Могут ли направления углового момента и угловой скорости различаться?

Рассмотрим тонкий прямоугольный блок шириной$w$, высота$h$покоится вдоль плоскости xy , как показано ниже.

Масса блока$m$. Момент инерции массы (тензор) блока относительно точки А равен

$${\bf I}_A = m \begin{vmatrix} \frac{h^2}{3} & -\frac{w h}{4} & 0 \\ -\frac{w h}{4} & \frac{w^2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{w^2+h^2}{3} \end{vmatrix}$$

Это было получено из определения (как показано на https://physics.stackexchange.com/a/244969/392 )

Если этот блок вращается вдоль оси x со скоростью вращения

$$\boldsymbol{\omega} = \begin{pmatrix} \Omega \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ тогда угловой момент относительно точки A равен

$${\bf L}_A = m \Omega\,\begin{pmatrix} \frac{h^2}{3} \\ -\frac{w h}{4} \\ 0 \end{pmatrix}$$

Как видите, есть составляющая углового момента в направлении y . Вектор углового момента образует угол$\psi = -\tan^{-1} \left( \frac{3 w}{4 h} \right)$

На рисунке ниже вы видите направление углового момента и окружность, вокруг которой вращается центр масс из-за прецессии.

Физика утверждает, вы уже видимо знаете, что момент инерции$I$тензор (тензор инерции для краткости) действительно является тензором, а не скаляром. Если бы это был скаляр, то по определению угловой момент и угловая скорость всегда были бы параллельны. Это не обязательно так из-за тензорной природы момента инерции.

Тензор инерции произвольного трехмерного твердого тела, выраженный в произвольном наборе ортогональных декартовых осей, может быть выражен через матрицу 3x3, которая является (а) симметричной и (б) положительно полуопределенной. Эти два факта означают, что всегда можно выбрать набор ортогональных осей, в которых тензор инерции является диагональным. Есть три различных случая для диагональной матрицы 3x3:

• Все три диагональных элемента равны друг другу,
• Два из трех диагональных элементов равны друг другу, а третий является отличной величиной, и
• Три диагональных элемента являются разными величинами.

В первом случае$\mathrm I \vec \omega$всегда будет параллельно$\vec \omega$. Во втором случае$\mathrm I \vec \omega$параллельно$\vec \omega$если$\omega$направлена ​​вдоль оси симметрии или имеет нулевую составляющую вдоль этой оси. В третьем случае$\mathrm I \vec \omega$параллельно$\vec \omega$если и только если$\vec \omega$параллельна одной из собственных осей тензора инерции.

Предположим, что тензор инерции (при ортогонализации) имеет три различных элемента и что угловая скорость имеет по крайней мере два ненулевых элемента при выражении в терминах системы координат, которая делает тензор инерции ортогональным. В таком случае,

$$\begin{aligned} \mathrm I &= \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} \\ \vec \omega &= \phantom{\,\,\,0}\begin{bmatrix} \omega_a \\ \omega_b \\ \omega_c \end{bmatrix} \end{aligned}$$ куда $a$, $b$, $c$различны и по крайней мере два из $\omega_a$, $\omega_b$, а также $\omega_c$не равны нулю. Это означает, что $$\mathrm I \vec \omega = \begin{bmatrix} a\, \omega_a \\ b\, \omega_b \\ c\, \omega_c \end{bmatrix}$$ не может быть параллельным $\vec \omega$.

Доказательство:$\vec \omega$а также$\mathrm I \vec \omega$параллельны (или антипараллельны) только тогда, когда$\omega \times (\mathrm I \vec \omega)$является нулевым вектором. Из вышесказанного это

$$\omega \times (\mathrm I \vec \omega) = \begin{bmatrix} (b-c) \omega_b \omega_c \\ (c-a) \omega_c \omega_a \\ (a-b) \omega_a \omega_b \end{bmatrix}$$ С $a$, $b$, $c$различны, каждый из $b-c$, $c-a$, а также $a-b$не равно нулю. Поскольку по крайней мере два из $\omega_a$, $\omega_b$, а также $\omega_c$отличны от нуля, существует некоторая комбинация $\omega_i \omega_j$то есть ненулевое. Таким образом, хотя бы один элемент этого вектора не равен нулю.

Это справедливо только тогда, когда произведение инерции равно 0.

Из матричной алгебры умножение (nx 1) вектора (x) на (nxn) матрицу (A) будет масштабировать компоненты вектора в направлении собственного вектора на соответствующие собственные значения.

$$Ax = b;$$ Если собственные векторы не совпадают с координатами заданного вектора, то результирующий вектор (b) не будет иметь того же направления, что и x. Собственные векторы будут выровнены по координатам только тогда, когда недиагональные компоненты A равны нулю.