Почему классический путь дает доминирующий вклад в интеграл по путям?

В классическом пределе$\hbar\to 0$, это всего лишь приближение ВКБ/стационарной фазы .

1. Эвристически вблизи стационарной конфигурации поля$\phi_0$с

   $$\left. \frac{\delta S[\phi]}{\delta\phi}\right|_{\phi_0}~=~0\tag{1}$$ в пространстве конфигурации поля действие $$S[\phi]~=~S[\phi_0]+{\cal O}\left((\phi-\phi_0)^2\right)\tag{2}$$ изменяется медленно, поэтому фазовые множители$\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi]\right)$из соседних конфигураций поля суммируют и дают вклад; вдали от стационарной конфигурации поля$\phi_0$, действие быстро меняется, а фазы соседних конфигураций поля некоррелированы и в среднем сокращаются.

2. Пертурбативно, вблизи каждой стационарной конфигурации поля$\phi_0$, параметризуем поле

   $$\phi^k~=~\phi^k_0+\sqrt{\hbar}\eta^k\tag{3}$$ в терминах поля квантовых флуктуаций$\eta^k$. Тогда аргумент экспоненты читается$^1$ $$\begin{align}\frac{i}{\hbar}S[\phi]~=~&\frac{i}{\hbar}S[\phi_0] ~+~ \frac{i}{2}H_{k\ell}[\phi_0]~\eta^k\eta^{\ell} \cr &~+~ {\cal O}(\sqrt{\hbar}),\end{align}\tag{4}$$ где $$H_{k\ell}[\phi]~:=~ \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^k\delta\phi^{\ell}}\tag{5}$$ является Гессе . Путь/функциональный интеграл $$\begin{align}Z~=~~&\int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi]\right) \cr \stackrel{(3)+(4)}{=}&\sum_{\phi_0}\int\!{\cal D}\eta~\cr &\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi_0]+\frac{i}{2}H_{k\ell}[\phi_0]~\eta^k\eta^{\ell} + {\cal O}(\sqrt{\hbar})\right)\cr \stackrel{\text{WKB}}{\sim}~&\sum_{\phi_0}{\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_0]\right)^{-1/2}~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S[\phi_0]\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0\end{align}\tag{6}$$ формально становится суммой по инстантонам $\phi_0$, т.е. классические полевые конфигурации.

3. Для простого введения в эту тему с большим количеством картинок и почти без формул см., например, этот пост в блоге The Physics Mill.

--

$^1$Здесь мы используем сокращенную запись ДеВитта .

Вклад путей, отклоняющихся от классического пути, подавляется интерференцией.