Когда ℏ→0ℏ→0\hbar \rightarrow 0 обеспечивает действительный переход от квантовой механики к классической? Когда и почему это не удается?

Теория деформационного квантования обеспечивает основу, в которой можно осуществить и понять переход от квантового к классическому.

Согласно этой теории, для (практически любой) квантовой системы можно найти (может быть неоднозначно) многообразие Пуассона$\mathcal{M}$(фазовое пространство), снабженное ассоциативным произведением, называемым «звездным произведением», так что квантовые наблюдаемые представлены гладкими функциями на$\mathcal{M}$а произведение квантового оператора дается звездным произведением.

Кроме того, звездное произведение двух функций имеет формальный степенной ряд в$\hbar$

$f\star g = \sum_{k=0}^{\infty} \hbar^k B_k(f,g)$

Такой, что:

$B_0(f,g) = fg$

$B_1(f,g)-B_1(g, f) = \{f,g\}$, (скобка Пуассона)

Таким образом получаем:

$f\star g - g\star f = \hbar\{f,g\} + \sum_{k=2}^{\infty} \hbar^k (B_k(f,g)-B_k(g,f))$

Пожалуйста, обратите внимание, что, согласно философии деформации, квантовые наблюдаемые — это просто функции в фазовом пространстве, как и классические наблюдаемые, и вся квантовая некоммутативность обеспечивается звездным произведением. Таким образом, если мы определим$\hat{f} = \frac{\hbar}{i} f$, получаем искомый классический предел.

Следует подчеркнуть, что эту процедуру можно проводить даже для квантовых систем, определяемых матричными алгебрами, например, подходящей фазой для спина является двухсферная$S^2$, см. следующую статью Морено и Ортеги-Наварро. Моровер,

Концевич в своей основополагающей работе предоставил конструктивный метод построения этого звездчатого произведения на каждом конечномерном многообразии Пуассона. См. следующую страницу Википедии .

Также стоит упомянуть, что предпринимаются попытки обобщить деформационную конструкцию на теории поля и включить в нее перенормировку, см. следующую работу Дито.

К другим ответам я мог бы добавить одну важную деталь: предел$\hbar \rightarrow 0$это просто удобный способ расчета. На самом деле происходит то, что$S[x] \gg \hbar$или эквивалентно$\frac{S[x]}{\hbar} \to \infty$. Таким образом, оправдание того, почему в интеграле по траекториям ожидают найти классическую физику в пределе$\hbar \to 0$заключается в том, что все пути, выходящие за рамки классического крайнего пути, ведут к смерти. Так$\hbar \to 0$это просто удобный способ расчета, действительно важен размер действия. В случаях, когда применяется классическая физика, неэкстремальные пути имеют действия, которые намного больше, где гораздо больше измеряется в единицах.$\hbar$, то есть, если быть точным:

Это звучит разумно.

Мое довольно грубое понимание состоит в том, что (если есть классическое действие для перехода) в пределе вклад вносит только окрестность классического действия. Вклад самого классического действия утверждает, что он имеет меру$0$относительно вклада соседства, даже при принятии предела (где это соседство переходит к «размеру» или «распространению»$0$.)

Если нет классического действия для перехода, то все равно не получится.

На операторном языке квантовой механики никто (слепо) не выполняет предел$\hbar \rightarrow 0$в уравнениях движения (уравнение Шрёдингера), а разложить состояния в ряды по степеням в$\hbar$. В первом порядке:$\psi(x) = a(x) e^{S(x)}$. Если вы подставите это выражение в уравнение Шредингера, вы получите (в первом порядке) классическое уравнение Гамильтона-Якоби. См., например: http://en.wikipedia.org/wiki/WKB_closed#Application_to_Schr.C3.B6dinger_equation или Бейтс, Вайнштейн: Лекции по геометрии квантования для геометрической интерпретации