N_0 / \gamma$.
3. Каждый фотон, испускаемый ракетой, должен вернуться на Землю немного дальше. Если время между выбросами фотонов (в системе отсчета Земли) равно$\Delta t = 1 / \dot N$, каждый фотон должен пройти$\Delta x = v \Delta t$дальше последнего, добавляя дополнительную задержку$\Delta x / c$к своей поездке. Таким образом, интервал между попаданием фотонов на Землю равен $$\Delta t' = \Delta t \cdot (1 + \beta) .$$ Таким образом , скорость , с которой фотоны достигают Земли, равна$\dot N' = 1 / \Delta t'$.

Объединяя их, мы получаем силу, полученную на Земле

$$P' = \dot N' hf = \frac{P_0}{\gamma(1+\beta)}\sqrt\frac{1-\beta}{1+\beta} % = \frac{P_0}{\gamma^2(1+\beta)^2} = P_0 \frac{1-\beta}{1+\beta} .$$

В задачах относительности всегда можно получить идентичные результаты, используя классические электромагнитные поля для света вместо фотонов, с векторами Пойнтинга, переносящими импульс, и т. д. Я бы не знал, как поступить в этом случае.

Окончательная масса покоя

Эта часть не была сразу очевидна для меня. Беспорядочный вариант — попытаться интегрировать выражение из предыдущего раздела; это, вероятно, требует предположений о временном профиле ускорения. Обычно, когда вы знаете только начальные и конечные условия проблемы, сохранение энергии является хорошей стратегией. Я потерял некоторое время, прежде чем вспомнил об использовании сохранения импульса.

Мы знаем, что конечный импульс ракеты$p_f = \gamma_f v_f m_f$, и что суммарный импульс ракеты и ее лазерного выхлопа в начальной системе покоя равен нулю. Затем, снова используя уравнение Эйнштейна, мы имеем группу обратно идущих фотонов с полной энергией

$$E_{\text{exhaust}} = \left|-p_f\right|$$ и ракета с полной энергией $$E_{\text{rocket}}^2 = p_f^2 + m_f ^2.$$ Если мы предположим, что никакая мощность лазера не была потрачена впустую в виде тепла, эти компоненты должны в сумме составлять первоначальную массу покоя ракеты,

$$\begin{align} p_f + \sqrt{p_f^2 + m_f^2} &= m_0 \\ m_f \left( \gamma_f v_f + \sqrt{\gamma_f^2 v_f^2 + 1} \right) &= m_0 \\ m_f \left( \gamma_f v_f + \gamma_f \right) &= m_0 \\ m_f &= m_0 \sqrt{\frac{1-v_f}{1+v_f}} \end{align}$$

На самом деле этот результат также сохраняется, если источник питания лазера неэффективен, пока ракета теплоизолирована, так что все фотоны тепловых отходов испускаются в том же направлении, что и выхлоп - хвост ракеты горячий, головка ракеты холодный. Если есть прямое тепловое излучение, то оно будет сложным образом фокусироваться в прямом направлении, и проблема становится намного сложнее.

Редактировать

Судя по комментариям, я придерживался наивного классического взгляда на импульс, и это неверный ответ. Тем не менее, я оставляю это для тех, кто испытывает искушение думать так же.

Оригинал

Отдача? Из безмассовых фотонов? Как вы понимаете?

а) Мгновенное ускорение:$0\ m/s^2$

б) Мощность:$P_0$

в) никогда не дойдет$0.9c$, а если бы это было так, то масса покоя была бы такой же,$m_{rocket}$

Используем уравнение ракеты Циолковского:$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m_1}$ https://en.wikipedia.org/wiki/Циолковский_ракета_эквация

Где:$v$= скорость выхлопа (с),$m_0$= начальная масса,$m_1$= конечная масса.

Так$\Delta v = c \ln \frac {m_{rocket}} {m_{rocket}} = c \ln 1 = c * 0 = 0$

Или как насчет сохранения импульса?

$\Delta Momentum_{laser beam} = \Delta Momentum_{rocket}$

$m_{laser}*\Delta v_{laser} = m_{rocket}*\Delta v_{rocket}$

$0 * c = m_{rocket}*\Delta v_{rocket}$

$\Delta v_{rocket} = 0$

Поэтому, если он изначально находился в покое, он останется в покое.

Мощность не равняется тяге - в этом случае лазер будет просто производить тепло по отношению к ракете.