Квантование энергии в континуальном интеграле и спектр Фурье действия

Я предложил вознаграждение за этот вопрос за простой способ увидеть, что интеграл по путям Фейнмана дает дискретные уровни энергии для связанных состояний в одномерной квантовой механике. Как показано там, в теории есть простое объяснение. Интеграл по путям вычисляет пропагатор по

$$K(x_i, x_f, t) \equiv \langle x_f | e^{- i H t} | x_i \rangle = \int_{x(0) = x_i, x(t) = x_f} \mathcal{D}x(t)\, e^{iS[x(t)]/\hbar}.$$ С другой стороны, применяя квазиклассическое приближение, интеграл по путям просто $$K(x_i, x_f, t) \sim \bigg| \frac{\partial^2 S_0(x_i, x_f, t)}{\partial x_i \partial x_f}\bigg|\, e^{i S_0(x_i, x_f, t)/\hbar}$$ где $S_0$есть действие на оболочке, т. е. действие для классического пути, идущего от $x_i$к $x_f$во время $t$, где я игнорирую вопросы существования и уникальности такого пути. Это имеет смысл, потому что в квазиклассическом приближении мы просто расширяемся вокруг этого классического пути, и все, что делает интеграл по путям, — это дополнительный множитель впереди, отражающий, насколько близлежащие пути в интеграле по путям усиливают или подавляют классический.

С другой стороны, работая в собственном базисе энергии, мы имеем

$$K(x_i, x_f, t) = \sum_{n,m} \langle x_f | n \rangle \langle n| \ e^{-iHt} |m \rangle \langle m | x_i \rangle = \sum_n \langle x_f | n \rangle \langle n | x_i \rangle e^{-i E_n t/\hbar}$$ поэтому мы получаем дискретную энергию, если преобразование Фурье $K(x_i, x_f, t)$во времени имеет дискретный носитель, что эквивалентно тому, что то же верно для $S_0(x_i, x_f, t)$. Это означает, что мы можем считать дискретизацию энергии непосредственно из классического действия. Действительно, для случая гармонического осциллятора $S_0(t)$является периодической функцией, отражающей тот факт, что квантовые энергетические уровни равномерно распределены.

Моя проблема в том, что я не вижу, как это работает для общего потенциального колодца. Я пытался вычислить$S_0(t)$для ситуаций, кроме гармонического осциллятора, и, похоже, он вообще не имеет дискретного спектра. Есть ли прямой способ увидеть этот результат, если это правда?